MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvpi 29609
Description: The norm of a vector plus the imaginary scalar product of another. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvdif.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvdif.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
nvdif.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvdif.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvpi ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))

Proof of Theorem nvpi
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2 ax-icn 11110 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
3 nvdif.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4 nvdif.4 . . . . . . . . 9 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
53, 4nvscl 29568 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
62, 5mp3an2 1449 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
763adant2 1131 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
8 nvdif.2 . . . . . . 7 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
93, 8nvgcl 29562 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
107, 9syld3an3 1409 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
11 nvdif.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑈)
123, 11nvcl 29603 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
131, 10, 12syl2anc 584 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
1413recnd 11183 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℂ)
1514mulid2d 11173 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))))
162absnegi 15285 . . . . 5 (abs‘-i) = (abs‘i)
17 absi 15171 . . . . 5 (abs‘i) = 1
1816, 17eqtri 2764 . . . 4 (abs‘-i) = 1
1918oveq1i 7367 . . 3 ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (1 · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))))
20 negicn 11402 . . . . . 6 -i ∈ ℂ
213, 4, 11nvs 29605 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))))
2220, 21mp3an2 1449 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))))
231, 10, 22syl2anc 584 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))))
24 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
253, 8, 4nvdi 29572 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))))
2620, 25mp3anr1 1458 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))))
271, 24, 7, 26syl12anc 835 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))))
282, 2mulneg1i 11601 . . . . . . . . . . 11 (-i · i) = -(i · i)
29 ixi 11784 . . . . . . . . . . . . 13 (i · i) = -1
3029negeqi 11394 . . . . . . . . . . . 12 -(i · i) = --1
31 negneg1e1 12271 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
3230, 31eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 -(i · i) = 1
3328, 32eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 (-i · i) = 1
3433oveq1i 7367 . . . . . . . . 9 ((-i · i)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵)
353, 4nvsass 29570 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((-i · i)𝑆𝐵) = (-i𝑆(i𝑆𝐵)))
3620, 35mp3anr1 1458 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((-i · i)𝑆𝐵) = (-i𝑆(i𝑆𝐵)))
372, 36mpanr1 701 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((-i · i)𝑆𝐵) = (-i𝑆(i𝑆𝐵)))
383, 4nvsid 29569 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
3934, 37, 383eqtr3a 2800 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (-i𝑆(i𝑆𝐵)) = 𝐵)
40393adant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i𝑆(i𝑆𝐵)) = 𝐵)
4140oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐵))
423, 4nvscl 29568 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
4320, 42mp3an2 1449 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
44433adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
453, 8nvcom 29563 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐵) = (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))
4644, 45syld3an2 1411 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐵) = (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))
4727, 41, 463eqtrd 2780 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))
4847fveq2d 6846 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))
4923, 48eqtr3d 2778 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))
5019, 49eqtr3id 2790 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))
5115, 50eqtr3d 2778 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  1c1 11052  ici 11053   · cmul 11056  -cneg 11386  abscabs 15119  NrmCVeccnv 29526   +𝑣 cpv 29527  BaseSetcba 29528   ·𝑠OLD cns 29529  normCVcnmcv 29532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-grpo 29435  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-nmcv 29542
This theorem is referenced by:  dipcj  29656
  Copyright terms: Public domain W3C validator