MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipblnfi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipblnfi 30095
Description: A function 𝐹 generated by varying the first argument of an inner product (with its second argument a fixed vector 𝐴) is a bounded linear functional, i.e. a bounded linear operator from the vector space to β„‚. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipblnfi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ipblnfi.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ipblnfi.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipblnfi.c 𝐢 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
ipblnfi.l 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp 𝐢)
ipblnfi.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝑃𝐴))
Assertion
Ref Expression
ipblnfi (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝑃
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem ipblnfi
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipblnfi.9 . . . . . . 7 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
21phnvi 30056 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ NrmCVec
3 ipblnfi.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
4 ipblnfi.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
53, 4dipcl 29952 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑃𝐴) ∈ β„‚)
62, 5mp3an1 1448 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑃𝐴) ∈ β„‚)
76ancoms 459 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑃𝐴) ∈ β„‚)
8 ipblnfi.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝑃𝐴))
97, 8fmptd 7110 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
10 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
113, 10nvscl 29866 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋)
122, 11mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋)
1312ad2ant2lr 746 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋)
14 simprr 771 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
15 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
16 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
173, 16, 4dipdir 30082 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑀𝑃𝐴)))
181, 17mpan 688 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑀𝑃𝐴)))
1913, 14, 15, 18syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑀𝑃𝐴)))
20 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
21 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
223, 16, 10, 4, 1ipassi 30081 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)))
2320, 21, 15, 22syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)))
2423oveq1d 7420 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑀𝑃𝐴)) = ((𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑀𝑃𝐴)))
2519, 24eqtrd 2772 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) = ((𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑀𝑃𝐴)))
2612adantll 712 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋)
273, 16nvgcl 29860 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
282, 27mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
2926, 28sylan 580 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
3029anasss 467 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
31 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) β†’ (π‘₯𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴))
32 ovex 7438 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) ∈ V
3331, 8, 32fvmpt 6995 . . . . . . 7 (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴))
3430, 33syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴))
35 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯𝑃𝐴) = (𝑧𝑃𝐴))
36 ovex 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑃𝐴) ∈ V
3735, 8, 36fvmpt 6995 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧𝑃𝐴))
3837ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧𝑃𝐴))
3938oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) = (𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)))
40 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯𝑃𝐴) = (𝑀𝑃𝐴))
41 ovex 7438 . . . . . . . . 9 (𝑀𝑃𝐴) ∈ V
4240, 8, 41fvmpt 6995 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (𝑀𝑃𝐴))
4342ad2antll 727 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (𝑀𝑃𝐴))
4439, 43oveq12d 7423 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)) = ((𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑀𝑃𝐴)))
4525, 34, 443eqtr4d 2782 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)))
4645ralrimivva 3200 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)))
4746ralrimiva 3146 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)))
48 ipblnfi.c . . . . 5 𝐢 = ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩
4948cnnv 29917 . . . 4 𝐢 ∈ NrmCVec
5048cnnvba 29919 . . . . 5 β„‚ = (BaseSetβ€˜πΆ)
5148cnnvg 29918 . . . . 5 + = ( +𝑣 β€˜πΆ)
5248cnnvs 29920 . . . . 5 Β· = ( ·𝑠OLD β€˜πΆ)
53 eqid 2732 . . . . 5 (π‘ˆ LnOp 𝐢) = (π‘ˆ LnOp 𝐢)
543, 50, 16, 51, 10, 52, 53islno 29993 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐢 ∈ NrmCVec) β†’ (𝐹 ∈ (π‘ˆ LnOp 𝐢) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)))))
552, 49, 54mp2an 690 . . 3 (𝐹 ∈ (π‘ˆ LnOp 𝐢) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€))))
569, 47, 55sylanbrc 583 . 2 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹 ∈ (π‘ˆ LnOp 𝐢))
57 eqid 2732 . . . 4 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
583, 57nvcl 29901 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ ℝ)
592, 58mpan 688 . 2 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ ℝ)
603, 57, 4, 1sii 30094 . . . . 5 ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(𝑧𝑃𝐴)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)))
6160ancoms 459 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(𝑧𝑃𝐴)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)))
6237adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧𝑃𝐴))
6362fveq2d 6892 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (absβ€˜(𝑧𝑃𝐴)))
6459recnd 11238 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ β„‚)
653, 57nvcl 29901 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ∈ ℝ)
662, 65mpan 688 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝑋 β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ∈ ℝ)
6766recnd 11238 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝑋 β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
68 mulcom 11192 . . . . 5 ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ∈ β„‚) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§)) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)))
6964, 67, 68syl2an 596 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§)) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)))
7061, 63, 693brtr4d 5179 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§)))
7170ralrimiva 3146 . 2 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§)))
7248cnnvnm 29921 . . 3 abs = (normCVβ€˜πΆ)
73 ipblnfi.l . . 3 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp 𝐢)
743, 57, 72, 53, 73, 2, 49blo3i 30042 . 2 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ LnOp 𝐢) ∧ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
7556, 59, 71, 74syl3anc 1371 1 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105   + caddc 11109   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245  abscabs 15177  NrmCVeccnv 29824   +𝑣 cpv 29825  BaseSetcba 29826   ·𝑠OLD cns 29827  normCVcnmcv 29830  Β·π‘–OLDcdip 29940   LnOp clno 29980   BLnOp cblo 29982  CPreHilOLDccphlo 30052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-t1 22809  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-dip 29941  df-lno 29984  df-nmoo 29985  df-blo 29986  df-0o 29987  df-ph 30053
This theorem is referenced by:  htthlem  30157
  Copyright terms: Public domain W3C validator