Theorem nvpi 30603

Description: The norm of a vector plus the imaginary scalar product of another. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvdif.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvdif.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nvdif.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
nvdif.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvpi	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))

Proof of Theorem nvpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		ax-icn 11134	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
3		nvdif.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		nvdif.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
5	3, 4	nvscl 30562	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
6	2, 5	mp3an2 1451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
7	6	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
8		nvdif.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
9	3, 8	nvgcl 30556	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
10	7, 9	syld3an3 1411	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
11		nvdif.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
12	3, 11	nvcl 30597	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
13	1, 10, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11209	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℂ)
15	14	mullidd 11199	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))))
16	2	absnegi 15374	. . . . 5 ⊢ (abs‘-i) = (abs‘i)
17		absi 15259	. . . . 5 ⊢ (abs‘i) = 1
18	16, 17	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (abs‘-i) = 1
19	18	oveq1i 7400	. . 3 ⊢ ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (1 · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))))
20		negicn 11429	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
21	3, 4, 11	nvs 30599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))))
22	20, 21	mp3an2 1451	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))))
23	1, 10, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))))
24		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
25	3, 8, 4	nvdi 30566	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))))
26	20, 25	mp3anr1 1460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))))
27	1, 24, 7, 26	syl12anc 836	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))))
28	2, 2	mulneg1i 11631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
29		ixi 11814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · i) = -1
30	29	negeqi 11421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(i · i) = --1
31		negneg1e1 12182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ --1 = 1
32	30, 31	eqtri 2753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(i · i) = 1
33	28, 32	eqtri 2753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-i · i) = 1
34	33	oveq1i 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i · i)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵)
35	3, 4	nvsass 30564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((-i · i)𝑆𝐵) = (-i𝑆(i𝑆𝐵)))
36	20, 35	mp3anr1 1460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((-i · i)𝑆𝐵) = (-i𝑆(i𝑆𝐵)))
37	2, 36	mpanr1 703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-i · i)𝑆𝐵) = (-i𝑆(i𝑆𝐵)))
38	3, 4	nvsid 30563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
39	34, 37, 38	3eqtr3a 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-i𝑆(i𝑆𝐵)) = 𝐵)
40	39	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-i𝑆(i𝑆𝐵)) = 𝐵)
41	40	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐵))
42	3, 4	nvscl 30562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
43	20, 42	mp3an2 1451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
44	43	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
45	3, 8	nvcom 30557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐵) = (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))
46	44, 45	syld3an2 1413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐵) = (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))
47	27, 41, 46	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))
48	47	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))
49	23, 48	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))
50	19, 49	eqtr3id 2779	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))
51	15, 50	eqtr3d 2767	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  1c1 11076  ici 11077   · cmul 11080  -cneg 11413  abscabs 15207  NrmCVeccnv 30520   +_𝑣 cpv 30521  BaseSetcba 30522   ·_𝑠OLD cns 30523  norm_CVcnmcv 30526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-grpo 30429  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-nmcv 30536

This theorem is referenced by:  dipcj  30650