Theorem nvmf 31229

Description: Mapping for the vector subtraction operation. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmf.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvmf	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)

Proof of Theorem nvmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
3		neg1cn 12286	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		nvmf.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
6	4, 5	nvscl 31210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦) ∈ 𝑋)
7	3, 6	mp3an2 1478	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦) ∈ 𝑋)
8	7	adantrl 729	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦) ∈ 𝑋)
9		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
10	4, 9	nvgcl 31204	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)) ∈ 𝑋)
11	1, 2, 8, 10	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)) ∈ 𝑋)
12	11	ralrimivva 3206	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)) ∈ 𝑋)
13		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))
14	13	fmpo 8068	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)) ∈ 𝑋 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
15	12, 14	sylib 221	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
16		nvmf.3	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
17	4, 9, 5, 16	nvmfval 31228	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))))
18	17	feq1d 6683	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
19	15, 18	mpbird 260	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   × cxp 5649  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℂcc 11179  1c1 11182  -cneg 11523  NrmCVeccnv 31168   +_𝑣 cpv 31169  BaseSetcba 31170   ·_𝑠OLD cns 31171   −_𝑣 cnsb 31173

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11524  df-neg 11525  df-grpo 31077  df-gid 31078  df-ginv 31079  df-gdiv 31080  df-ablo 31129  df-vc 31143  df-nv 31176  df-va 31179  df-ba 31180  df-sm 31181  df-0v 31182  df-vs 31183  df-nmcv 31184

This theorem is used by:  nvmcl  31230  imsdval  31270  imsdf  31273  sspm  31318  hhssvsf  31857