MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipval2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipval2lem2 30723
Description: Lemma for ipval3 30728. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dipfval.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
dipfval.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
dipfval.6 𝑁 = (normCV𝑈)
dipfval.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
ipval2lem2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)))↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem ipval2lem2
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2 simpl2 1193 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴𝑋)
3 dipfval.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4 dipfval.4 . . . . . . . 8 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
53, 4nvscl 30645 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
653com23 1127 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
763expa 1119 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
873adantl2 1168 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
9 dipfval.2 . . . . 5 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
103, 9nvgcl 30639 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
111, 2, 8, 10syl3anc 1373 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
12 dipfval.6 . . . 4 𝑁 = (normCV𝑈)
133, 12nvcl 30680 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
141, 11, 13syl2anc 584 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
1514resqcld 14165 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  2c2 12321  cexp 14102  NrmCVeccnv 30603   +𝑣 cpv 30604  BaseSetcba 30605   ·𝑠OLD cns 30606  normCVcnmcv 30609  ·𝑖OLDcdip 30719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103  df-grpo 30512  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-nmcv 30619
This theorem is referenced by:  ipval2lem3  30724  ipval2lem4  30725  dipcj  30733
  Copyright terms: Public domain W3C validator