MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pythi 28038
Description: The Pythagorean theorem for an arbitrary complex inner product (pre-Hilbert) space 𝑈. The square of the norm of the sum of two orthogonal vectors (i.e. whose inner product is 0) is the sum of the squares of their norms. Problem 2 in [Kreyszig] p. 135. This is Metamath 100 proof #4. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pyth.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
pyth.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
pyth.6 𝑁 = (normCV𝑈)
pyth.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
pythi.u 𝑈 ∈ CPreHilOLD
pythi.a 𝐴𝑋
pythi.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
pythi ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) = (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))

Proof of Theorem pythi
StepHypRef Expression
1 pyth.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 pyth.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
3 pyth.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
4 pythi.u . . . 4 𝑈 ∈ CPreHilOLD
5 pythi.a . . . 4 𝐴𝑋
6 pythi.b . . . 4 𝐵𝑋
71, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6ip2dii 28032 . . 3 ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)))
8 id 22 . . . . . . 7 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (𝐴𝑃𝐵) = 0)
94phnvi 28004 . . . . . . . . 9 𝑈 ∈ NrmCVec
101, 3diporthcom 27904 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝑃𝐵) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = 0))
119, 5, 6, 10mp3an 1572 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = 0)
1211biimpi 206 . . . . . . 7 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (𝐵𝑃𝐴) = 0)
138, 12oveq12d 6809 . . . . . 6 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)) = (0 + 0))
14 00id 10411 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
1513, 14syl6eq 2821 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)) = 0)
1615oveq2d 6807 . . . 4 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴))) = (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + 0))
171, 3dipcl 27900 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) ∈ ℂ)
189, 5, 5, 17mp3an 1572 . . . . . 6 (𝐴𝑃𝐴) ∈ ℂ
191, 3dipcl 27900 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) ∈ ℂ)
209, 6, 6, 19mp3an 1572 . . . . . 6 (𝐵𝑃𝐵) ∈ ℂ
2118, 20addcli 10244 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) ∈ ℂ
2221addid1i 10423 . . . 4 (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + 0) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵))
2316, 22syl6eq 2821 . . 3 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)))
247, 23syl5eq 2817 . 2 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)))
251, 2nvgcl 27808 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
269, 5, 6, 25mp3an 1572 . . 3 (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋
27 pyth.6 . . . 4 𝑁 = (normCV𝑈)
281, 27, 3ipidsq 27898 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2))
299, 26, 28mp2an 672 . 2 ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2)
301, 27, 3ipidsq 27898 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁𝐴)↑2))
319, 5, 30mp2an 672 . . 3 (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁𝐴)↑2)
321, 27, 3ipidsq 27898 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁𝐵)↑2))
339, 6, 32mp2an 672 . . 3 (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁𝐵)↑2)
3431, 33oveq12i 6803 . 2 ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) = (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))
3524, 29, 343eqtr3g 2828 1 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) = (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6029  (class class class)co 6791  cc 10134  0cc0 10136   + caddc 10139  2c2 11270  cexp 13060  NrmCVeccnv 27772   +𝑣 cpv 27773  BaseSetcba 27774  normCVcnmcv 27778  ·𝑖OLDcdip 27888  CPreHilOLDccphlo 28000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-oi 8569  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-seq 13002  df-exp 13061  df-hash 13315  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-sum 14618  df-grpo 27680  df-gid 27681  df-ginv 27682  df-ablo 27732  df-vc 27747  df-nv 27780  df-va 27783  df-ba 27784  df-sm 27785  df-0v 27786  df-nmcv 27788  df-dip 27889  df-ph 28001
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator