Theorem ipblnfi 31148

Description: A function 𝐹 generated by varying the first argument of an inner product (with its second argument a fixed vector 𝐴) is a bounded linear functional, i.e. a bounded linear operator from the vector space to ℂ. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipblnfi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipblnfi.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ipblnfi.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipblnfi.c	⊢ 𝐶 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
ipblnfi.l	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝐶)
ipblnfi.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑃𝐴))

Assertion

Ref	Expression
ipblnfi	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋   𝑥,𝑃

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ipblnfi

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipblnfi.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2	1	phnvi 31109	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		ipblnfi.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		ipblnfi.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
5	3, 4	dipcl 31005	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
6	2, 5	mp3an1 1474	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
7	6	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
8		ipblnfi.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑃𝐴))
9	7, 8	fmptd 7110	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
10		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
11	3, 10	nvscl 30919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
12	2, 11	mp3an1 1474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
13	12	ad2ant2lr 760	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
14		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
15		simpll 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
16		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
17	3, 16, 4	dipdir 31135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
18	1, 17	mpan 702	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
19	13, 14, 15, 18	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
20		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
21		simprl 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
22	3, 16, 10, 4, 1	ipassi 31134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
23	20, 21, 15, 22	syl3anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
24	23	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
25	19, 24	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
26	12	adantll 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
27	3, 16	nvgcl 30913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
28	2, 27	mp3an1 1474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
29	26, 28	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
30	29	anasss 471	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
31		oveq1 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) → (𝑥𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
32		ovex 7444	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) ∈ V
33	31, 8, 32	fvmpt 6990	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋 → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
34	30, 33	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
35		oveq1 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑧𝑃𝐴))
36		ovex 7444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧𝑃𝐴) ∈ V
37	35, 8, 36	fvmpt 6990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
38	37	ad2antrl 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
39	38	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑦 · (𝐹‘𝑧)) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
40		oveq1 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑤𝑃𝐴))
41		ovex 7444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤𝑃𝐴) ∈ V
42	40, 8, 41	fvmpt 6990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑤) = (𝑤𝑃𝐴))
43	42	ad2antll 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) = (𝑤𝑃𝐴))
44	39, 43	oveq12d 7429	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
45	25, 34, 44	3eqtr4d 2814	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))
46	45	ralrimivva 3214	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))
47	46	ralrimiva 3163	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))
48		ipblnfi.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
49	48	cnnv 30970	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ NrmCVec
50	48	cnnvba 30972	. . . . 5 ⊢ ℂ = (BaseSet‘𝐶)
51	48	cnnvg 30971	. . . . 5 ⊢ + = ( +𝑣 ‘𝐶)
52	48	cnnvs 30973	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠OLD ‘𝐶)
53		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑈 LnOp 𝐶) = (𝑈 LnOp 𝐶)
54	3, 50, 16, 51, 10, 52, 53	islno 31046	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ NrmCVec) → (𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))))
55	2, 49, 54	mp2an 704	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤))))
56	9, 47, 55	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶))
57		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
58	3, 57	nvcl 30954	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
59	2, 58	mpan 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
60	3, 57, 4, 1	sii 31147	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑧𝑃𝐴)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
61	60	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑧𝑃𝐴)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
62	37	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
63	62	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) = (abs‘(𝑧𝑃𝐴)))
64	59	recnd 11237	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ)
65	3, 57	nvcl 30954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
66	2, 65	mpan 702	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
67	66	recnd 11237	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ)
68		mulcom 11186	. . . . 5 ⊢ ((((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ) → (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) = (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
69	64, 67, 68	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) = (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
70	61, 63, 69	3brtr4d 5147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
71	70	ralrimiva 3163	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
72	48	cnnvnm 30974	. . 3 ⊢ abs = (normCV‘𝐶)
73		ipblnfi.l	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝐶)
74	3, 57, 72, 53, 73, 2, 49	blo3i 31095	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))) → 𝐹 ∈ 𝐵)
75	56, 59, 71, 74	syl3anc 1396	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ⟨cop 4600   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099   + caddc 11103   · cmul 11105   ≤ cle 11244  abscabs 15285  NrmCVeccnv 30877   +_𝑣 cpv 30878  BaseSetcba 30879   ·_𝑠OLD cns 30880  norm_CVcnmcv 30883  ·_𝑖OLDcdip 30993   LnOp clno 31033   BLnOp cblo 31035  CPreHil_OLDccphlo 31105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179  ax-mulf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-t1 23440  df-haus 23441  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-grpo 30786  df-gid 30787  df-ginv 30788  df-gdiv 30789  df-ablo 30838  df-vc 30852  df-nv 30885  df-va 30888  df-ba 30889  df-sm 30890  df-0v 30891  df-vs 30892  df-nmcv 30893  df-ims 30894  df-dip 30994  df-lno 31037  df-nmoo 31038  df-blo 31039  df-0o 31040  df-ph 31106

This theorem is referenced by:  htthlem  31210