MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2dii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2dii 29200
Description: Inner product of two sums. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2dii.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip2dii.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip2dii.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip2dii.u 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ip2dii.a 𝐴𝑋
ip2dii.b 𝐵𝑋
ip2dii.c 𝐶𝑋
ip2dii.d 𝐷𝑋
Assertion
Ref Expression
ip2dii ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)) + ((𝐴𝑃𝐷) + (𝐵𝑃𝐶)))

Proof of Theorem ip2dii
StepHypRef Expression
1 ip2dii.u . . . 4 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2 ip2dii.a . . . . 5 𝐴𝑋
3 ip2dii.c . . . . 5 𝐶𝑋
4 ip2dii.d . . . . 5 𝐷𝑋
52, 3, 43pm3.2i 1338 . . . 4 (𝐴𝑋𝐶𝑋𝐷𝑋)
6 ip2dii.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7 ip2dii.2 . . . . 5 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
8 ip2dii.7 . . . . 5 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
96, 7, 8dipdi 29199 . . . 4 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐶𝑋𝐷𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷)))
101, 5, 9mp2an 689 . . 3 (𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷))
11 ip2dii.b . . . . 5 𝐵𝑋
1211, 3, 43pm3.2i 1338 . . . 4 (𝐵𝑋𝐶𝑋𝐷𝑋)
136, 7, 8dipdi 29199 . . . 4 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋𝐷𝑋)) → (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)))
141, 12, 13mp2an 689 . . 3 (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷))
1510, 14oveq12i 7281 . 2 ((𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) + (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷))) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷)) + ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)))
161phnvi 29172 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
176, 7nvgcl 28976 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋𝐷𝑋) → (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋)
1816, 3, 4, 17mp3an 1460 . . . 4 (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋
192, 11, 183pm3.2i 1338 . . 3 (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋)
206, 7, 8dipdir 29198 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) + (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷))))
211, 19, 20mp2an 689 . 2 ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) + (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷)))
226, 8dipcl 29068 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ)
2316, 2, 3, 22mp3an 1460 . . 3 (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ
246, 8dipcl 29068 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐷𝑋) → (𝐵𝑃𝐷) ∈ ℂ)
2516, 11, 4, 24mp3an 1460 . . 3 (𝐵𝑃𝐷) ∈ ℂ
266, 8dipcl 29068 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐷𝑋) → (𝐴𝑃𝐷) ∈ ℂ)
2716, 2, 4, 26mp3an 1460 . . 3 (𝐴𝑃𝐷) ∈ ℂ
286, 8dipcl 29068 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
2916, 11, 3, 28mp3an 1460 . . 3 (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ
3023, 25, 27, 29add42i 11198 . 2 (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)) + ((𝐴𝑃𝐷) + (𝐵𝑃𝐶))) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷)) + ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)))
3115, 21, 303eqtr4i 2778 1 ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)) + ((𝐴𝑃𝐷) + (𝐵𝑃𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  cfv 6431  (class class class)co 7269  cc 10868   + caddc 10873  NrmCVeccnv 28940   +𝑣 cpv 28941  BaseSetcba 28942  ·𝑖OLDcdip 29056  CPreHilOLDccphlo 29168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9375  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948  ax-addf 10949  ax-mulf 10950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-sup 9177  df-oi 9245  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-rp 12728  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-seq 13718  df-exp 13779  df-hash 14041  df-cj 14806  df-re 14807  df-im 14808  df-sqrt 14942  df-abs 14943  df-clim 15193  df-sum 15394  df-grpo 28849  df-gid 28850  df-ginv 28851  df-ablo 28901  df-vc 28915  df-nv 28948  df-va 28951  df-ba 28952  df-sm 28953  df-0v 28954  df-nmcv 28956  df-dip 29057  df-ph 29169
This theorem is referenced by:  pythi  29206
  Copyright terms: Public domain W3C validator