MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvmf 28407
Description: Mapping for the vector subtraction operation. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmf.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmf.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvmf (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)

Proof of Theorem nvmf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 485 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2 simprl 769 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥𝑋)
3 neg1cn 11730 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
4 nvmf.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 eqid 2820 . . . . . . . 8 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
64, 5nvscl 28388 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦) ∈ 𝑋)
73, 6mp3an2 1445 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦) ∈ 𝑋)
87adantrl 714 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦) ∈ 𝑋)
9 eqid 2820 . . . . . 6 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
104, 9nvgcl 28382 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)) ∈ 𝑋)
111, 2, 8, 10syl3anc 1367 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)) ∈ 𝑋)
1211ralrimivva 3178 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)) ∈ 𝑋)
13 eqid 2820 . . . 4 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))
1413fmpo 7744 . . 3 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)) ∈ 𝑋 ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
1512, 14sylib 220 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
16 nvmf.3 . . . 4 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
174, 9, 5, 16nvmfval 28406 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))))
1817feq1d 6475 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
1915, 18mpbird 259 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125   × cxp 5529  wf 6327  cfv 6331  (class class class)co 7133  cmpo 7135  cc 10513  1c1 10516  -cneg 10849  NrmCVeccnv 28346   +𝑣 cpv 28347  BaseSetcba 28348   ·𝑠OLD cns 28349  𝑣 cnsb 28351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-ltxr 10658  df-sub 10850  df-neg 10851  df-grpo 28255  df-gid 28256  df-ginv 28257  df-gdiv 28258  df-ablo 28307  df-vc 28321  df-nv 28354  df-va 28357  df-ba 28358  df-sm 28359  df-0v 28360  df-vs 28361  df-nmcv 28362
This theorem is referenced by:  nvmcl  28408  imsdval  28448  imsdf  28451  sspm  28496  hhssvsf  29035
  Copyright terms: Public domain W3C validator