MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pythi 28619
Description: The Pythagorean theorem for an arbitrary complex inner product (pre-Hilbert) space 𝑈. The square of the norm of the sum of two orthogonal vectors (i.e. whose inner product is 0) is the sum of the squares of their norms. Problem 2 in [Kreyszig] p. 135. This is Metamath 100 proof #4. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pyth.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
pyth.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
pyth.6 𝑁 = (normCV𝑈)
pyth.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
pythi.u 𝑈 ∈ CPreHilOLD
pythi.a 𝐴𝑋
pythi.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
pythi ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) = (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))

Proof of Theorem pythi
StepHypRef Expression
1 pyth.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 pyth.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
3 pyth.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
4 pythi.u . . . 4 𝑈 ∈ CPreHilOLD
5 pythi.a . . . 4 𝐴𝑋
6 pythi.b . . . 4 𝐵𝑋
71, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6ip2dii 28613 . . 3 ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)))
8 id 22 . . . . . . 7 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (𝐴𝑃𝐵) = 0)
94phnvi 28585 . . . . . . . . 9 𝑈 ∈ NrmCVec
101, 3diporthcom 28485 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝑃𝐵) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = 0))
119, 5, 6, 10mp3an 1454 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = 0)
1211biimpi 218 . . . . . . 7 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (𝐵𝑃𝐴) = 0)
138, 12oveq12d 7166 . . . . . 6 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)) = (0 + 0))
14 00id 10807 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
1513, 14syl6eq 2870 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)) = 0)
1615oveq2d 7164 . . . 4 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴))) = (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + 0))
171, 3dipcl 28481 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) ∈ ℂ)
189, 5, 5, 17mp3an 1454 . . . . . 6 (𝐴𝑃𝐴) ∈ ℂ
191, 3dipcl 28481 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) ∈ ℂ)
209, 6, 6, 19mp3an 1454 . . . . . 6 (𝐵𝑃𝐵) ∈ ℂ
2118, 20addcli 10639 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) ∈ ℂ
2221addid1i 10819 . . . 4 (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + 0) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵))
2316, 22syl6eq 2870 . . 3 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)))
247, 23syl5eq 2866 . 2 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)))
251, 2nvgcl 28389 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
269, 5, 6, 25mp3an 1454 . . 3 (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋
27 pyth.6 . . . 4 𝑁 = (normCV𝑈)
281, 27, 3ipidsq 28479 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2))
299, 26, 28mp2an 690 . 2 ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2)
301, 27, 3ipidsq 28479 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁𝐴)↑2))
319, 5, 30mp2an 690 . . 3 (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁𝐴)↑2)
321, 27, 3ipidsq 28479 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁𝐵)↑2))
339, 6, 32mp2an 690 . . 3 (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁𝐵)↑2)
3431, 33oveq12i 7160 . 2 ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) = (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))
3524, 29, 343eqtr3g 2877 1 ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) = (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527  0cc0 10529   + caddc 10532  2c2 11684  cexp 13421  NrmCVeccnv 28353   +𝑣 cpv 28354  BaseSetcba 28355  normCVcnmcv 28359  ·𝑖OLDcdip 28469  CPreHilOLDccphlo 28581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-grpo 28262  df-gid 28263  df-ginv 28264  df-ablo 28314  df-vc 28328  df-nv 28361  df-va 28364  df-ba 28365  df-sm 28366  df-0v 28367  df-nmcv 28369  df-dip 28470  df-ph 28582
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator