MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvdif Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvdif 29907
Description: The norm of the difference between two vectors. (Contributed by NM, 1-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvdif.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvdif.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
nvdif.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
nvdif.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvdif ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))))
Proof of Theorem nvdif
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
2 neg1cn 12323 . . . . . 6 -1 ∈ β„‚
32a1i 11 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ -1 ∈ β„‚)
4 simp3 1139 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
5 nvdif.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
6 nvdif.4 . . . . . . . 8 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
75, 6nvscl 29867 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
82, 7mp3an2 1450 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
983adant3 1133 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
10 nvdif.2 . . . . . 6 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
115, 10, 6nvdi 29871 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)) β†’ (-1𝑆(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))) = ((-1𝑆𝐡)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐴))))
121, 3, 4, 9, 11syl13anc 1373 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))) = ((-1𝑆𝐡)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐴))))
135, 6nvnegneg 29890 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = 𝐴)
14133adant3 1133 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = 𝐴)
1514oveq2d 7422 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-1𝑆𝐡)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐴))) = ((-1𝑆𝐡)𝐺𝐴))
165, 6nvscl 29867 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
172, 16mp3an2 1450 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
18173adant2 1132 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
19 simp2 1138 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
205, 10nvcom 29862 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-1𝑆𝐡)𝐺𝐴) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))
211, 18, 19, 20syl3anc 1372 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-1𝑆𝐡)𝐺𝐴) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))
2212, 15, 213eqtrd 2777 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))
2322fveq2d 6893 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(-1𝑆(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))
245, 10nvgcl 29861 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
251, 4, 9, 24syl3anc 1372 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
26 nvdif.6 . . . 4 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
275, 6, 26nvm1 29906 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(-1𝑆(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))) = (π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))))
281, 25, 27syl2anc 585 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(-1𝑆(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))) = (π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))))
2923, 28eqtr3d 2775 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  1c1 11108  -cneg 11442  NrmCVeccnv 29825   +𝑣 cpv 29826  BaseSetcba 29827   ·𝑠OLD cns 29828  normCVcnmcv 29831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-grpo 29734  df-gid 29735  df-ginv 29736  df-ablo 29786  df-vc 29800  df-nv 29833  df-va 29836  df-ba 29837  df-sm 29838  df-0v 29839  df-nmcv 29841
This theorem is referenced by:  nvabs  29913  imsmetlem  29931  dipcj  29955
  Copyright terms: Public domain W3C validator