Theorem ipblnfi 30542

Description: A function 𝐹 generated by varying the first argument of an inner product (with its second argument a fixed vector 𝐴) is a bounded linear functional, i.e. a bounded linear operator from the vector space to ℂ. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipblnfi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipblnfi.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ipblnfi.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipblnfi.c	⊢ 𝐶 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
ipblnfi.l	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝐶)
ipblnfi.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑃𝐴))

Assertion

Ref	Expression
ipblnfi	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋   𝑥,𝑃

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ipblnfi

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipblnfi.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2	1	phnvi 30503	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		ipblnfi.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		ipblnfi.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
5	3, 4	dipcl 30399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
6	2, 5	mp3an1 1447	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
7	6	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
8		ipblnfi.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑃𝐴))
9	7, 8	fmptd 7115	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
10		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
11	3, 10	nvscl 30313	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
12	2, 11	mp3an1 1447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
13	12	ad2ant2lr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
14		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
15		simpll 764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
16		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
17	3, 16, 4	dipdir 30529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
18	1, 17	mpan 687	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
19	13, 14, 15, 18	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
20		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
21		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
22	3, 16, 10, 4, 1	ipassi 30528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
23	20, 21, 15, 22	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
24	23	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
25	19, 24	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
26	12	adantll 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
27	3, 16	nvgcl 30307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
28	2, 27	mp3an1 1447	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
29	26, 28	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
30	29	anasss 466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
31		oveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) → (𝑥𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
32		ovex 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) ∈ V
33	31, 8, 32	fvmpt 6998	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋 → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
34	30, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
35		oveq1 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑧𝑃𝐴))
36		ovex 7445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧𝑃𝐴) ∈ V
37	35, 8, 36	fvmpt 6998	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
38	37	ad2antrl 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
39	38	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑦 · (𝐹‘𝑧)) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
40		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑤𝑃𝐴))
41		ovex 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤𝑃𝐴) ∈ V
42	40, 8, 41	fvmpt 6998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑤) = (𝑤𝑃𝐴))
43	42	ad2antll 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) = (𝑤𝑃𝐴))
44	39, 43	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
45	25, 34, 44	3eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))
46	45	ralrimivva 3199	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))
47	46	ralrimiva 3145	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))
48		ipblnfi.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
49	48	cnnv 30364	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ NrmCVec
50	48	cnnvba 30366	. . . . 5 ⊢ ℂ = (BaseSet‘𝐶)
51	48	cnnvg 30365	. . . . 5 ⊢ + = ( +𝑣 ‘𝐶)
52	48	cnnvs 30367	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠OLD ‘𝐶)
53		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑈 LnOp 𝐶) = (𝑈 LnOp 𝐶)
54	3, 50, 16, 51, 10, 52, 53	islno 30440	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ NrmCVec) → (𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))))
55	2, 49, 54	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤))))
56	9, 47, 55	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶))
57		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
58	3, 57	nvcl 30348	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
59	2, 58	mpan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
60	3, 57, 4, 1	sii 30541	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑧𝑃𝐴)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
61	60	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑧𝑃𝐴)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
62	37	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
63	62	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) = (abs‘(𝑧𝑃𝐴)))
64	59	recnd 11249	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ)
65	3, 57	nvcl 30348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
66	2, 65	mpan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
67	66	recnd 11249	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ)
68		mulcom 11202	. . . . 5 ⊢ ((((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ) → (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) = (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
69	64, 67, 68	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) = (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
70	61, 63, 69	3brtr4d 5180	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
71	70	ralrimiva 3145	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
72	48	cnnvnm 30368	. . 3 ⊢ abs = (normCV‘𝐶)
73		ipblnfi.l	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝐶)
74	3, 57, 72, 53, 73, 2, 49	blo3i 30489	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))) → 𝐹 ∈ 𝐵)
75	56, 59, 71, 74	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  ℝcr 11115   + caddc 11119   · cmul 11121   ≤ cle 11256  abscabs 15188  NrmCVeccnv 30271   +_𝑣 cpv 30272  BaseSetcba 30273   ·_𝑠OLD cns 30274  norm_CVcnmcv 30277  ·_𝑖OLDcdip 30387   LnOp clno 30427   BLnOp cblo 30429  CPreHil_OLDccphlo 30499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-cnfld 21234  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-cld 22843  df-ntr 22844  df-cls 22845  df-cn 23051  df-cnp 23052  df-t1 23138  df-haus 23139  df-tx 23386  df-hmeo 23579  df-xms 24146  df-ms 24147  df-tms 24148  df-grpo 30180  df-gid 30181  df-ginv 30182  df-gdiv 30183  df-ablo 30232  df-vc 30246  df-nv 30279  df-va 30282  df-ba 30283  df-sm 30284  df-0v 30285  df-vs 30286  df-nmcv 30287  df-ims 30288  df-dip 30388  df-lno 30431  df-nmoo 30432  df-blo 30433  df-0o 30434  df-ph 30500

This theorem is referenced by:  htthlem  30604