MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dipdi 28154
Description: Distributive law for inner product. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipdir.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dipdir.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
dipdir.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
dipdi ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))

Proof of Theorem dipdi
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 ((𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋))
213com13 1154 . 2 ((𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋))
3 id 22 . . . . . 6 ((𝐵𝑋𝐶𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑋𝐶𝑋𝐴𝑋))
433com12 1153 . . . . 5 ((𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑋𝐶𝑋𝐴𝑋))
5 dipdir.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6 dipdir.2 . . . . . 6 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
7 dipdir.7 . . . . . 6 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
85, 6, 7dipdir 28153 . . . . 5 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴) = ((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴)))
94, 8sylan2 586 . . . 4 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴) = ((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴)))
109fveq2d 6379 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴)) = (∗‘((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴))))
11 phnv 28125 . . . 4 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
12 simpl 474 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
135, 6nvgcl 27931 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
14133com23 1156 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
15143adant3r3 1235 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐵𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
16 simpr3 1252 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → 𝐴𝑋)
175, 7dipcj 28025 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝐺𝐶) ∈ 𝑋𝐴𝑋) → (∗‘((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)))
1812, 15, 16, 17syl3anc 1490 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)))
1911, 18sylan 575 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)))
205, 7dipcl 28023 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
21203adant3r1 1233 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
225, 7dipcl 28023 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋𝐴𝑋) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
23223adant3r2 1234 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
2421, 23cjaddd 14245 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘(𝐵𝑃𝐴)) + (∗‘(𝐶𝑃𝐴))))
255, 7dipcj 28025 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵))
26253adant3r1 1233 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵))
275, 7dipcj 28025 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋𝐴𝑋) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
28273adant3r2 1234 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
2926, 28oveq12d 6860 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → ((∗‘(𝐵𝑃𝐴)) + (∗‘(𝐶𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))
3024, 29eqtrd 2799 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))
3111, 30sylan 575 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))
3210, 19, 313eqtr3d 2807 . 2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))
332, 32sylan2 586 1 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187   + caddc 10192  ccj 14121  NrmCVeccnv 27895   +𝑣 cpv 27896  BaseSetcba 27897  ·𝑖OLDcdip 28011  CPreHilOLDccphlo 28123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-sum 14702  df-grpo 27804  df-gid 27805  df-ginv 27806  df-ablo 27856  df-vc 27870  df-nv 27903  df-va 27906  df-ba 27907  df-sm 27908  df-0v 27909  df-nmcv 27911  df-dip 28012  df-ph 28124
This theorem is referenced by:  ip2dii  28155
  Copyright terms: Public domain W3C validator