MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipblnfi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipblnfi 30108
Description: A function 𝐹 generated by varying the first argument of an inner product (with its second argument a fixed vector 𝐴) is a bounded linear functional, i.e. a bounded linear operator from the vector space to β„‚. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipblnfi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ipblnfi.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ipblnfi.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipblnfi.c 𝐢 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
ipblnfi.l 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp 𝐢)
ipblnfi.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝑃𝐴))
Assertion
Ref Expression
ipblnfi (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝑃
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem ipblnfi
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipblnfi.9 . . . . . . 7 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
21phnvi 30069 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ NrmCVec
3 ipblnfi.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
4 ipblnfi.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
53, 4dipcl 29965 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑃𝐴) ∈ β„‚)
62, 5mp3an1 1449 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑃𝐴) ∈ β„‚)
76ancoms 460 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑃𝐴) ∈ β„‚)
8 ipblnfi.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝑃𝐴))
97, 8fmptd 7114 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
10 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
113, 10nvscl 29879 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋)
122, 11mp3an1 1449 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋)
1312ad2ant2lr 747 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋)
14 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
15 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
16 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
173, 16, 4dipdir 30095 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑀𝑃𝐴)))
181, 17mpan 689 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑀𝑃𝐴)))
1913, 14, 15, 18syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑀𝑃𝐴)))
20 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
21 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
223, 16, 10, 4, 1ipassi 30094 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)))
2320, 21, 15, 22syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)))
2423oveq1d 7424 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑀𝑃𝐴)) = ((𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑀𝑃𝐴)))
2519, 24eqtrd 2773 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) = ((𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑀𝑃𝐴)))
2612adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋)
273, 16nvgcl 29873 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
282, 27mp3an1 1449 . . . . . . . . 9 (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
2926, 28sylan 581 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
3029anasss 468 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
31 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) β†’ (π‘₯𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴))
32 ovex 7442 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴) ∈ V
3331, 8, 32fvmpt 6999 . . . . . . 7 (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴))
3430, 33syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = (((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)𝑃𝐴))
35 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯𝑃𝐴) = (𝑧𝑃𝐴))
36 ovex 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑃𝐴) ∈ V
3735, 8, 36fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧𝑃𝐴))
3837ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧𝑃𝐴))
3938oveq2d 7425 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) = (𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)))
40 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯𝑃𝐴) = (𝑀𝑃𝐴))
41 ovex 7442 . . . . . . . . 9 (𝑀𝑃𝐴) ∈ V
4240, 8, 41fvmpt 6999 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (𝑀𝑃𝐴))
4342ad2antll 728 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (𝑀𝑃𝐴))
4439, 43oveq12d 7427 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)) = ((𝑦 Β· (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑀𝑃𝐴)))
4525, 34, 443eqtr4d 2783 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)))
4645ralrimivva 3201 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)))
4746ralrimiva 3147 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)))
48 ipblnfi.c . . . . 5 𝐢 = ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩
4948cnnv 29930 . . . 4 𝐢 ∈ NrmCVec
5048cnnvba 29932 . . . . 5 β„‚ = (BaseSetβ€˜πΆ)
5148cnnvg 29931 . . . . 5 + = ( +𝑣 β€˜πΆ)
5248cnnvs 29933 . . . . 5 Β· = ( ·𝑠OLD β€˜πΆ)
53 eqid 2733 . . . . 5 (π‘ˆ LnOp 𝐢) = (π‘ˆ LnOp 𝐢)
543, 50, 16, 51, 10, 52, 53islno 30006 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐢 ∈ NrmCVec) β†’ (𝐹 ∈ (π‘ˆ LnOp 𝐢) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€)))))
552, 49, 54mp2an 691 . . 3 (𝐹 ∈ (π‘ˆ LnOp 𝐢) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜((𝑦( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑧)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑦 Β· (πΉβ€˜π‘§)) + (πΉβ€˜π‘€))))
569, 47, 55sylanbrc 584 . 2 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹 ∈ (π‘ˆ LnOp 𝐢))
57 eqid 2733 . . . 4 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
583, 57nvcl 29914 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ ℝ)
592, 58mpan 689 . 2 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ ℝ)
603, 57, 4, 1sii 30107 . . . . 5 ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(𝑧𝑃𝐴)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)))
6160ancoms 460 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(𝑧𝑃𝐴)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)))
6237adantl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧𝑃𝐴))
6362fveq2d 6896 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (absβ€˜(𝑧𝑃𝐴)))
6459recnd 11242 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ β„‚)
653, 57nvcl 29914 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ∈ ℝ)
662, 65mpan 689 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝑋 β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ∈ ℝ)
6766recnd 11242 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝑋 β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
68 mulcom 11196 . . . . 5 ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ∈ β„‚) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§)) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)))
6964, 67, 68syl2an 597 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§)) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)))
7061, 63, 693brtr4d 5181 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§)))
7170ralrimiva 3147 . 2 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§)))
7248cnnvnm 29934 . . 3 abs = (normCVβ€˜πΆ)
73 ipblnfi.l . . 3 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp 𝐢)
743, 57, 72, 53, 73, 2, 49blo3i 30055 . 2 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ LnOp 𝐢) ∧ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
7556, 59, 71, 74syl3anc 1372 1 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109   + caddc 11113   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249  abscabs 15181  NrmCVeccnv 29837   +𝑣 cpv 29838  BaseSetcba 29839   ·𝑠OLD cns 29840  normCVcnmcv 29843  Β·π‘–OLDcdip 29953   LnOp clno 29993   BLnOp cblo 29995  CPreHilOLDccphlo 30065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-t1 22818  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-lno 29997  df-nmoo 29998  df-blo 29999  df-0o 30000  df-ph 30066
This theorem is referenced by:  htthlem  30170
  Copyright terms: Public domain W3C validator