MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipval2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipval2lem2 30558
Description: Lemma for ipval3 30563. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
dipfval.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
dipfval.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
dipfval.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
dipfval.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
ipval2lem2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(𝐢𝑆𝐡)))↑2) ∈ ℝ)
Proof of Theorem ipval2lem2
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
2 simpl2 1189 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3 dipfval.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
4 dipfval.4 . . . . . . . 8 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
53, 4nvscl 30480 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐢𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
653com23 1123 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐢𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
763expa 1115 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐢𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
873adantl2 1164 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐢𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
9 dipfval.2 . . . . 5 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
103, 9nvgcl 30474 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐢𝑆𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(𝐢𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
111, 2, 8, 10syl3anc 1368 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐴𝐺(𝐢𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
12 dipfval.6 . . . 4 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
133, 12nvcl 30515 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(𝐢𝑆𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(𝐢𝑆𝐡))) ∈ ℝ)
141, 11, 13syl2anc 582 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(𝐢𝑆𝐡))) ∈ ℝ)
1514resqcld 14121 1 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(𝐢𝑆𝐡)))↑2) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  β„cr 11137  2c2 12297  β†‘cexp 14058  NrmCVeccnv 30438   +𝑣 cpv 30439  BaseSetcba 30440   ·𝑠OLD cns 30441  normCVcnmcv 30444  Β·π‘–OLDcdip 30554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 13999  df-exp 14059  df-grpo 30347  df-ablo 30399  df-vc 30413  df-nv 30446  df-va 30449  df-ba 30450  df-sm 30451  df-0v 30452  df-nmcv 30454
This theorem is referenced by:  ipval2lem3  30559  ipval2lem4  30560  dipcj  30568
  Copyright terms: Public domain W3C validator