MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipblnfi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipblnfi 30146
Description: A function 𝐹 generated by varying the first argument of an inner product (with its second argument a fixed vector 𝐴) is a bounded linear functional, i.e. a bounded linear operator from the vector space to β„‚. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipblnfi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ipblnfi.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ipblnfi.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipblnfi.c 𝐢 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
ipblnfi.l 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp 𝐢)
ipblnfi.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝑃𝐴))
Assertion
Ref Expression
ipblnfi (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝑃
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem ipblnfi
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipblnfi.9 . . . . . . 7 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
21phnvi 30107 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ NrmCVec
3 ipblnfi.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
4 ipblnfi.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
53, 4dipcl 30003 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑃𝐴) ∈ β„‚)
62, 5mp3an1 1448 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑃𝐴) ∈ β„‚)
76ancoms 459 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑃𝐴) ∈ β„‚)
8 ipblnfi.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝑃𝐴))
97, 8fmptd 7115 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
10 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
113, 10nvscl 29917 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋)
122, 11mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋)
1312ad2ant2lr 746 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋)
14 simprr 771 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
15 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
16 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
173, 16, 4dipdir 30133 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑀𝑃𝐴)))
181, 17mpan 688 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑀𝑃𝐴)))
1913, 14, 15, 18syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑀𝑃𝐴)))
20 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
21 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
223, 16, 10, 4, 1ipassi 30132 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)))
2320, 21, 15, 22syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)))
2423oveq1d 7426 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑀𝑃𝐴)) = ((𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑀𝑃𝐴)))
2519, 24eqtrd 2772 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) = ((𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑀𝑃𝐴)))
2612adantll 712 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋)
273, 16nvgcl 29911 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
282, 27mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
2926, 28sylan 580 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
3029anasss 467 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
31 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) β†’ (π‘₯𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴))
32 ovex 7444 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) ∈ V
3331, 8, 32fvmpt 6998 . . . . . . 7 (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴))
3430, 33syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴))
35 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯𝑃𝐴) = (𝑧𝑃𝐴))
36 ovex 7444 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑃𝐴) ∈ V
3735, 8, 36fvmpt 6998 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧𝑃𝐴))
3837ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧𝑃𝐴))
3938oveq2d 7427 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) = (𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)))
40 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯𝑃𝐴) = (𝑀𝑃𝐴))
41 ovex 7444 . . . . . . . . 9 (𝑀𝑃𝐴) ∈ V
4240, 8, 41fvmpt 6998 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (𝑀𝑃𝐴))
4342ad2antll 727 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (𝑀𝑃𝐴))
4439, 43oveq12d 7429 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)) = ((𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑀𝑃𝐴)))
4525, 34, 443eqtr4d 2782 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)))
4645ralrimivva 3200 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)))
4746ralrimiva 3146 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)))
48 ipblnfi.c . . . . 5 𝐢 = ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩
4948cnnv 29968 . . . 4 𝐢 ∈ NrmCVec
5048cnnvba 29970 . . . . 5 β„‚ = (BaseSetβ€˜πΆ)
5148cnnvg 29969 . . . . 5 + = ( +𝑣 β€˜πΆ)
5248cnnvs 29971 . . . . 5 Β· = ( ·𝑠OLD β€˜πΆ)
53 eqid 2732 . . . . 5 (π‘ˆ LnOp 𝐢) = (π‘ˆ LnOp 𝐢)
543, 50, 16, 51, 10, 52, 53islno 30044 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐢 ∈ NrmCVec) β†’ (𝐹 ∈ (π‘ˆ LnOp 𝐢) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)))))
552, 49, 54mp2an 690 . . 3 (𝐹 ∈ (π‘ˆ LnOp 𝐢) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€))))
569, 47, 55sylanbrc 583 . 2 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹 ∈ (π‘ˆ LnOp 𝐢))
57 eqid 2732 . . . 4 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
583, 57nvcl 29952 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ ℝ)
592, 58mpan 688 . 2 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ ℝ)
603, 57, 4, 1sii 30145 . . . . 5 ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(𝑧𝑃𝐴)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)))
6160ancoms 459 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(𝑧𝑃𝐴)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)))
6237adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧𝑃𝐴))
6362fveq2d 6895 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (absβ€˜(𝑧𝑃𝐴)))
6459recnd 11244 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ β„‚)
653, 57nvcl 29952 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ∈ ℝ)
662, 65mpan 688 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝑋 β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ∈ ℝ)
6766recnd 11244 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝑋 β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
68 mulcom 11198 . . . . 5 ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ∈ β„‚) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§)) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)))
6964, 67, 68syl2an 596 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§)) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)))
7061, 63, 693brtr4d 5180 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§)))
7170ralrimiva 3146 . 2 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§)))
7248cnnvnm 29972 . . 3 abs = (normCVβ€˜πΆ)
73 ipblnfi.l . . 3 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp 𝐢)
743, 57, 72, 53, 73, 2, 49blo3i 30093 . 2 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ LnOp 𝐢) ∧ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
7556, 59, 71, 74syl3anc 1371 1 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111   + caddc 11115   Β· cmul 11117   ≀ cle 11251  abscabs 15183  NrmCVeccnv 29875   +𝑣 cpv 29876  BaseSetcba 29877   ·𝑠OLD cns 29878  normCVcnmcv 29881  Β·π‘–OLDcdip 29991   LnOp clno 30031   BLnOp cblo 30033  CPreHilOLDccphlo 30103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-t1 22825  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ginv 29786  df-gdiv 29787  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-vs 29890  df-nmcv 29891  df-ims 29892  df-dip 29992  df-lno 30035  df-nmoo 30036  df-blo 30037  df-0o 30038  df-ph 30104
This theorem is referenced by:  htthlem  30208
  Copyright terms: Public domain W3C validator