MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvmf 30674
Description: Mapping for the vector subtraction operation. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmf.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmf.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvmf (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)

Proof of Theorem nvmf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2 simprl 771 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥𝑋)
3 neg1cn 12378 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
4 nvmf.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 eqid 2735 . . . . . . . 8 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
64, 5nvscl 30655 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦) ∈ 𝑋)
73, 6mp3an2 1448 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦) ∈ 𝑋)
87adantrl 716 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦) ∈ 𝑋)
9 eqid 2735 . . . . . 6 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
104, 9nvgcl 30649 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)) ∈ 𝑋)
111, 2, 8, 10syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)) ∈ 𝑋)
1211ralrimivva 3200 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)) ∈ 𝑋)
13 eqid 2735 . . . 4 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))
1413fmpo 8092 . . 3 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)) ∈ 𝑋 ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
1512, 14sylib 218 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
16 nvmf.3 . . . 4 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
174, 9, 5, 16nvmfval 30673 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))))
1817feq1d 6721 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
1915, 18mpbird 257 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cc 11151  1c1 11154  -cneg 11491  NrmCVeccnv 30613   +𝑣 cpv 30614  BaseSetcba 30615   ·𝑠OLD cns 30616  𝑣 cnsb 30618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629
This theorem is referenced by:  nvmcl  30675  imsdval  30715  imsdf  30718  sspm  30763  hhssvsf  31302
  Copyright terms: Public domain W3C validator