Theorem ipblnfi 30945

Description: A function 𝐹 generated by varying the first argument of an inner product (with its second argument a fixed vector 𝐴) is a bounded linear functional, i.e. a bounded linear operator from the vector space to ℂ. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipblnfi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipblnfi.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ipblnfi.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipblnfi.c	⊢ 𝐶 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
ipblnfi.l	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝐶)
ipblnfi.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑃𝐴))

Assertion

Ref	Expression
ipblnfi	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋   𝑥,𝑃

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ipblnfi

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipblnfi.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2	1	phnvi 30906	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		ipblnfi.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		ipblnfi.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
5	3, 4	dipcl 30802	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
6	2, 5	mp3an1 1456	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
7	6	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
8		ipblnfi.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑃𝐴))
9	7, 8	fmptd 7056	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
10		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
11	3, 10	nvscl 30716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
12	2, 11	mp3an1 1456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
13	12	ad2ant2lr 754	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
14		simprr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
15		simpll 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
16		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
17	3, 16, 4	dipdir 30932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
18	1, 17	mpan 696	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
19	13, 14, 15, 18	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
20		simplr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
21		simprl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
22	3, 16, 10, 4, 1	ipassi 30931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
23	20, 21, 15, 22	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
24	23	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
25	19, 24	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
26	12	adantll 720	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
27	3, 16	nvgcl 30710	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
28	2, 27	mp3an1 1456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
29	26, 28	sylan 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
30	29	anasss 467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
31		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) → (𝑥𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
32		ovex 7390	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) ∈ V
33	31, 8, 32	fvmpt 6936	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋 → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
34	30, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
35		oveq1 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑧𝑃𝐴))
36		ovex 7390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧𝑃𝐴) ∈ V
37	35, 8, 36	fvmpt 6936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
38	37	ad2antrl 734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
39	38	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑦 · (𝐹‘𝑧)) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
40		oveq1 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑤𝑃𝐴))
41		ovex 7390	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤𝑃𝐴) ∈ V
42	40, 8, 41	fvmpt 6936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑤) = (𝑤𝑃𝐴))
43	42	ad2antll 735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) = (𝑤𝑃𝐴))
44	39, 43	oveq12d 7375	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
45	25, 34, 44	3eqtr4d 2784	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))
46	45	ralrimivva 3182	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))
47	46	ralrimiva 3131	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))
48		ipblnfi.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
49	48	cnnv 30767	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ NrmCVec
50	48	cnnvba 30769	. . . . 5 ⊢ ℂ = (BaseSet‘𝐶)
51	48	cnnvg 30768	. . . . 5 ⊢ + = ( +𝑣 ‘𝐶)
52	48	cnnvs 30770	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠OLD ‘𝐶)
53		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑈 LnOp 𝐶) = (𝑈 LnOp 𝐶)
54	3, 50, 16, 51, 10, 52, 53	islno 30843	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ NrmCVec) → (𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))))
55	2, 49, 54	mp2an 698	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤))))
56	9, 47, 55	sylanbrc 589	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶))
57		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
58	3, 57	nvcl 30751	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
59	2, 58	mpan 696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
60	3, 57, 4, 1	sii 30944	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑧𝑃𝐴)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
61	60	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑧𝑃𝐴)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
62	37	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
63	62	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) = (abs‘(𝑧𝑃𝐴)))
64	59	recnd 11165	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ)
65	3, 57	nvcl 30751	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
66	2, 65	mpan 696	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
67	66	recnd 11165	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ)
68		mulcom 11116	. . . . 5 ⊢ ((((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ) → (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) = (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
69	64, 67, 68	syl2an 602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) = (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
70	61, 63, 69	3brtr4d 5105	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
71	70	ralrimiva 3131	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
72	48	cnnvnm 30771	. . 3 ⊢ abs = (normCV‘𝐶)
73		ipblnfi.l	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝐶)
74	3, 57, 72, 53, 73, 2, 49	blo3i 30892	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))) → 𝐹 ∈ 𝐵)
75	56, 59, 71, 74	syl3anc 1379	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ⟨cop 4562   class class class wbr 5073   ↦ cmpt 5154  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  ℝcr 11029   + caddc 11033   · cmul 11035   ≤ cle 11172  abscabs 15188  NrmCVeccnv 30674   +_𝑣 cpv 30675  BaseSetcba 30676   ·_𝑠OLD cns 30677  norm_CVcnmcv 30680  ·_𝑖OLDcdip 30790   LnOp clno 30830   BLnOp cblo 30832  CPreHil_OLDccphlo 30902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-xneg 13055  df-xadd 13056  df-xmul 13057  df-ioo 13294  df-icc 13297  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-seq 13956  df-exp 14016  df-hash 14285  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15442  df-sum 15641  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-starv 17227  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-unif 17235  df-hom 17236  df-cco 17237  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17458  df-qtop 17463  df-imas 17464  df-xps 17466  df-mre 17540  df-mrc 17541  df-acs 17543  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18744  df-mulg 19036  df-cntz 19284  df-cmn 19749  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-cnfld 21349  df-top 22878  df-topon 22895  df-topsp 22917  df-bases 22930  df-cld 23003  df-ntr 23004  df-cls 23005  df-cn 23211  df-cnp 23212  df-t1 23298  df-haus 23299  df-tx 23546  df-hmeo 23739  df-xms 24304  df-ms 24305  df-tms 24306  df-grpo 30583  df-gid 30584  df-ginv 30585  df-gdiv 30586  df-ablo 30635  df-vc 30649  df-nv 30682  df-va 30685  df-ba 30686  df-sm 30687  df-0v 30688  df-vs 30689  df-nmcv 30690  df-ims 30691  df-dip 30791  df-lno 30834  df-nmoo 30835  df-blo 30836  df-0o 30837  df-ph 30903

This theorem is referenced by:  htthlem  31007