MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvpi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvpi 29706
Description: The norm of a vector plus the imaginary scalar product of another. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvdif.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvdif.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
nvdif.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
nvdif.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvpi ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴))))
Proof of Theorem nvpi
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
2 ax-icn 11134 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
3 nvdif.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
4 nvdif.4 . . . . . . . . 9 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
53, 4nvscl 29665 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
62, 5mp3an2 1449 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
763adant2 1131 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
8 nvdif.2 . . . . . . 7 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
93, 8nvgcl 29659 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(i𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
107, 9syld3an3 1409 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(i𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
11 nvdif.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
123, 11nvcl 29700 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) ∈ ℝ)
131, 10, 12syl2anc 584 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) ∈ ℝ)
1413recnd 11207 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) ∈ β„‚)
1514mullidd 11197 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))))
162absnegi 15312 . . . . 5 (absβ€˜-i) = (absβ€˜i)
17 absi 15198 . . . . 5 (absβ€˜i) = 1
1816, 17eqtri 2759 . . . 4 (absβ€˜-i) = 1
1918oveq1i 7387 . . 3 ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))) = (1 Β· (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))))
20 negicn 11426 . . . . . 6 -i ∈ β„‚
213, 4, 11nvs 29702 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))) = ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))))
2220, 21mp3an2 1449 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))) = ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))))
231, 10, 22syl2anc 584 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))) = ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))))
24 simp2 1137 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
253, 8, 4nvdi 29669 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋)) β†’ (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐡))))
2620, 25mp3anr1 1458 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋)) β†’ (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐡))))
271, 24, 7, 26syl12anc 835 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐡))))
282, 2mulneg1i 11625 . . . . . . . . . . 11 (-i Β· i) = -(i Β· i)
29 ixi 11808 . . . . . . . . . . . . 13 (i Β· i) = -1
3029negeqi 11418 . . . . . . . . . . . 12 -(i Β· i) = --1
31 negneg1e1 12295 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
3230, 31eqtri 2759 . . . . . . . . . . 11 -(i Β· i) = 1
3328, 32eqtri 2759 . . . . . . . . . 10 (-i Β· i) = 1
3433oveq1i 7387 . . . . . . . . 9 ((-i Β· i)𝑆𝐡) = (1𝑆𝐡)
353, 4nvsass 29667 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((-i Β· i)𝑆𝐡) = (-i𝑆(i𝑆𝐡)))
3620, 35mp3anr1 1458 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((-i Β· i)𝑆𝐡) = (-i𝑆(i𝑆𝐡)))
372, 36mpanr1 701 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-i Β· i)𝑆𝐡) = (-i𝑆(i𝑆𝐡)))
383, 4nvsid 29666 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐡) = 𝐡)
3934, 37, 383eqtr3a 2795 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆(i𝑆𝐡)) = 𝐡)
40393adant2 1131 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆(i𝑆𝐡)) = 𝐡)
4140oveq2d 7393 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐡))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐡))
423, 4nvscl 29665 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
4320, 42mp3an2 1449 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
44433adant3 1132 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
453, 8nvcom 29660 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐡) = (𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))
4644, 45syld3an2 1411 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐡) = (𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))
4727, 41, 463eqtrd 2775 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) = (𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))
4847fveq2d 6866 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴))))
4923, 48eqtr3d 2773 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴))))
5019, 49eqtr3id 2785 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴))))
5115, 50eqtr3d 2773 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  β„‚cc 11073  β„cr 11074  1c1 11076  ici 11077   Β· cmul 11080  -cneg 11410  abscabs 15146  NrmCVeccnv 29623   +𝑣 cpv 29624  BaseSetcba 29625   ·𝑠OLD cns 29626  normCVcnmcv 29629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-sup 9402  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-rp 12940  df-seq 13932  df-exp 13993  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-grpo 29532  df-ablo 29584  df-vc 29598  df-nv 29631  df-va 29634  df-ba 29635  df-sm 29636  df-0v 29637  df-nmcv 29639
This theorem is referenced by:  dipcj  29753
  Copyright terms: Public domain W3C validator