MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pythi 30081
Description: The Pythagorean theorem for an arbitrary complex inner product (pre-Hilbert) space π‘ˆ. The square of the norm of the sum of two orthogonal vectors (i.e. whose inner product is 0) is the sum of the squares of their norms. Problem 2 in [Kreyszig] p. 135. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pyth.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
pyth.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
pyth.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
pyth.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
pythi.u π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
pythi.a 𝐴 ∈ 𝑋
pythi.b 𝐡 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
pythi ((𝐴𝑃𝐡) = 0 β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) = (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2)))
Proof of Theorem pythi
StepHypRef Expression
1 pyth.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 pyth.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
3 pyth.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
4 pythi.u . . . 4 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
5 pythi.a . . . 4 𝐴 ∈ 𝑋
6 pythi.b . . . 4 𝐡 ∈ 𝑋
71, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6ip2dii 30075 . . 3 ((𝐴𝐺𝐡)𝑃(𝐴𝐺𝐡)) = (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡)) + ((𝐴𝑃𝐡) + (𝐡𝑃𝐴)))
8 id 22 . . . . . . 7 ((𝐴𝑃𝐡) = 0 β†’ (𝐴𝑃𝐡) = 0)
94phnvi 30047 . . . . . . . . 9 π‘ˆ ∈ NrmCVec
101, 3diporthcom 29947 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑃𝐡) = 0 ↔ (𝐡𝑃𝐴) = 0))
119, 5, 6, 10mp3an 1462 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑃𝐡) = 0 ↔ (𝐡𝑃𝐴) = 0)
1211biimpi 215 . . . . . . 7 ((𝐴𝑃𝐡) = 0 β†’ (𝐡𝑃𝐴) = 0)
138, 12oveq12d 7422 . . . . . 6 ((𝐴𝑃𝐡) = 0 β†’ ((𝐴𝑃𝐡) + (𝐡𝑃𝐴)) = (0 + 0))
14 00id 11385 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
1513, 14eqtrdi 2789 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐡) = 0 β†’ ((𝐴𝑃𝐡) + (𝐡𝑃𝐴)) = 0)
1615oveq2d 7420 . . . 4 ((𝐴𝑃𝐡) = 0 β†’ (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡)) + ((𝐴𝑃𝐡) + (𝐡𝑃𝐴))) = (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡)) + 0))
171, 3dipcl 29943 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐴) ∈ β„‚)
189, 5, 5, 17mp3an 1462 . . . . . 6 (𝐴𝑃𝐴) ∈ β„‚
191, 3dipcl 29943 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑃𝐡) ∈ β„‚)
209, 6, 6, 19mp3an 1462 . . . . . 6 (𝐡𝑃𝐡) ∈ β„‚
2118, 20addcli 11216 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡)) ∈ β„‚
2221addridi 11397 . . . 4 (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡)) + 0) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡))
2316, 22eqtrdi 2789 . . 3 ((𝐴𝑃𝐡) = 0 β†’ (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡)) + ((𝐴𝑃𝐡) + (𝐡𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡)))
247, 23eqtrid 2785 . 2 ((𝐴𝑃𝐡) = 0 β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑃(𝐴𝐺𝐡)) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡)))
251, 2nvgcl 29851 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋)
269, 5, 6, 25mp3an 1462 . . 3 (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋
27 pyth.6 . . . 4 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
281, 27, 3ipidsq 29941 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑃(𝐴𝐺𝐡)) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2))
299, 26, 28mp2an 691 . 2 ((𝐴𝐺𝐡)𝑃(𝐴𝐺𝐡)) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2)
301, 27, 3ipidsq 29941 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐴) = ((π‘β€˜π΄)↑2))
319, 5, 30mp2an 691 . . 3 (𝐴𝑃𝐴) = ((π‘β€˜π΄)↑2)
321, 27, 3ipidsq 29941 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑃𝐡) = ((π‘β€˜π΅)↑2))
339, 6, 32mp2an 691 . . 3 (𝐡𝑃𝐡) = ((π‘β€˜π΅)↑2)
3431, 33oveq12i 7416 . 2 ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐡𝑃𝐡)) = (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))
3524, 29, 343eqtr3g 2796 1 ((𝐴𝑃𝐡) = 0 β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) = (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  β„‚cc 11104  0cc0 11106   + caddc 11109  2c2 12263  β†‘cexp 14023  NrmCVeccnv 29815   +𝑣 cpv 29816  BaseSetcba 29817  normCVcnmcv 29821  Β·π‘–OLDcdip 29931  CPreHilOLDccphlo 30043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ginv 29726  df-ablo 29776  df-vc 29790  df-nv 29823  df-va 29826  df-ba 29827  df-sm 29828  df-0v 29829  df-nmcv 29831  df-dip 29932  df-ph 30044
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator