MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pythi 30536
Description: The Pythagorean theorem for an arbitrary complex inner product (pre-Hilbert) space π‘ˆ. The square of the norm of the sum of two orthogonal vectors (i.e. whose inner product is 0) is the sum of the squares of their norms. Problem 2 in [Kreyszig] p. 135. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pyth.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
pyth.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
pyth.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
pyth.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
pythi.u π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
pythi.a 𝐴 ∈ 𝑋
pythi.b 𝐡 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
pythi ((𝐴𝑃𝐡) = 0 β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) = (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2)))
Proof of Theorem pythi
StepHypRef Expression
1 pyth.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 pyth.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
3 pyth.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
4 pythi.u . . . 4 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
5 pythi.a . . . 4 𝐴 ∈ 𝑋
6 pythi.b . . . 4 𝐡 ∈ 𝑋
71, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6ip2dii 30530 . . 3 ((𝐴𝐺𝐡)𝑃(𝐴𝐺𝐡)) = (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡)) + ((𝐴𝑃𝐡) + (𝐡𝑃𝐴)))
8 id 22 . . . . . . 7 ((𝐴𝑃𝐡) = 0 β†’ (𝐴𝑃𝐡) = 0)
94phnvi 30502 . . . . . . . . 9 π‘ˆ ∈ NrmCVec
101, 3diporthcom 30402 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑃𝐡) = 0 ↔ (𝐡𝑃𝐴) = 0))
119, 5, 6, 10mp3an 1460 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑃𝐡) = 0 ↔ (𝐡𝑃𝐴) = 0)
1211biimpi 215 . . . . . . 7 ((𝐴𝑃𝐡) = 0 β†’ (𝐡𝑃𝐴) = 0)
138, 12oveq12d 7430 . . . . . 6 ((𝐴𝑃𝐡) = 0 β†’ ((𝐴𝑃𝐡) + (𝐡𝑃𝐴)) = (0 + 0))
14 00id 11396 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
1513, 14eqtrdi 2787 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐡) = 0 β†’ ((𝐴𝑃𝐡) + (𝐡𝑃𝐴)) = 0)
1615oveq2d 7428 . . . 4 ((𝐴𝑃𝐡) = 0 β†’ (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡)) + ((𝐴𝑃𝐡) + (𝐡𝑃𝐴))) = (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡)) + 0))
171, 3dipcl 30398 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐴) ∈ β„‚)
189, 5, 5, 17mp3an 1460 . . . . . 6 (𝐴𝑃𝐴) ∈ β„‚
191, 3dipcl 30398 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑃𝐡) ∈ β„‚)
209, 6, 6, 19mp3an 1460 . . . . . 6 (𝐡𝑃𝐡) ∈ β„‚
2118, 20addcli 11227 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡)) ∈ β„‚
2221addridi 11408 . . . 4 (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡)) + 0) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡))
2316, 22eqtrdi 2787 . . 3 ((𝐴𝑃𝐡) = 0 β†’ (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡)) + ((𝐴𝑃𝐡) + (𝐡𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡)))
247, 23eqtrid 2783 . 2 ((𝐴𝑃𝐡) = 0 β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑃(𝐴𝐺𝐡)) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡)))
251, 2nvgcl 30306 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋)
269, 5, 6, 25mp3an 1460 . . 3 (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋
27 pyth.6 . . . 4 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
281, 27, 3ipidsq 30396 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑃(𝐴𝐺𝐡)) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2))
299, 26, 28mp2an 689 . 2 ((𝐴𝐺𝐡)𝑃(𝐴𝐺𝐡)) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2)
301, 27, 3ipidsq 30396 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐴) = ((π‘β€˜π΄)↑2))
319, 5, 30mp2an 689 . . 3 (𝐴𝑃𝐴) = ((π‘β€˜π΄)↑2)
321, 27, 3ipidsq 30396 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑃𝐡) = ((π‘β€˜π΅)↑2))
339, 6, 32mp2an 689 . . 3 (𝐡𝑃𝐡) = ((π‘β€˜π΅)↑2)
3431, 33oveq12i 7424 . 2 ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡)) = (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))
3524, 29, 343eqtr3g 2794 1 ((𝐴𝑃𝐡) = 0 β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) = (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11114  0cc0 11116   + caddc 11119  2c2 12274  β†‘cexp 14034  NrmCVeccnv 30270   +𝑣 cpv 30271  BaseSetcba 30272  normCVcnmcv 30276  Β·π‘–OLDcdip 30386  CPreHilOLDccphlo 30498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-grpo 30179  df-gid 30180  df-ginv 30181  df-ablo 30231  df-vc 30245  df-nv 30278  df-va 30281  df-ba 30282  df-sm 30283  df-0v 30284  df-nmcv 30286  df-dip 30387  df-ph 30499
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator