Theorem ipblnfi 30945

Description: A function 𝐹 generated by varying the first argument of an inner product (with its second argument a fixed vector 𝐴) is a bounded linear functional, i.e. a bounded linear operator from the vector space to ℂ. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipblnfi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipblnfi.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ipblnfi.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipblnfi.c	⊢ 𝐶 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
ipblnfi.l	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝐶)
ipblnfi.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑃𝐴))

Assertion

Ref	Expression
ipblnfi	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋   𝑥,𝑃

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ipblnfi

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipblnfi.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2	1	phnvi 30906	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		ipblnfi.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		ipblnfi.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
5	3, 4	dipcl 30802	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
6	2, 5	mp3an1 1451	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
7	6	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
8		ipblnfi.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑃𝐴))
9	7, 8	fmptd 7062	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
10		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
11	3, 10	nvscl 30716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
12	2, 11	mp3an1 1451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
13	12	ad2ant2lr 749	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
14		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
15		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
16		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
17	3, 16, 4	dipdir 30932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
18	1, 17	mpan 691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
19	13, 14, 15, 18	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
20		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
21		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
22	3, 16, 10, 4, 1	ipassi 30931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
23	20, 21, 15, 22	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
24	23	oveq1d 7377	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
25	19, 24	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
26	12	adantll 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
27	3, 16	nvgcl 30710	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
28	2, 27	mp3an1 1451	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
29	26, 28	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
30	29	anasss 466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
31		oveq1 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) → (𝑥𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
32		ovex 7395	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) ∈ V
33	31, 8, 32	fvmpt 6943	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋 → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
34	30, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
35		oveq1 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑧𝑃𝐴))
36		ovex 7395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧𝑃𝐴) ∈ V
37	35, 8, 36	fvmpt 6943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
38	37	ad2antrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
39	38	oveq2d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑦 · (𝐹‘𝑧)) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
40		oveq1 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑤𝑃𝐴))
41		ovex 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤𝑃𝐴) ∈ V
42	40, 8, 41	fvmpt 6943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑤) = (𝑤𝑃𝐴))
43	42	ad2antll 730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) = (𝑤𝑃𝐴))
44	39, 43	oveq12d 7380	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
45	25, 34, 44	3eqtr4d 2782	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))
46	45	ralrimivva 3181	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))
47	46	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))
48		ipblnfi.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
49	48	cnnv 30767	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ NrmCVec
50	48	cnnvba 30769	. . . . 5 ⊢ ℂ = (BaseSet‘𝐶)
51	48	cnnvg 30768	. . . . 5 ⊢ + = ( +𝑣 ‘𝐶)
52	48	cnnvs 30770	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠OLD ‘𝐶)
53		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑈 LnOp 𝐶) = (𝑈 LnOp 𝐶)
54	3, 50, 16, 51, 10, 52, 53	islno 30843	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ NrmCVec) → (𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))))
55	2, 49, 54	mp2an 693	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤))))
56	9, 47, 55	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶))
57		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
58	3, 57	nvcl 30751	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
59	2, 58	mpan 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
60	3, 57, 4, 1	sii 30944	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑧𝑃𝐴)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
61	60	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑧𝑃𝐴)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
62	37	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
63	62	fveq2d 6840	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) = (abs‘(𝑧𝑃𝐴)))
64	59	recnd 11168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ)
65	3, 57	nvcl 30751	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
66	2, 65	mpan 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
67	66	recnd 11168	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ)
68		mulcom 11119	. . . . 5 ⊢ ((((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ) → (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) = (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
69	64, 67, 68	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) = (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
70	61, 63, 69	3brtr4d 5118	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
71	70	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
72	48	cnnvnm 30771	. . 3 ⊢ abs = (normCV‘𝐶)
73		ipblnfi.l	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝐶)
74	3, 57, 72, 53, 73, 2, 49	blo3i 30892	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))) → 𝐹 ∈ 𝐵)
75	56, 59, 71, 74	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℂcc 11031  ℝcr 11032   + caddc 11036   · cmul 11038   ≤ cle 11175  abscabs 15191  NrmCVeccnv 30674   +_𝑣 cpv 30675  BaseSetcba 30676   ·_𝑠OLD cns 30677  norm_CVcnmcv 30680  ·_𝑖OLDcdip 30790   LnOp clno 30830   BLnOp cblo 30832  CPreHil_OLDccphlo 30902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112  ax-mulf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-cnfld 21349  df-top 22873  df-topon 22890  df-topsp 22912  df-bases 22925  df-cld 22998  df-ntr 22999  df-cls 23000  df-cn 23206  df-cnp 23207  df-t1 23293  df-haus 23294  df-tx 23541  df-hmeo 23734  df-xms 24299  df-ms 24300  df-tms 24301  df-grpo 30583  df-gid 30584  df-ginv 30585  df-gdiv 30586  df-ablo 30635  df-vc 30649  df-nv 30682  df-va 30685  df-ba 30686  df-sm 30687  df-0v 30688  df-vs 30689  df-nmcv 30690  df-ims 30691  df-dip 30791  df-lno 30834  df-nmoo 30835  df-blo 30836  df-0o 30837  df-ph 30903

This theorem is referenced by:  htthlem  31007