MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4ipval2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 4ipval2 29948
Description: Four times the inner product value ipval3 29949, useful for simplifying certain proofs. (Contributed by NM, 10-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
dipfval.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
dipfval.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
dipfval.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
dipfval.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
4ipval2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))))
Proof of Theorem 4ipval2
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 dipfval.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
3 dipfval.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
4 dipfval.6 . . . 4 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
5 dipfval.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
61, 2, 3, 4, 5ipval2 29947 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) / 4))
76oveq2d 7421 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (4 Β· (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) / 4)))
8 simp1 1136 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
91, 2nvgcl 29860 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋)
101, 4nvcl 29901 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡)) ∈ ℝ)
118, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡)) ∈ ℝ)
1211recnd 11238 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡)) ∈ β„‚)
1312sqcld 14105 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) ∈ β„‚)
14 neg1cn 12322 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ β„‚
151, 3nvscl 29866 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
1614, 15mp3an2 1449 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
17163adant2 1131 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
181, 2nvgcl 29860 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
1917, 18syld3an3 1409 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
201, 4nvcl 29901 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) ∈ ℝ)
218, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) ∈ ℝ)
2221recnd 11238 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) ∈ β„‚)
2322sqcld 14105 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
2413, 23subcld 11567 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
25 ax-icn 11165 . . . . 5 i ∈ β„‚
261, 3nvscl 29866 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
2725, 26mp3an2 1449 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
28273adant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
291, 2nvgcl 29860 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(i𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
3028, 29syld3an3 1409 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(i𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
311, 4nvcl 29901 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) ∈ ℝ)
328, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) ∈ ℝ)
3332recnd 11238 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) ∈ β„‚)
3433sqcld 14105 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
35 negicn 11457 . . . . . . . . . . . 12 -i ∈ β„‚
361, 3nvscl 29866 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
3735, 36mp3an2 1449 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
38373adant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
391, 2nvgcl 29860 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
4038, 39syld3an3 1409 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
411, 4nvcl 29901 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡))) ∈ ℝ)
428, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡))) ∈ ℝ)
4342recnd 11238 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡))) ∈ β„‚)
4443sqcld 14105 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
4534, 44subcld 11567 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
46 mulcl 11190 . . . . 5 ((i ∈ β„‚ ∧ (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) ∈ β„‚)
4725, 45, 46sylancr 587 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) ∈ β„‚)
4824, 47addcld 11229 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) ∈ β„‚)
49 4cn 12293 . . . 4 4 ∈ β„‚
50 4ne0 12316 . . . 4 4 β‰  0
51 divcan2 11876 . . . 4 ((((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) ∈ β„‚ ∧ 4 ∈ β„‚ ∧ 4 β‰  0) β†’ (4 Β· (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) / 4)) = ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))))
5249, 50, 51mp3an23 1453 . . 3 (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) ∈ β„‚ β†’ (4 Β· (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) / 4)) = ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))))
5348, 52syl 17 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) / 4)) = ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))))
547, 53eqtrd 2772 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  2c2 12263  4c4 12265  β†‘cexp 14023  NrmCVeccnv 29824   +𝑣 cpv 29825  BaseSetcba 29826   ·𝑠OLD cns 29827  normCVcnmcv 29830  Β·π‘–OLDcdip 29940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-grpo 29733  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-nmcv 29840  df-dip 29941
This theorem is referenced by:  ip1ilem  30066  ipasslem10  30079
  Copyright terms: Public domain W3C validator