Theorem pythi 31054

Description: The Pythagorean theorem for an arbitrary complex inner product (pre-Hilbert) space 𝑈. The square of the norm of the sum of two orthogonal vectors (i.e. whose inner product is 0) is the sum of the squares of their norms. Problem 2 in [Kreyszig] p. 135. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pyth.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
pyth.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
pyth.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
pyth.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
pythi.u	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
pythi.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
pythi.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
pythi	⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))

Proof of Theorem pythi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pyth.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		pyth.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		pyth.7	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
4		pythi.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
5		pythi.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
6		pythi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
7	1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6	ip2dii 31048	. . 3 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)))
8		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (𝐴𝑃𝐵) = 0)
9	4	phnvi 31020	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
10	1, 3	diporthcom 30920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑃𝐵) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = 0))
11	9, 5, 6, 10	mp3an 1483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = 0)
12	11	biimpi 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (𝐵𝑃𝐴) = 0)
13	8, 12	oveq12d 7415	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)) = (0 + 0))
14		00id 11359	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)) = 0)
16	15	oveq2d 7413	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴))) = (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + 0))
17	1, 3	dipcl 30916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) ∈ ℂ)
18	9, 5, 5, 17	mp3an 1483	. . . . . 6 ⊢ (𝐴𝑃𝐴) ∈ ℂ
19	1, 3	dipcl 30916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) ∈ ℂ)
20	9, 6, 6, 19	mp3an 1483	. . . . . 6 ⊢ (𝐵𝑃𝐵) ∈ ℂ
21	18, 20	addcli 11189	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) ∈ ℂ
22	21	addridi 11371	. . . 4 ⊢ (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + 0) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵))
23	16, 22	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)))
24	7, 23	eqtrid 2810	. 2 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)))
25	1, 2	nvgcl 30824	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
26	9, 5, 6, 25	mp3an 1483	. . 3 ⊢ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋
27		pyth.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
28	1, 27, 3	ipidsq 30914	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2))
29	9, 26, 28	mp2an 702	. 2 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2)
30	1, 27, 3	ipidsq 30914	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁‘𝐴)↑2))
31	9, 5, 30	mp2an 702	. . 3 ⊢ (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁‘𝐴)↑2)
32	1, 27, 3	ipidsq 30914	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁‘𝐵)↑2))
33	9, 6, 32	mp2an 702	. . 3 ⊢ (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁‘𝐵)↑2)
34	31, 33	oveq12i 7409	. 2 ⊢ ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))
35	24, 29, 34	3eqtr3g 2821	1 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  ℂcc 11072  0cc0 11074   + caddc 11077  2c2 12273  ↑cexp 14075  NrmCVeccnv 30788   +_𝑣 cpv 30789  BaseSetcba 30790  norm_CVcnmcv 30794  ·_𝑖OLDcdip 30904  CPreHil_OLDccphlo 31016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-inf2 9597  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153  ax-mulf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-oi 9459  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-rp 12995  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14345  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-clim 15516  df-sum 15715  df-grpo 30697  df-gid 30698  df-ginv 30699  df-ablo 30749  df-vc 30763  df-nv 30796  df-va 30799  df-ba 30800  df-sm 30801  df-0v 30802  df-nmcv 30804  df-dip 30905  df-ph 31017

This theorem is referenced by: (None)