MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipblnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipblnfi 30889
Description: A function 𝐹 generated by varying the first argument of an inner product (with its second argument a fixed vector 𝐴) is a bounded linear functional, i.e. a bounded linear operator from the vector space to . (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipblnfi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipblnfi.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ipblnfi.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipblnfi.c 𝐶 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
ipblnfi.l 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝐶)
ipblnfi.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑃𝐴))
Assertion
Ref Expression
ipblnfi (𝐴𝑋𝐹𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋   𝑥,𝑃
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ipblnfi
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipblnfi.9 . . . . . . 7 𝑈 ∈ CPreHilOLD
21phnvi 30850 . . . . . 6 𝑈 ∈ NrmCVec
3 ipblnfi.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4 ipblnfi.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
53, 4dipcl 30746 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋𝐴𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
62, 5mp3an1 1448 . . . . 5 ((𝑥𝑋𝐴𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
76ancoms 458 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑥𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
8 ipblnfi.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑃𝐴))
97, 8fmptd 7150 . . 3 (𝐴𝑋𝐹:𝑋⟶ℂ)
10 eqid 2740 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
113, 10nvscl 30660 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
122, 11mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
1312ad2ant2lr 747 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
14 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝑤𝑋)
15 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝐴𝑋)
16 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
173, 16, 4dipdir 30876 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋𝑤𝑋𝐴𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
181, 17mpan 689 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋𝑤𝑋𝐴𝑋) → (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
1913, 14, 15, 18syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
20 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
21 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝑧𝑋)
223, 16, 10, 4, 1ipassi 30875 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋𝐴𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
2320, 21, 15, 22syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
2423oveq1d 7465 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
2519, 24eqtrd 2780 . . . . . 6 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
2612adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
273, 16nvgcl 30654 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋𝑤𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
282, 27mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋𝑤𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
2926, 28sylan 579 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑤𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
3029anasss 466 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
31 oveq1 7457 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤) → (𝑥𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
32 ovex 7483 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴) ∈ V
3331, 8, 32fvmpt 7031 . . . . . . 7 (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋 → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
3430, 33syl 17 . . . . . 6 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = (((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
35 oveq1 7457 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑧𝑃𝐴))
36 ovex 7483 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑃𝐴) ∈ V
3735, 8, 36fvmpt 7031 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑋 → (𝐹𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
3837ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
3938oveq2d 7466 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑦 · (𝐹𝑧)) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
40 oveq1 7457 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑤𝑃𝐴))
41 ovex 7483 . . . . . . . . 9 (𝑤𝑃𝐴) ∈ V
4240, 8, 41fvmpt 7031 . . . . . . . 8 (𝑤𝑋 → (𝐹𝑤) = (𝑤𝑃𝐴))
4342ad2antll 728 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) = (𝑤𝑃𝐴))
4439, 43oveq12d 7468 . . . . . 6 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝑦 · (𝐹𝑧)) + (𝐹𝑤)) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
4525, 34, 443eqtr4d 2790 . . . . 5 (((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹𝑧)) + (𝐹𝑤)))
4645ralrimivva 3208 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑦 ∈ ℂ) → ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹𝑧)) + (𝐹𝑤)))
4746ralrimiva 3152 . . 3 (𝐴𝑋 → ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹𝑧)) + (𝐹𝑤)))
48 ipblnfi.c . . . . 5 𝐶 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
4948cnnv 30711 . . . 4 𝐶 ∈ NrmCVec
5048cnnvba 30713 . . . . 5 ℂ = (BaseSet‘𝐶)
5148cnnvg 30712 . . . . 5 + = ( +𝑣𝐶)
5248cnnvs 30714 . . . . 5 · = ( ·𝑠OLD𝐶)
53 eqid 2740 . . . . 5 (𝑈 LnOp 𝐶) = (𝑈 LnOp 𝐶)
543, 50, 16, 51, 10, 52, 53islno 30787 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ NrmCVec) → (𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹𝑧)) + (𝐹𝑤)))))
552, 49, 54mp2an 691 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)( +𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹𝑧)) + (𝐹𝑤))))
569, 47, 55sylanbrc 582 . 2 (𝐴𝑋𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶))
57 eqid 2740 . . . 4 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
583, 57nvcl 30695 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
592, 58mpan 689 . 2 (𝐴𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
603, 57, 4, 1sii 30888 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝐴𝑋) → (abs‘(𝑧𝑃𝐴)) ≤ (((normCV𝑈)‘𝑧) · ((normCV𝑈)‘𝐴)))
6160ancoms 458 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑧𝑋) → (abs‘(𝑧𝑃𝐴)) ≤ (((normCV𝑈)‘𝑧) · ((normCV𝑈)‘𝐴)))
6237adantl 481 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
6362fveq2d 6926 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑧𝑋) → (abs‘(𝐹𝑧)) = (abs‘(𝑧𝑃𝐴)))
6459recnd 11320 . . . . 5 (𝐴𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ)
653, 57nvcl 30695 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
662, 65mpan 689 . . . . . 6 (𝑧𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
6766recnd 11320 . . . . 5 (𝑧𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ)
68 mulcom 11272 . . . . 5 ((((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘𝐴) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) = (((normCV𝑈)‘𝑧) · ((normCV𝑈)‘𝐴)))
6964, 67, 68syl2an 595 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑧𝑋) → (((normCV𝑈)‘𝐴) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) = (((normCV𝑈)‘𝑧) · ((normCV𝑈)‘𝐴)))
7061, 63, 693brtr4d 5198 . . 3 ((𝐴𝑋𝑧𝑋) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (((normCV𝑈)‘𝐴) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
7170ralrimiva 3152 . 2 (𝐴𝑋 → ∀𝑧𝑋 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (((normCV𝑈)‘𝐴) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
7248cnnvnm 30715 . . 3 abs = (normCV𝐶)
73 ipblnfi.l . . 3 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝐶)
743, 57, 72, 53, 73, 2, 49blo3i 30836 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ∧ ((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (((normCV𝑈)‘𝐴) · ((normCV𝑈)‘𝑧))) → 𝐹𝐵)
7556, 59, 71, 74syl3anc 1371 1 (𝐴𝑋𝐹𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wral 3067  cop 4654   class class class wbr 5166  cmpt 5249  wf 6571  cfv 6575  (class class class)co 7450  cc 11184  cr 11185   + caddc 11189   · cmul 11191  cle 11327  abscabs 15285  NrmCVeccnv 30618   +𝑣 cpv 30619  BaseSetcba 30620   ·𝑠OLD cns 30621  normCVcnmcv 30624  ·𝑖OLDcdip 30734   LnOp clno 30774   BLnOp cblo 30776  CPreHilOLDccphlo 30846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-inf2 9712  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264  ax-addf 11265  ax-mulf 11266
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-of 7716  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-supp 8204  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-er 8765  df-map 8888  df-ixp 8958  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-fsupp 9434  df-fi 9482  df-sup 9513  df-inf 9514  df-oi 9581  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-q 13016  df-rp 13060  df-xneg 13177  df-xadd 13178  df-xmul 13179  df-ioo 13413  df-icc 13416  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-seq 14055  df-exp 14115  df-hash 14382  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15536  df-sum 15737  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-starv 17328  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-unif 17336  df-hom 17337  df-cco 17338  df-rest 17484  df-topn 17485  df-0g 17503  df-gsum 17504  df-topgen 17505  df-pt 17506  df-prds 17509  df-xrs 17564  df-qtop 17569  df-imas 17570  df-xps 17572  df-mre 17646  df-mrc 17647  df-acs 17649  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-submnd 18821  df-mulg 19110  df-cntz 19359  df-cmn 19826  df-psmet 21381  df-xmet 21382  df-met 21383  df-bl 21384  df-mopn 21385  df-cnfld 21390  df-top 22923  df-topon 22940  df-topsp 22962  df-bases 22976  df-cld 23050  df-ntr 23051  df-cls 23052  df-cn 23258  df-cnp 23259  df-t1 23345  df-haus 23346  df-tx 23593  df-hmeo 23786  df-xms 24353  df-ms 24354  df-tms 24355  df-grpo 30527  df-gid 30528  df-ginv 30529  df-gdiv 30530  df-ablo 30579  df-vc 30593  df-nv 30626  df-va 30629  df-ba 30630  df-sm 30631  df-0v 30632  df-vs 30633  df-nmcv 30634  df-ims 30635  df-dip 30735  df-lno 30778  df-nmoo 30779  df-blo 30780  df-0o 30781  df-ph 30847
This theorem is referenced by:  htthlem  30951
  Copyright terms: Public domain W3C validator