Theorem nvpi 31278

Description: The norm of a vector plus the imaginary scalar product of another. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvdif.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvdif.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nvdif.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
nvdif.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvpi	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴))))

Proof of Theorem nvpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		ax-icn 11266	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
3		nvdif.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		nvdif.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
5	3, 4	nvscl 31237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
6	2, 5	mp3an2 1478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
7	6	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
8		nvdif.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
9	3, 8	nvgcl 31231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
10	7, 9	syld3an3 1436	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
11		nvdif.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
12	3, 11	nvcl 31272	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
13	1, 10, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11344	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℂ)
15	14	mullidd 11334	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))))
16	2	absnegi 15577	. . . . 5 ⊢ (abs‘ -i) = (abs‘i)
17		absi 15462	. . . . 5 ⊢ (abs‘i) = 1
18	16, 17	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (abs‘ -i) = 1
19	18	oveq1i 7434	. . 3 ⊢ ((abs‘ -i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (1 · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))))
20		negicn 11565	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
21	3, 4, 11	nvs 31274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘( -i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = ((abs‘ -i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))))
22	20, 21	mp3an2 1478	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘( -i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = ((abs‘ -i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))))
23	1, 10, 22	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘( -i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = ((abs‘ -i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))))
24		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
25	3, 8, 4	nvdi 31241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ( -i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (( -i𝑆𝐴)𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐵))))
26	20, 25	mp3anr1 1487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ( -i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (( -i𝑆𝐴)𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐵))))
27	1, 24, 7, 26	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ( -i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (( -i𝑆𝐴)𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐵))))
28	2, 2	mulneg1i 11769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( -i · i) = -(i · i)
29		ixi 11952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · i) = -1
30	29	negeqi 11557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(i · i) = - -1
31		negneg1e1 12316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ - -1 = 1
32	30, 31	eqtri 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(i · i) = 1
33	28, 32	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -i · i) = 1
34	33	oveq1i 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -i · i)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵)
35	3, 4	nvsass 31239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( -i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (( -i · i)𝑆𝐵) = ( -i𝑆(i𝑆𝐵)))
36	20, 35	mp3anr1 1487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (( -i · i)𝑆𝐵) = ( -i𝑆(i𝑆𝐵)))
37	2, 36	mpanr1 716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (( -i · i)𝑆𝐵) = ( -i𝑆(i𝑆𝐵)))
38	3, 4	nvsid 31238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
39	34, 37, 38	3eqtr3a 2819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ( -i𝑆(i𝑆𝐵)) = 𝐵)
40	39	3adant2 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ( -i𝑆(i𝑆𝐵)) = 𝐵)
41	40	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (( -i𝑆𝐴)𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐵))) = (( -i𝑆𝐴)𝐺𝐵))
42	3, 4	nvscl 31237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
43	20, 42	mp3an2 1478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
44	43	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ( -i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
45	3, 8	nvcom 31232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( -i𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (( -i𝑆𝐴)𝐺𝐵) = (𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))
46	44, 45	syld3an2 1438	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (( -i𝑆𝐴)𝐺𝐵) = (𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))
47	27, 41, 46	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ( -i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))
48	47	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘( -i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴))))
49	23, 48	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((abs‘ -i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴))))
50	19, 49	eqtr3id 2809	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴))))
51	15, 50	eqtr3d 2797	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  1c1 11208  ici 11209   · cmul 11212   -cneg 11549  abscabs 15410  NrmCVeccnv 31195   +_𝑣 cpv 31196  BaseSetcba 31197   ·_𝑠OLD cns 31198  norm_CVcnmcv 31201

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-sup 9441  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-grpo 31104  df-ablo 31156  df-vc 31170  df-nv 31203  df-va 31206  df-ba 31207  df-sm 31208  df-0v 31209  df-nmcv 31211

This theorem is used by:  dipcj  31325