MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pythi 30873
Description: The Pythagorean theorem for an arbitrary complex inner product (pre-Hilbert) space 𝑈. The square of the norm of the sum of two orthogonal vectors (i.e. whose inner product is 0) is the sum of the squares of their norms. Problem 2 in [Kreyszig] p. 135. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pyth.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
pyth.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
pyth.6 𝑁 = (normCV𝑈)
pyth.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
pythi.u 𝑈 ∈ CPreHilOLD
pythi.a 𝐴𝑋
pythi.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
pythi ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) = (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))

Proof of Theorem pythi
StepHypRef Expression
1 pyth.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 pyth.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
3 pyth.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
4 pythi.u . . . 4 𝑈 ∈ CPreHilOLD
5 pythi.a . . . 4 𝐴𝑋
6 pythi.b . . . 4 𝐵𝑋
71, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6ip2dii 30867 . . 3 ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)))
8 id 22 . . . . . . 7 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (𝐴𝑃𝐵) = 0)
94phnvi 30839 . . . . . . . . 9 𝑈 ∈ NrmCVec
101, 3diporthcom 30739 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝑃𝐵) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = 0))
119, 5, 6, 10mp3an 1461 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = 0)
1211biimpi 216 . . . . . . 7 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (𝐵𝑃𝐴) = 0)
138, 12oveq12d 7463 . . . . . 6 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)) = (0 + 0))
14 00id 11461 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
1513, 14eqtrdi 2790 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)) = 0)
1615oveq2d 7461 . . . 4 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴))) = (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + 0))
171, 3dipcl 30735 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) ∈ ℂ)
189, 5, 5, 17mp3an 1461 . . . . . 6 (𝐴𝑃𝐴) ∈ ℂ
191, 3dipcl 30735 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) ∈ ℂ)
209, 6, 6, 19mp3an 1461 . . . . . 6 (𝐵𝑃𝐵) ∈ ℂ
2118, 20addcli 11292 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) ∈ ℂ
2221addridi 11473 . . . 4 (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + 0) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵))
2316, 22eqtrdi 2790 . . 3 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)))
247, 23eqtrid 2786 . 2 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)))
251, 2nvgcl 30643 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
269, 5, 6, 25mp3an 1461 . . 3 (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋
27 pyth.6 . . . 4 𝑁 = (normCV𝑈)
281, 27, 3ipidsq 30733 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2))
299, 26, 28mp2an 691 . 2 ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2)
301, 27, 3ipidsq 30733 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁𝐴)↑2))
319, 5, 30mp2an 691 . . 3 (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁𝐴)↑2)
321, 27, 3ipidsq 30733 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁𝐵)↑2))
339, 6, 32mp2an 691 . . 3 (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁𝐵)↑2)
3431, 33oveq12i 7457 . 2 ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) = (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))
3524, 29, 343eqtr3g 2797 1 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) = (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2103  cfv 6572  (class class class)co 7445  cc 11178  0cc0 11180   + caddc 11183  2c2 12344  cexp 14108  NrmCVeccnv 30607   +𝑣 cpv 30608  BaseSetcba 30609  normCVcnmcv 30613  ·𝑖OLDcdip 30723  CPreHilOLDccphlo 30835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-inf2 9706  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258  ax-addf 11259  ax-mulf 11260
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-sup 9507  df-oi 9575  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-rp 13054  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-clim 15530  df-sum 15731  df-grpo 30516  df-gid 30517  df-ginv 30518  df-ablo 30568  df-vc 30582  df-nv 30615  df-va 30618  df-ba 30619  df-sm 30620  df-0v 30621  df-nmcv 30623  df-dip 30724  df-ph 30836
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator