Theorem pythi 30940

Description: The Pythagorean theorem for an arbitrary complex inner product (pre-Hilbert) space 𝑈. The square of the norm of the sum of two orthogonal vectors (i.e. whose inner product is 0) is the sum of the squares of their norms. Problem 2 in [Kreyszig] p. 135. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pyth.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
pyth.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
pyth.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
pyth.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
pythi.u	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
pythi.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
pythi.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
pythi	⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))

Proof of Theorem pythi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pyth.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		pyth.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		pyth.7	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
4		pythi.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
5		pythi.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
6		pythi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
7	1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6	ip2dii 30934	. . 3 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)))
8		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (𝐴𝑃𝐵) = 0)
9	4	phnvi 30906	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
10	1, 3	diporthcom 30806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑃𝐵) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = 0))
11	9, 5, 6, 10	mp3an 1464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = 0)
12	11	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (𝐵𝑃𝐴) = 0)
13	8, 12	oveq12d 7380	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)) = (0 + 0))
14		00id 11316	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)) = 0)
16	15	oveq2d 7378	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴))) = (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + 0))
17	1, 3	dipcl 30802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) ∈ ℂ)
18	9, 5, 5, 17	mp3an 1464	. . . . . 6 ⊢ (𝐴𝑃𝐴) ∈ ℂ
19	1, 3	dipcl 30802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) ∈ ℂ)
20	9, 6, 6, 19	mp3an 1464	. . . . . 6 ⊢ (𝐵𝑃𝐵) ∈ ℂ
21	18, 20	addcli 11146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) ∈ ℂ
22	21	addridi 11328	. . . 4 ⊢ (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + 0) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵))
23	16, 22	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)))
24	7, 23	eqtrid 2784	. 2 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)))
25	1, 2	nvgcl 30710	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
26	9, 5, 6, 25	mp3an 1464	. . 3 ⊢ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋
27		pyth.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
28	1, 27, 3	ipidsq 30800	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2))
29	9, 26, 28	mp2an 693	. 2 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2)
30	1, 27, 3	ipidsq 30800	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁‘𝐴)↑2))
31	9, 5, 30	mp2an 693	. . 3 ⊢ (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁‘𝐴)↑2)
32	1, 27, 3	ipidsq 30800	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁‘𝐵)↑2))
33	9, 6, 32	mp2an 693	. . 3 ⊢ (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁‘𝐵)↑2)
34	31, 33	oveq12i 7374	. 2 ⊢ ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))
35	24, 29, 34	3eqtr3g 2795	1 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℂcc 11031  0cc0 11033   + caddc 11036  2c2 12231  ↑cexp 14018  NrmCVeccnv 30674   +_𝑣 cpv 30675  BaseSetcba 30676  norm_CVcnmcv 30680  ·_𝑖OLDcdip 30790  CPreHil_OLDccphlo 30902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112  ax-mulf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644  df-grpo 30583  df-gid 30584  df-ginv 30585  df-ablo 30635  df-vc 30649  df-nv 30682  df-va 30685  df-ba 30686  df-sm 30687  df-0v 30688  df-nmcv 30690  df-dip 30791  df-ph 30903

This theorem is referenced by: (None)