MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipblnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipblnfi 29797
Description: A function 𝐹 generated by varying the first argument of an inner product (with its second argument a fixed vector 𝐴) is a bounded linear functional, i.e. a bounded linear operator from the vector space to . (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipblnfi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipblnfi.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ipblnfi.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipblnfi.c 𝐶 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
ipblnfi.l 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝐶)
ipblnfi.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑃𝐴))
Assertion
Ref Expression
ipblnfi (𝐴𝑋𝐹𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋   𝑥,𝑃
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ipblnfi
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipblnfi.9 . . . . . . 7 𝑈 ∈ CPreHilOLD
21phnvi 29758 . . . . . 6 𝑈 ∈ NrmCVec
3 ipblnfi.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4 ipblnfi.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
53, 4dipcl 29654 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋𝐴𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
62, 5mp3an1 1448 . . . . 5 ((𝑥𝑋𝐴𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
76ancoms 459 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑥𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
8 ipblnfi.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑃𝐴))
97, 8fmptd 7062 . . 3 (𝐴𝑋𝐹:𝑋⟶ℂ)
10 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
113, 10nvscl 29568 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
122, 11mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
1312ad2ant2lr 746 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
14 simprr 771 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝑤𝑋)
15 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝐴𝑋)
16 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
173, 16, 4dipdir 29784 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋𝑤𝑋𝐴𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
181, 17mpan 688 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋𝑤𝑋𝐴𝑋) → (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
1913, 14, 15, 18syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
20 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
21 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝑧𝑋)
223, 16, 10, 4, 1ipassi 29783 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋𝐴𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
2320, 21, 15, 22syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
2423oveq1d 7372 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
2519, 24eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
2612adantll 712 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
273, 16nvgcl 29562 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋𝑤𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
282, 27mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋𝑤𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
2926, 28sylan 580 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑤𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
3029anasss 467 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
31 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤) → (𝑥𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
32 ovex 7390 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴) ∈ V
3331, 8, 32fvmpt 6948 . . . . . . 7 (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋 → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
3430, 33syl 17 . . . . . 6 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
35 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑧𝑃𝐴))
36 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑃𝐴) ∈ V
3735, 8, 36fvmpt 6948 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑋 → (𝐹𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
3837ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
3938oveq2d 7373 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑦 · (𝐹𝑧)) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
40 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑤𝑃𝐴))
41 ovex 7390 . . . . . . . . 9 (𝑤𝑃𝐴) ∈ V
4240, 8, 41fvmpt 6948 . . . . . . . 8 (𝑤𝑋 → (𝐹𝑤) = (𝑤𝑃𝐴))
4342ad2antll 727 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) = (𝑤𝑃𝐴))
4439, 43oveq12d 7375 . . . . . 6 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝑦 · (𝐹𝑧)) + (𝐹𝑤)) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
4525, 34, 443eqtr4d 2786 . . . . 5 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹𝑧)) + (𝐹𝑤)))
4645ralrimivva 3197 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) → ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹𝑧)) + (𝐹𝑤)))
4746ralrimiva 3143 . . 3 (𝐴𝑋 → ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹𝑧)) + (𝐹𝑤)))
48 ipblnfi.c . . . . 5 𝐶 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
4948cnnv 29619 . . . 4 𝐶 ∈ NrmCVec
5048cnnvba 29621 . . . . 5 ℂ = (BaseSet‘𝐶)
5148cnnvg 29620 . . . . 5 + = ( +𝑣𝐶)
5248cnnvs 29622 . . . . 5 · = ( ·𝑠OLD𝐶)
53 eqid 2736 . . . . 5 (𝑈 LnOp 𝐶) = (𝑈 LnOp 𝐶)
543, 50, 16, 51, 10, 52, 53islno 29695 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ NrmCVec) → (𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹𝑧)) + (𝐹𝑤)))))
552, 49, 54mp2an 690 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹𝑧)) + (𝐹𝑤))))
569, 47, 55sylanbrc 583 . 2 (𝐴𝑋𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶))
57 eqid 2736 . . . 4 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
583, 57nvcl 29603 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
592, 58mpan 688 . 2 (𝐴𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
603, 57, 4, 1sii 29796 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝐴𝑋) → (abs‘(𝑧𝑃𝐴)) ≤ (((normCV𝑈)‘𝑧) · ((normCV𝑈)‘𝐴)))
6160ancoms 459 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑧𝑋) → (abs‘(𝑧𝑃𝐴)) ≤ (((normCV𝑈)‘𝑧) · ((normCV𝑈)‘𝐴)))
6237adantl 482 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
6362fveq2d 6846 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑧𝑋) → (abs‘(𝐹𝑧)) = (abs‘(𝑧𝑃𝐴)))
6459recnd 11183 . . . . 5 (𝐴𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ)
653, 57nvcl 29603 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
662, 65mpan 688 . . . . . 6 (𝑧𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
6766recnd 11183 . . . . 5 (𝑧𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ)
68 mulcom 11137 . . . . 5 ((((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘𝐴) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) = (((normCV𝑈)‘𝑧) · ((normCV𝑈)‘𝐴)))
6964, 67, 68syl2an 596 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑧𝑋) → (((normCV𝑈)‘𝐴) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) = (((normCV𝑈)‘𝑧) · ((normCV𝑈)‘𝐴)))
7061, 63, 693brtr4d 5137 . . 3 ((𝐴𝑋𝑧𝑋) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (((normCV𝑈)‘𝐴) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
7170ralrimiva 3143 . 2 (𝐴𝑋 → ∀𝑧𝑋 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (((normCV𝑈)‘𝐴) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
7248cnnvnm 29623 . . 3 abs = (normCV𝐶)
73 ipblnfi.l . . 3 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝐶)
743, 57, 72, 53, 73, 2, 49blo3i 29744 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ∧ ((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (((normCV𝑈)‘𝐴) · ((normCV𝑈)‘𝑧))) → 𝐹𝐵)
7556, 59, 71, 74syl3anc 1371 1 (𝐴𝑋𝐹𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  cop 4592   class class class wbr 5105  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050   + caddc 11054   · cmul 11056  cle 11190  abscabs 15119  NrmCVeccnv 29526   +𝑣 cpv 29527  BaseSetcba 29528   ·𝑠OLD cns 29529  normCVcnmcv 29532  ·𝑖OLDcdip 29642   LnOp clno 29682   BLnOp cblo 29684  CPreHilOLDccphlo 29754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-t1 22665  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-dip 29643  df-lno 29686  df-nmoo 29687  df-blo 29688  df-0o 29689  df-ph 29755
This theorem is referenced by:  htthlem  29859
  Copyright terms: Public domain W3C validator