Theorem ipval2lem2 30631

Description: Lemma for ipval3 30636. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dipfval.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dipfval.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
dipfval.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
dipfval.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
dipfval.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ipval2lem2	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)))↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem ipval2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		dipfval.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		dipfval.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
5	3, 4	nvscl 30553	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
6	5	3com23 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
7	6	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
8	7	3adantl2 1168	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
9		dipfval.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
10	3, 9	nvgcl 30547	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
11	1, 2, 8, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
12		dipfval.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
13	3, 12	nvcl 30588	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
14	1, 11, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
15	14	resqcld 14141	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)))↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  ℝcr 11126  2c2 12293  ↑cexp 14077  NrmCVeccnv 30511   +_𝑣 cpv 30512  BaseSetcba 30513   ·_𝑠OLD cns 30514  norm_CVcnmcv 30517  ·_𝑖OLDcdip 30627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-seq 14018  df-exp 14078  df-grpo 30420  df-ablo 30472  df-vc 30486  df-nv 30519  df-va 30522  df-ba 30523  df-sm 30524  df-0v 30525  df-nmcv 30527

This theorem is referenced by:  ipval2lem3  30632  ipval2lem4  30633  dipcj  30641