Theorem nvdif 30695

Description: The norm of the difference between two vectors. (Contributed by NM, 1-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvdif.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvdif.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nvdif.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
nvdif.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvdif	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))))

Proof of Theorem nvdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		neg1cn 12378	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → -1 ∈ ℂ)
4		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
5		nvdif.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		nvdif.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7	5, 6	nvscl 30655	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
8	2, 7	mp3an2 1448	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
9	8	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
10		nvdif.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
11	5, 10, 6	nvdi 30659	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)) → (-1𝑆(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = ((-1𝑆𝐵)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐴))))
12	1, 3, 4, 9, 11	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = ((-1𝑆𝐵)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐴))))
13	5, 6	nvnegneg 30678	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = 𝐴)
14	13	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = 𝐴)
15	14	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐵)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐴))) = ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐴))
16	5, 6	nvscl 30655	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
17	2, 16	mp3an2 1448	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
18	17	3adant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
19		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
20	5, 10	nvcom 30650	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐴) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))
21	1, 18, 19, 20	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐴) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))
22	12, 15, 21	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))
23	22	fveq2d 6911	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1𝑆(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) = (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
24	5, 10	nvgcl 30649	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
25	1, 4, 9, 24	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
26		nvdif.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
27	5, 6, 26	nvm1 30694	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1𝑆(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))))
28	1, 25, 27	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1𝑆(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))))
29	23, 28	eqtr3d 2777	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  1c1 11154  -cneg 11491  NrmCVeccnv 30613   +_𝑣 cpv 30614  BaseSetcba 30615   ·_𝑠OLD cns 30616  norm_CVcnmcv 30619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-nmcv 30629

This theorem is referenced by:  nvabs  30701  imsmetlem  30719  dipcj  30743