MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvpi 28131
Description: The norm of a vector plus the imaginary scalar product of another. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvdif.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvdif.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
nvdif.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvdif.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvpi ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))

Proof of Theorem nvpi
StepHypRef Expression
1 simp1 1129 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2 ax-icn 10449 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
3 nvdif.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4 nvdif.4 . . . . . . . . 9 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
53, 4nvscl 28090 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
62, 5mp3an2 1441 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
763adant2 1124 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
8 nvdif.2 . . . . . . 7 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
93, 8nvgcl 28084 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
107, 9syld3an3 1402 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
11 nvdif.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑈)
123, 11nvcl 28125 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
131, 10, 12syl2anc 584 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
1413recnd 10522 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℂ)
1514mulid2d 10512 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))))
162absnegi 14598 . . . . 5 (abs‘-i) = (abs‘i)
17 absi 14484 . . . . 5 (abs‘i) = 1
1816, 17eqtri 2821 . . . 4 (abs‘-i) = 1
1918oveq1i 7033 . . 3 ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (1 · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))))
20 negicn 10740 . . . . . 6 -i ∈ ℂ
213, 4, 11nvs 28127 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))))
2220, 21mp3an2 1441 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))))
231, 10, 22syl2anc 584 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))))
24 simp2 1130 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
253, 8, 4nvdi 28094 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))))
2620, 25mp3anr1 1450 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))))
271, 24, 7, 26syl12anc 833 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))))
282, 2mulneg1i 10940 . . . . . . . . . . 11 (-i · i) = -(i · i)
29 ixi 11123 . . . . . . . . . . . . 13 (i · i) = -1
3029negeqi 10732 . . . . . . . . . . . 12 -(i · i) = --1
31 negneg1e1 11609 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
3230, 31eqtri 2821 . . . . . . . . . . 11 -(i · i) = 1
3328, 32eqtri 2821 . . . . . . . . . 10 (-i · i) = 1
3433oveq1i 7033 . . . . . . . . 9 ((-i · i)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵)
353, 4nvsass 28092 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((-i · i)𝑆𝐵) = (-i𝑆(i𝑆𝐵)))
3620, 35mp3anr1 1450 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((-i · i)𝑆𝐵) = (-i𝑆(i𝑆𝐵)))
372, 36mpanr1 699 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((-i · i)𝑆𝐵) = (-i𝑆(i𝑆𝐵)))
383, 4nvsid 28091 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
3934, 37, 383eqtr3a 2857 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (-i𝑆(i𝑆𝐵)) = 𝐵)
40393adant2 1124 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i𝑆(i𝑆𝐵)) = 𝐵)
4140oveq2d 7039 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐵))
423, 4nvscl 28090 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
4320, 42mp3an2 1441 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
44433adant3 1125 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
453, 8nvcom 28085 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐵) = (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))
4644, 45syld3an2 1404 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐵) = (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))
4727, 41, 463eqtrd 2837 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))
4847fveq2d 6549 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))
4923, 48eqtr3d 2835 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))
5019, 49syl5eqr 2847 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))
5115, 50eqtr3d 2835 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  cfv 6232  (class class class)co 7023  cc 10388  cr 10389  1c1 10391  ici 10392   · cmul 10395  -cneg 10724  abscabs 14431  NrmCVeccnv 28048   +𝑣 cpv 28049  BaseSetcba 28050   ·𝑠OLD cns 28051  normCVcnmcv 28054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-seq 13224  df-exp 13284  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-grpo 27957  df-ablo 28009  df-vc 28023  df-nv 28056  df-va 28059  df-ba 28060  df-sm 28061  df-0v 28062  df-nmcv 28064
This theorem is referenced by:  dipcj  28178
  Copyright terms: Public domain W3C validator