MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipblnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipblnfi 30878
Description: A function 𝐹 generated by varying the first argument of an inner product (with its second argument a fixed vector 𝐴) is a bounded linear functional, i.e. a bounded linear operator from the vector space to . (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipblnfi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipblnfi.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ipblnfi.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipblnfi.c 𝐶 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
ipblnfi.l 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝐶)
ipblnfi.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑃𝐴))
Assertion
Ref Expression
ipblnfi (𝐴𝑋𝐹𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋   𝑥,𝑃
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ipblnfi
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipblnfi.9 . . . . . . 7 𝑈 ∈ CPreHilOLD
21phnvi 30839 . . . . . 6 𝑈 ∈ NrmCVec
3 ipblnfi.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4 ipblnfi.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
53, 4dipcl 30735 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋𝐴𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
62, 5mp3an1 1448 . . . . 5 ((𝑥𝑋𝐴𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
76ancoms 458 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑥𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
8 ipblnfi.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑃𝐴))
97, 8fmptd 7146 . . 3 (𝐴𝑋𝐹:𝑋⟶ℂ)
10 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
113, 10nvscl 30649 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
122, 11mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
1312ad2ant2lr 747 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
14 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝑤𝑋)
15 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝐴𝑋)
16 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
173, 16, 4dipdir 30865 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋𝑤𝑋𝐴𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
181, 17mpan 689 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋𝑤𝑋𝐴𝑋) → (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
1913, 14, 15, 18syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
20 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
21 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝑧𝑋)
223, 16, 10, 4, 1ipassi 30864 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋𝐴𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
2320, 21, 15, 22syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
2423oveq1d 7460 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
2519, 24eqtrd 2774 . . . . . 6 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
2612adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
273, 16nvgcl 30643 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋𝑤𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
282, 27mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋𝑤𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
2926, 28sylan 579 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑤𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
3029anasss 466 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
31 oveq1 7452 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤) → (𝑥𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
32 ovex 7478 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴) ∈ V
3331, 8, 32fvmpt 7027 . . . . . . 7 (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋 → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
3430, 33syl 17 . . . . . 6 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
35 oveq1 7452 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑧𝑃𝐴))
36 ovex 7478 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑃𝐴) ∈ V
3735, 8, 36fvmpt 7027 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑋 → (𝐹𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
3837ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
3938oveq2d 7461 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑦 · (𝐹𝑧)) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
40 oveq1 7452 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑤𝑃𝐴))
41 ovex 7478 . . . . . . . . 9 (𝑤𝑃𝐴) ∈ V
4240, 8, 41fvmpt 7027 . . . . . . . 8 (𝑤𝑋 → (𝐹𝑤) = (𝑤𝑃𝐴))
4342ad2antll 728 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) = (𝑤𝑃𝐴))
4439, 43oveq12d 7463 . . . . . 6 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝑦 · (𝐹𝑧)) + (𝐹𝑤)) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
4525, 34, 443eqtr4d 2784 . . . . 5 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹𝑧)) + (𝐹𝑤)))
4645ralrimivva 3204 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) → ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹𝑧)) + (𝐹𝑤)))
4746ralrimiva 3148 . . 3 (𝐴𝑋 → ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹𝑧)) + (𝐹𝑤)))
48 ipblnfi.c . . . . 5 𝐶 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
4948cnnv 30700 . . . 4 𝐶 ∈ NrmCVec
5048cnnvba 30702 . . . . 5 ℂ = (BaseSet‘𝐶)
5148cnnvg 30701 . . . . 5 + = ( +𝑣𝐶)
5248cnnvs 30703 . . . . 5 · = ( ·𝑠OLD𝐶)
53 eqid 2734 . . . . 5 (𝑈 LnOp 𝐶) = (𝑈 LnOp 𝐶)
543, 50, 16, 51, 10, 52, 53islno 30776 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ NrmCVec) → (𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹𝑧)) + (𝐹𝑤)))))
552, 49, 54mp2an 691 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹𝑧)) + (𝐹𝑤))))
569, 47, 55sylanbrc 582 . 2 (𝐴𝑋𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶))
57 eqid 2734 . . . 4 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
583, 57nvcl 30684 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
592, 58mpan 689 . 2 (𝐴𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
603, 57, 4, 1sii 30877 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝐴𝑋) → (abs‘(𝑧𝑃𝐴)) ≤ (((normCV𝑈)‘𝑧) · ((normCV𝑈)‘𝐴)))
6160ancoms 458 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑧𝑋) → (abs‘(𝑧𝑃𝐴)) ≤ (((normCV𝑈)‘𝑧) · ((normCV𝑈)‘𝐴)))
6237adantl 481 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
6362fveq2d 6923 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑧𝑋) → (abs‘(𝐹𝑧)) = (abs‘(𝑧𝑃𝐴)))
6459recnd 11314 . . . . 5 (𝐴𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ)
653, 57nvcl 30684 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
662, 65mpan 689 . . . . . 6 (𝑧𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
6766recnd 11314 . . . . 5 (𝑧𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ)
68 mulcom 11266 . . . . 5 ((((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘𝐴) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) = (((normCV𝑈)‘𝑧) · ((normCV𝑈)‘𝐴)))
6964, 67, 68syl2an 595 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑧𝑋) → (((normCV𝑈)‘𝐴) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) = (((normCV𝑈)‘𝑧) · ((normCV𝑈)‘𝐴)))
7061, 63, 693brtr4d 5201 . . 3 ((𝐴𝑋𝑧𝑋) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (((normCV𝑈)‘𝐴) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
7170ralrimiva 3148 . 2 (𝐴𝑋 → ∀𝑧𝑋 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (((normCV𝑈)‘𝐴) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
7248cnnvnm 30704 . . 3 abs = (normCV𝐶)
73 ipblnfi.l . . 3 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝐶)
743, 57, 72, 53, 73, 2, 49blo3i 30825 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ∧ ((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (((normCV𝑈)‘𝐴) · ((normCV𝑈)‘𝑧))) → 𝐹𝐵)
7556, 59, 71, 74syl3anc 1371 1 (𝐴𝑋𝐹𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2103  wral 3063  cop 4654   class class class wbr 5169  cmpt 5252  wf 6568  cfv 6572  (class class class)co 7445  cc 11178  cr 11179   + caddc 11183   · cmul 11185  cle 11321  abscabs 15279  NrmCVeccnv 30607   +𝑣 cpv 30608  BaseSetcba 30609   ·𝑠OLD cns 30610  normCVcnmcv 30613  ·𝑖OLDcdip 30723   LnOp clno 30763   BLnOp cblo 30765  CPreHilOLDccphlo 30835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-inf2 9706  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258  ax-addf 11259  ax-mulf 11260
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-iin 5022  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-supp 8198  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-map 8882  df-ixp 8952  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-fsupp 9428  df-fi 9476  df-sup 9507  df-inf 9508  df-oi 9575  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-q 13010  df-rp 13054  df-xneg 13171  df-xadd 13172  df-xmul 13173  df-ioo 13407  df-icc 13410  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-clim 15530  df-sum 15731  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17477  df-topn 17478  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-topgen 17498  df-pt 17499  df-prds 17502  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-submnd 18814  df-mulg 19103  df-cntz 19352  df-cmn 19819  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22914  df-topon 22931  df-topsp 22953  df-bases 22967  df-cld 23041  df-ntr 23042  df-cls 23043  df-cn 23249  df-cnp 23250  df-t1 23336  df-haus 23337  df-tx 23584  df-hmeo 23777  df-xms 24344  df-ms 24345  df-tms 24346  df-grpo 30516  df-gid 30517  df-ginv 30518  df-gdiv 30519  df-ablo 30568  df-vc 30582  df-nv 30615  df-va 30618  df-ba 30619  df-sm 30620  df-0v 30621  df-vs 30622  df-nmcv 30623  df-ims 30624  df-dip 30724  df-lno 30767  df-nmoo 30768  df-blo 30769  df-0o 30770  df-ph 30836
This theorem is referenced by:  htthlem  30940
  Copyright terms: Public domain W3C validator