Theorem ipval2lem2 29066

Description: Lemma for ipval3 29071. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dipfval.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dipfval.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
dipfval.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
dipfval.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
dipfval.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ipval2lem2	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)))↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem ipval2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1190	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		simpl2 1191	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		dipfval.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		dipfval.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
5	3, 4	nvscl 28988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
6	5	3com23 1125	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
7	6	3expa 1117	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
8	7	3adantl2 1166	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
9		dipfval.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
10	3, 9	nvgcl 28982	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
11	1, 2, 8, 10	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
12		dipfval.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
13	3, 12	nvcl 29023	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
14	1, 11, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
15	14	resqcld 13965	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)))↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  2c2 12028  ↑cexp 13782  NrmCVeccnv 28946   +_𝑣 cpv 28947  BaseSetcba 28948   ·_𝑠OLD cns 28949  norm_CVcnmcv 28952  ·_𝑖OLDcdip 29062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783  df-grpo 28855  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-nmcv 28962

This theorem is referenced by:  ipval2lem3  29067  ipval2lem4  29068  dipcj  29076