Theorem ipval2lem2 30728

Description: Lemma for ipval3 30733. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dipfval.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dipfval.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
dipfval.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
dipfval.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
dipfval.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ipval2lem2	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)))↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem ipval2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		dipfval.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		dipfval.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
5	3, 4	nvscl 30650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
6	5	3com23 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
7	6	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
8	7	3adantl2 1168	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
9		dipfval.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
10	3, 9	nvgcl 30644	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐶𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
11	1, 2, 8, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
12		dipfval.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
13	3, 12	nvcl 30685	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
14	1, 11, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
15	14	resqcld 14046	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐶𝑆𝐵)))↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ℝcr 11023  2c2 12198  ↑cexp 13982  NrmCVeccnv 30608   +_𝑣 cpv 30609  BaseSetcba 30610   ·_𝑠OLD cns 30611  norm_CVcnmcv 30614  ·_𝑖OLDcdip 30724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-seq 13923  df-exp 13983  df-grpo 30517  df-ablo 30569  df-vc 30583  df-nv 30616  df-va 30619  df-ba 30620  df-sm 30621  df-0v 30622  df-nmcv 30624

This theorem is referenced by:  ipval2lem3  30729  ipval2lem4  30730  dipcj  30738