Theorem nvpi 30647

Description: The norm of a vector plus the imaginary scalar product of another. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvdif.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvdif.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nvdif.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
nvdif.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvpi	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))

Proof of Theorem nvpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		ax-icn 11065	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
3		nvdif.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		nvdif.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
5	3, 4	nvscl 30606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
6	2, 5	mp3an2 1451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
7	6	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
8		nvdif.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
9	3, 8	nvgcl 30600	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
10	7, 9	syld3an3 1411	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
11		nvdif.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
12	3, 11	nvcl 30641	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
13	1, 10, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11140	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℂ)
15	14	mullidd 11130	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))))
16	2	absnegi 15308	. . . . 5 ⊢ (abs‘-i) = (abs‘i)
17		absi 15193	. . . . 5 ⊢ (abs‘i) = 1
18	16, 17	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ (abs‘-i) = 1
19	18	oveq1i 7356	. . 3 ⊢ ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (1 · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))))
20		negicn 11361	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
21	3, 4, 11	nvs 30643	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))))
22	20, 21	mp3an2 1451	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))))
23	1, 10, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))))
24		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
25	3, 8, 4	nvdi 30610	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))))
26	20, 25	mp3anr1 1460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))))
27	1, 24, 7, 26	syl12anc 836	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))))
28	2, 2	mulneg1i 11563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
29		ixi 11746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · i) = -1
30	29	negeqi 11353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(i · i) = --1
31		negneg1e1 12114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ --1 = 1
32	30, 31	eqtri 2754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(i · i) = 1
33	28, 32	eqtri 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-i · i) = 1
34	33	oveq1i 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i · i)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵)
35	3, 4	nvsass 30608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((-i · i)𝑆𝐵) = (-i𝑆(i𝑆𝐵)))
36	20, 35	mp3anr1 1460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((-i · i)𝑆𝐵) = (-i𝑆(i𝑆𝐵)))
37	2, 36	mpanr1 703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-i · i)𝑆𝐵) = (-i𝑆(i𝑆𝐵)))
38	3, 4	nvsid 30607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
39	34, 37, 38	3eqtr3a 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-i𝑆(i𝑆𝐵)) = 𝐵)
40	39	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-i𝑆(i𝑆𝐵)) = 𝐵)
41	40	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐵))
42	3, 4	nvscl 30606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
43	20, 42	mp3an2 1451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
44	43	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
45	3, 8	nvcom 30601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐵) = (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))
46	44, 45	syld3an2 1413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐵) = (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))
47	27, 41, 46	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))
48	47	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))
49	23, 48	eqtr3d 2768	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))
50	19, 49	eqtr3id 2780	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))
51	15, 50	eqtr3d 2768	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  1c1 11007  ici 11008   · cmul 11011  -cneg 11345  abscabs 15141  NrmCVeccnv 30564   +_𝑣 cpv 30565  BaseSetcba 30566   ·_𝑠OLD cns 30567  norm_CVcnmcv 30570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-grpo 30473  df-ablo 30525  df-vc 30539  df-nv 30572  df-va 30575  df-ba 30576  df-sm 30577  df-0v 30578  df-nmcv 30580

This theorem is referenced by:  dipcj  30694