Theorem dipdi 31268

Description: Distributive law for inner product. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dipdir.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dipdir.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
dipdir.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dipdi	⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))

Proof of Theorem dipdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
2	1	3com13 1142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
3		id 23	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
4	3	3com12 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
5		dipdir.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		dipdir.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
7		dipdir.7	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
8	5, 6, 7	dipdir 31267	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴) = ((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴)))
9	4, 8	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴) = ((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴)))
10	9	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (∗‘((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴)) = (∗‘((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴))))
11		phnv 31239	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
12		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
13	5, 6	nvgcl 31045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
14	13	3com23 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
15	14	3adant3r3 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
16		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
17	5, 7	dipcj 31139	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝐺𝐶) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∗‘((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)))
18	12, 15, 16, 17	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (∗‘((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)))
19	11, 18	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (∗‘((𝐵𝐺𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)))
20	5, 7	dipcl 31137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
21	20	3adant3r1 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
22	5, 7	dipcl 31137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
23	22	3adant3r2 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
24	21, 23	cjaddd 15297	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘(𝐵𝑃𝐴)) + (∗‘(𝐶𝑃𝐴))))
25	5, 7	dipcj 31139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵))
26	25	3adant3r1 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵))
27	5, 7	dipcj 31139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
28	27	3adant3r2 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
29	26, 28	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((∗‘(𝐵𝑃𝐴)) + (∗‘(𝐶𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))
30	24, 29	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))
31	11, 30	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) + (𝐶𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))
32	10, 19, 31	3eqtr3d 2808	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))
33	2, 32	sylan2 605	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝐺𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115   + caddc 11120  ∗ccj 15173  NrmCVeccnv 31009   +_𝑣 cpv 31010  BaseSetcba 31011  ·_𝑖OLDcdip 31125  CPreHil_OLDccphlo 31237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196  ax-mulf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764  df-grpo 30918  df-gid 30919  df-ginv 30920  df-ablo 30970  df-vc 30984  df-nv 31017  df-va 31020  df-ba 31021  df-sm 31022  df-0v 31023  df-nmcv 31025  df-dip 31126  df-ph 31238

This theorem is used by:  ip2dii  31269