MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipblnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipblnfi 29839
Description: A function 𝐹 generated by varying the first argument of an inner product (with its second argument a fixed vector 𝐴) is a bounded linear functional, i.e. a bounded linear operator from the vector space to β„‚. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipblnfi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ipblnfi.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ipblnfi.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipblnfi.c 𝐢 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
ipblnfi.l 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp 𝐢)
ipblnfi.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝑃𝐴))
Assertion
Ref Expression
ipblnfi (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝑃
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem ipblnfi
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipblnfi.9 . . . . . . 7 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
21phnvi 29800 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ NrmCVec
3 ipblnfi.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
4 ipblnfi.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
53, 4dipcl 29696 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑃𝐴) ∈ β„‚)
62, 5mp3an1 1449 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑃𝐴) ∈ β„‚)
76ancoms 460 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑃𝐴) ∈ β„‚)
8 ipblnfi.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝑃𝐴))
97, 8fmptd 7067 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
10 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
113, 10nvscl 29610 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋)
122, 11mp3an1 1449 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋)
1312ad2ant2lr 747 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋)
14 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
15 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
16 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
173, 16, 4dipdir 29826 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑀𝑃𝐴)))
181, 17mpan 689 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑀𝑃𝐴)))
1913, 14, 15, 18syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑀𝑃𝐴)))
20 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
21 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
223, 16, 10, 4, 1ipassi 29825 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)))
2320, 21, 15, 22syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)))
2423oveq1d 7377 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑀𝑃𝐴)) = ((𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑀𝑃𝐴)))
2519, 24eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) = ((𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑀𝑃𝐴)))
2612adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋)
273, 16nvgcl 29604 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
282, 27mp3an1 1449 . . . . . . . . 9 (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
2926, 28sylan 581 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
3029anasss 468 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
31 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) β†’ (π‘₯𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴))
32 ovex 7395 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) ∈ V
3331, 8, 32fvmpt 6953 . . . . . . 7 (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴))
3430, 33syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴))
35 oveq1 7369 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯𝑃𝐴) = (𝑧𝑃𝐴))
36 ovex 7395 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑃𝐴) ∈ V
3735, 8, 36fvmpt 6953 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧𝑃𝐴))
3837ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧𝑃𝐴))
3938oveq2d 7378 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) = (𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)))
40 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯𝑃𝐴) = (𝑀𝑃𝐴))
41 ovex 7395 . . . . . . . . 9 (𝑀𝑃𝐴) ∈ V
4240, 8, 41fvmpt 6953 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (𝑀𝑃𝐴))
4342ad2antll 728 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (𝑀𝑃𝐴))
4439, 43oveq12d 7380 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)) = ((𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑀𝑃𝐴)))
4525, 34, 443eqtr4d 2787 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)))
4645ralrimivva 3198 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)))
4746ralrimiva 3144 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)))
48 ipblnfi.c . . . . 5 𝐢 = ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩
4948cnnv 29661 . . . 4 𝐢 ∈ NrmCVec
5048cnnvba 29663 . . . . 5 β„‚ = (BaseSetβ€˜πΆ)
5148cnnvg 29662 . . . . 5 + = ( +𝑣 β€˜πΆ)
5248cnnvs 29664 . . . . 5 Β· = ( ·𝑠OLD β€˜πΆ)
53 eqid 2737 . . . . 5 (π‘ˆ LnOp 𝐢) = (π‘ˆ LnOp 𝐢)
543, 50, 16, 51, 10, 52, 53islno 29737 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐢 ∈ NrmCVec) β†’ (𝐹 ∈ (π‘ˆ LnOp 𝐢) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)))))
552, 49, 54mp2an 691 . . 3 (𝐹 ∈ (π‘ˆ LnOp 𝐢) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€))))
569, 47, 55sylanbrc 584 . 2 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹 ∈ (π‘ˆ LnOp 𝐢))
57 eqid 2737 . . . 4 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
583, 57nvcl 29645 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ ℝ)
592, 58mpan 689 . 2 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ ℝ)
603, 57, 4, 1sii 29838 . . . . 5 ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(𝑧𝑃𝐴)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)))
6160ancoms 460 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(𝑧𝑃𝐴)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)))
6237adantl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧𝑃𝐴))
6362fveq2d 6851 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (absβ€˜(𝑧𝑃𝐴)))
6459recnd 11190 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ β„‚)
653, 57nvcl 29645 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ∈ ℝ)
662, 65mpan 689 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝑋 β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ∈ ℝ)
6766recnd 11190 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝑋 β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
68 mulcom 11144 . . . . 5 ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ∈ β„‚) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§)) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)))
6964, 67, 68syl2an 597 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§)) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)))
7061, 63, 693brtr4d 5142 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§)))
7170ralrimiva 3144 . 2 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§)))
7248cnnvnm 29665 . . 3 abs = (normCVβ€˜πΆ)
73 ipblnfi.l . . 3 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp 𝐢)
743, 57, 72, 53, 73, 2, 49blo3i 29786 . 2 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ LnOp 𝐢) ∧ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
7556, 59, 71, 74syl3anc 1372 1 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βŸ¨cop 4597   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057   + caddc 11061   Β· cmul 11063   ≀ cle 11197  abscabs 15126  NrmCVeccnv 29568   +𝑣 cpv 29569  BaseSetcba 29570   ·𝑠OLD cns 29571  normCVcnmcv 29574  Β·π‘–OLDcdip 29684   LnOp clno 29724   BLnOp cblo 29726  CPreHilOLDccphlo 29796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-t1 22681  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-dip 29685  df-lno 29728  df-nmoo 29729  df-blo 29730  df-0o 29731  df-ph 29797
This theorem is referenced by:  htthlem  29901
  Copyright terms: Public domain W3C validator