Theorem pythi 29212

Description: The Pythagorean theorem for an arbitrary complex inner product (pre-Hilbert) space 𝑈. The square of the norm of the sum of two orthogonal vectors (i.e. whose inner product is 0) is the sum of the squares of their norms. Problem 2 in [Kreyszig] p. 135. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pyth.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
pyth.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
pyth.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
pyth.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
pythi.u	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
pythi.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
pythi.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
pythi	⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))

Proof of Theorem pythi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pyth.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		pyth.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		pyth.7	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
4		pythi.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
5		pythi.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
6		pythi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
7	1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6	ip2dii 29206	. . 3 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)))
8		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (𝐴𝑃𝐵) = 0)
9	4	phnvi 29178	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
10	1, 3	diporthcom 29078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑃𝐵) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = 0))
11	9, 5, 6, 10	mp3an 1460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = 0)
12	11	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (𝐵𝑃𝐴) = 0)
13	8, 12	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)) = (0 + 0))
14		00id 11150	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)) = 0)
16	15	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴))) = (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + 0))
17	1, 3	dipcl 29074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) ∈ ℂ)
18	9, 5, 5, 17	mp3an 1460	. . . . . 6 ⊢ (𝐴𝑃𝐴) ∈ ℂ
19	1, 3	dipcl 29074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) ∈ ℂ)
20	9, 6, 6, 19	mp3an 1460	. . . . . 6 ⊢ (𝐵𝑃𝐵) ∈ ℂ
21	18, 20	addcli 10981	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) ∈ ℂ
22	21	addid1i 11162	. . . 4 ⊢ (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + 0) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵))
23	16, 22	eqtrdi 2794	. . 3 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)))
24	7, 23	eqtrid 2790	. 2 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)))
25	1, 2	nvgcl 28982	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
26	9, 5, 6, 25	mp3an 1460	. . 3 ⊢ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋
27		pyth.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
28	1, 27, 3	ipidsq 29072	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2))
29	9, 26, 28	mp2an 689	. 2 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2)
30	1, 27, 3	ipidsq 29072	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁‘𝐴)↑2))
31	9, 5, 30	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁‘𝐴)↑2)
32	1, 27, 3	ipidsq 29072	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁‘𝐵)↑2))
33	9, 6, 32	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁‘𝐵)↑2)
34	31, 33	oveq12i 7287	. 2 ⊢ ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))
35	24, 29, 34	3eqtr3g 2801	1 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   + caddc 10874  2c2 12028  ↑cexp 13782  NrmCVeccnv 28946   +_𝑣 cpv 28947  BaseSetcba 28948  norm_CVcnmcv 28952  ·_𝑖OLDcdip 29062  CPreHil_OLDccphlo 29174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-nmcv 28962  df-dip 29063  df-ph 29175

This theorem is referenced by: (None)