MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvpi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvpi 29920
Description: The norm of a vector plus the imaginary scalar product of another. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvdif.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvdif.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
nvdif.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
nvdif.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvpi ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴))))
Proof of Theorem nvpi
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
2 ax-icn 11169 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
3 nvdif.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
4 nvdif.4 . . . . . . . . 9 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
53, 4nvscl 29879 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
62, 5mp3an2 1450 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
763adant2 1132 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
8 nvdif.2 . . . . . . 7 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
93, 8nvgcl 29873 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(i𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
107, 9syld3an3 1410 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(i𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
11 nvdif.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
123, 11nvcl 29914 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) ∈ ℝ)
131, 10, 12syl2anc 585 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) ∈ ℝ)
1413recnd 11242 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) ∈ β„‚)
1514mullidd 11232 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))))
162absnegi 15347 . . . . 5 (absβ€˜-i) = (absβ€˜i)
17 absi 15233 . . . . 5 (absβ€˜i) = 1
1816, 17eqtri 2761 . . . 4 (absβ€˜-i) = 1
1918oveq1i 7419 . . 3 ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))) = (1 Β· (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))))
20 negicn 11461 . . . . . 6 -i ∈ β„‚
213, 4, 11nvs 29916 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))) = ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))))
2220, 21mp3an2 1450 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))) = ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))))
231, 10, 22syl2anc 585 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))) = ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))))
24 simp2 1138 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
253, 8, 4nvdi 29883 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋)) β†’ (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐡))))
2620, 25mp3anr1 1459 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋)) β†’ (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐡))))
271, 24, 7, 26syl12anc 836 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐡))))
282, 2mulneg1i 11660 . . . . . . . . . . 11 (-i Β· i) = -(i Β· i)
29 ixi 11843 . . . . . . . . . . . . 13 (i Β· i) = -1
3029negeqi 11453 . . . . . . . . . . . 12 -(i Β· i) = --1
31 negneg1e1 12330 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
3230, 31eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 -(i Β· i) = 1
3328, 32eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 (-i Β· i) = 1
3433oveq1i 7419 . . . . . . . . 9 ((-i Β· i)𝑆𝐡) = (1𝑆𝐡)
353, 4nvsass 29881 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((-i Β· i)𝑆𝐡) = (-i𝑆(i𝑆𝐡)))
3620, 35mp3anr1 1459 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((-i Β· i)𝑆𝐡) = (-i𝑆(i𝑆𝐡)))
372, 36mpanr1 702 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-i Β· i)𝑆𝐡) = (-i𝑆(i𝑆𝐡)))
383, 4nvsid 29880 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐡) = 𝐡)
3934, 37, 383eqtr3a 2797 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆(i𝑆𝐡)) = 𝐡)
40393adant2 1132 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆(i𝑆𝐡)) = 𝐡)
4140oveq2d 7425 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐡))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐡))
423, 4nvscl 29879 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
4320, 42mp3an2 1450 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
44433adant3 1133 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
453, 8nvcom 29874 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐡) = (𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))
4644, 45syld3an2 1412 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐡) = (𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))
4727, 41, 463eqtrd 2777 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) = (𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))
4847fveq2d 6896 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴))))
4923, 48eqtr3d 2775 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴))))
5019, 49eqtr3id 2787 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴))))
5115, 50eqtr3d 2775 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  1c1 11111  ici 11112   Β· cmul 11115  -cneg 11445  abscabs 15181  NrmCVeccnv 29837   +𝑣 cpv 29838  BaseSetcba 29839   ·𝑠OLD cns 29840  normCVcnmcv 29843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-grpo 29746  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-nmcv 29853
This theorem is referenced by:  dipcj  29967
  Copyright terms: Public domain W3C validator