MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvdif 29028
Description: The norm of the difference between two vectors. (Contributed by NM, 1-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvdif.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvdif.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
nvdif.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvdif.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvdif ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))))

Proof of Theorem nvdif
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2 neg1cn 12087 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
32a1i 11 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -1 ∈ ℂ)
4 simp3 1137 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
5 nvdif.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6 nvdif.4 . . . . . . . 8 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
75, 6nvscl 28988 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
82, 7mp3an2 1448 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
983adant3 1131 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
10 nvdif.2 . . . . . 6 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
115, 10, 6nvdi 28992 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)) → (-1𝑆(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = ((-1𝑆𝐵)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐴))))
121, 3, 4, 9, 11syl13anc 1371 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1𝑆(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = ((-1𝑆𝐵)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐴))))
135, 6nvnegneg 29011 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = 𝐴)
14133adant3 1131 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = 𝐴)
1514oveq2d 7291 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((-1𝑆𝐵)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐴))) = ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐴))
165, 6nvscl 28988 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
172, 16mp3an2 1448 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
18173adant2 1130 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
19 simp2 1136 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
205, 10nvcom 28983 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐴) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))
211, 18, 19, 20syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐴) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))
2212, 15, 213eqtrd 2782 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1𝑆(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))
2322fveq2d 6778 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(-1𝑆(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) = (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
245, 10nvgcl 28982 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
251, 4, 9, 24syl3anc 1370 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
26 nvdif.6 . . . 4 𝑁 = (normCV𝑈)
275, 6, 26nvm1 29027 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1𝑆(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))))
281, 25, 27syl2anc 584 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(-1𝑆(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))))
2923, 28eqtr3d 2780 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  1c1 10872  -cneg 11206  NrmCVeccnv 28946   +𝑣 cpv 28947  BaseSetcba 28948   ·𝑠OLD cns 28949  normCVcnmcv 28952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-nmcv 28962
This theorem is referenced by:  nvabs  29034  imsmetlem  29052  dipcj  29076
  Copyright terms: Public domain W3C validator