Theorem dipdi 31327

Description: Distributive law for inner product. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dipdir.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dipdir.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
dipdir.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dipdi	⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))

Proof of Theorem dipdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
2	1	3com13 1142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
3		id 23	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
4	3	3com12 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
5		dipdir.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		dipdir.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
7		dipdir.7	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
8	5, 6, 7	dipdir 31326	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴) = ((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴)))
9	4, 8	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴) = ((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴)))
10	9	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (∗‘((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴)) = (∗‘((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴))))
11		phnv 31298	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
12		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
13	5, 6	nvgcl 31104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
14	13	3com23 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
15	14	3adant3r3 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
16		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
17	5, 7	dipcj 31198	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝐺𝐶) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∗‘((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)))
18	12, 15, 16, 17	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (∗‘((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)))
19	11, 18	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (∗‘((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)))
20	5, 7	dipcl 31196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
21	20	3adant3r1 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
22	5, 7	dipcl 31196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
23	22	3adant3r2 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
24	21, 23	cjaddd 15310	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘(𝐵𝑃𝐴)) + (∗‘(𝐶𝑃𝐴))))
25	5, 7	dipcj 31198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵))
26	25	3adant3r1 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵))
27	5, 7	dipcj 31198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
28	27	3adant3r2 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
29	26, 28	oveq12d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((∗‘(𝐵𝑃𝐴)) + (∗‘(𝐶𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))
30	24, 29	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))
31	11, 30	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))
32	10, 19, 31	3eqtr3d 2803	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))
33	2, 32	sylan2 605	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125   + caddc 11130  ∗ccj 15186  NrmCVeccnv 31068   +_𝑣 cpv 31069  BaseSetcba 31070  ·_𝑖OLDcdip 31184  CPreHil_OLDccphlo 31296

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-clim 15578  df-sum 15777  df-grpo 30977  df-gid 30978  df-ginv 30979  df-ablo 31029  df-vc 31043  df-nv 31076  df-va 31079  df-ba 31080  df-sm 31081  df-0v 31082  df-nmcv 31084  df-dip 31185  df-ph 31297

This theorem is used by:  ip2dii  31328