MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvmf 30163
Description: Mapping for the vector subtraction operation. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmf.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvmf.3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvmf (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
Proof of Theorem nvmf
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
2 simprl 767 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
3 neg1cn 12332 . . . . . . 7 -1 ∈ β„‚
4 nvmf.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
5 eqid 2730 . . . . . . . 8 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
64, 5nvscl 30144 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦) ∈ 𝑋)
73, 6mp3an2 1447 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦) ∈ 𝑋)
87adantrl 712 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦) ∈ 𝑋)
9 eqid 2730 . . . . . 6 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
104, 9nvgcl 30138 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦) ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)) ∈ 𝑋)
111, 2, 8, 10syl3anc 1369 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)) ∈ 𝑋)
1211ralrimivva 3198 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)) ∈ 𝑋)
13 eqid 2730 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦))) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))
1413fmpo 8058 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)) ∈ 𝑋 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦))):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
1512, 14sylib 217 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦))):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
16 nvmf.3 . . . 4 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
174, 9, 5, 16nvmfval 30162 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑀 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦))))
1817feq1d 6703 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦))):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹))
1915, 18mpbird 256 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  β„‚cc 11112  1c1 11115  -cneg 11451  NrmCVeccnv 30102   +𝑣 cpv 30103  BaseSetcba 30104   ·𝑠OLD cns 30105   βˆ’π‘£ cnsb 30107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-sub 11452  df-neg 11453  df-grpo 30011  df-gid 30012  df-ginv 30013  df-gdiv 30014  df-ablo 30063  df-vc 30077  df-nv 30110  df-va 30113  df-ba 30114  df-sm 30115  df-0v 30116  df-vs 30117  df-nmcv 30118
This theorem is referenced by:  nvmcl  30164  imsdval  30204  imsdf  30207  sspm  30252  hhssvsf  30791
  Copyright terms: Public domain W3C validator