MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipdi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dipdi 30378
Description: Distributive law for inner product. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipdir.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
dipdir.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
dipdir.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dipdi ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑃(𝐡𝐺𝐢)) = ((𝐴𝑃𝐡) + (𝐴𝑃𝐢)))
Proof of Theorem dipdi
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 ((𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
213com13 1123 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
3 id 22 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
433com12 1122 . . . . 5 ((𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
5 dipdir.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
6 dipdir.2 . . . . . 6 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
7 dipdir.7 . . . . . 6 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
85, 6, 7dipdir 30377 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡𝐺𝐢)𝑃𝐴) = ((𝐡𝑃𝐴) + (𝐢𝑃𝐴)))
94, 8sylan2 592 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡𝐺𝐢)𝑃𝐴) = ((𝐡𝑃𝐴) + (𝐢𝑃𝐴)))
109fveq2d 6895 . . 3 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ—β€˜((𝐡𝐺𝐢)𝑃𝐴)) = (βˆ—β€˜((𝐡𝑃𝐴) + (𝐢𝑃𝐴))))
11 phnv 30349 . . . 4 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
12 simpl 482 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
135, 6nvgcl 30155 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺𝐢) ∈ 𝑋)
14133com23 1125 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺𝐢) ∈ 𝑋)
15143adant3r3 1183 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐺𝐢) ∈ 𝑋)
16 simpr3 1195 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
175, 7dipcj 30249 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐡𝐺𝐢) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜((𝐡𝐺𝐢)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐡𝐺𝐢)))
1812, 15, 16, 17syl3anc 1370 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ—β€˜((𝐡𝐺𝐢)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐡𝐺𝐢)))
1911, 18sylan 579 . . 3 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ—β€˜((𝐡𝐺𝐢)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐡𝐺𝐢)))
205, 7dipcl 30247 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚)
21203adant3r1 1181 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚)
225, 7dipcl 30247 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐢𝑃𝐴) ∈ β„‚)
23223adant3r2 1182 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐢𝑃𝐴) ∈ β„‚)
2421, 23cjaddd 15174 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ—β€˜((𝐡𝑃𝐴) + (𝐢𝑃𝐴))) = ((βˆ—β€˜(𝐡𝑃𝐴)) + (βˆ—β€˜(𝐢𝑃𝐴))))
255, 7dipcj 30249 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(𝐡𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐡))
26253adant3r1 1181 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ—β€˜(𝐡𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐡))
275, 7dipcj 30249 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(𝐢𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐢))
28273adant3r2 1182 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ—β€˜(𝐢𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐢))
2926, 28oveq12d 7430 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆ—β€˜(𝐡𝑃𝐴)) + (βˆ—β€˜(𝐢𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐡) + (𝐴𝑃𝐢)))
3024, 29eqtrd 2771 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ—β€˜((𝐡𝑃𝐴) + (𝐢𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐡) + (𝐴𝑃𝐢)))
3111, 30sylan 579 . . 3 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ—β€˜((𝐡𝑃𝐴) + (𝐢𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐡) + (𝐴𝑃𝐢)))
3210, 19, 313eqtr3d 2779 . 2 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑃(𝐡𝐺𝐢)) = ((𝐴𝑃𝐡) + (𝐴𝑃𝐢)))
332, 32sylan2 592 1 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑃(𝐡𝐺𝐢)) = ((𝐴𝑃𝐡) + (𝐴𝑃𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11114   + caddc 11119  βˆ—ccj 15050  NrmCVeccnv 30119   +𝑣 cpv 30120  BaseSetcba 30121  Β·π‘–OLDcdip 30235  CPreHilOLDccphlo 30347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-grpo 30028  df-gid 30029  df-ginv 30030  df-ablo 30080  df-vc 30094  df-nv 30127  df-va 30130  df-ba 30131  df-sm 30132  df-0v 30133  df-nmcv 30135  df-dip 30236  df-ph 30348
This theorem is referenced by:  ip2dii  30379
  Copyright terms: Public domain W3C validator