Theorem ip2dii 29200

Description: Inner product of two sums. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip2dii.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip2dii.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip2dii.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip2dii.u	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ip2dii.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ip2dii.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
ip2dii.c	⊢ 𝐶 ∈ 𝑋
ip2dii.d	⊢ 𝐷 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ip2dii	⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)) + ((𝐴𝑃𝐷) + (𝐵𝑃𝐶)))

Proof of Theorem ip2dii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip2dii.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2		ip2dii.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
3		ip2dii.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ 𝑋
4		ip2dii.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ 𝑋
5	2, 3, 4	3pm3.2i 1338	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)
6		ip2dii.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7		ip2dii.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
8		ip2dii.7	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
9	6, 7, 8	dipdi 29199	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷)))
10	1, 5, 9	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷))
11		ip2dii.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
12	11, 3, 4	3pm3.2i 1338	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)
13	6, 7, 8	dipdi 29199	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)))
14	1, 12, 13	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷))
15	10, 14	oveq12i 7281	. 2 ⊢ ((𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) + (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷))) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷)) + ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)))
16	1	phnvi 29172	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
17	6, 7	nvgcl 28976	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋)
18	16, 3, 4, 17	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋
19	2, 11, 18	3pm3.2i 1338	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋)
20	6, 7, 8	dipdir 29198	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) + (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷))))
21	1, 19, 20	mp2an 689	. 2 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) + (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷)))
22	6, 8	dipcl 29068	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ)
23	16, 2, 3, 22	mp3an 1460	. . 3 ⊢ (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ
24	6, 8	dipcl 29068	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐷) ∈ ℂ)
25	16, 11, 4, 24	mp3an 1460	. . 3 ⊢ (𝐵𝑃𝐷) ∈ ℂ
26	6, 8	dipcl 29068	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐷) ∈ ℂ)
27	16, 2, 4, 26	mp3an 1460	. . 3 ⊢ (𝐴𝑃𝐷) ∈ ℂ
28	6, 8	dipcl 29068	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
29	16, 11, 3, 28	mp3an 1460	. . 3 ⊢ (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ
30	23, 25, 27, 29	add42i 11198	. 2 ⊢ (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)) + ((𝐴𝑃𝐷) + (𝐵𝑃𝐶))) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷)) + ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)))
31	15, 21, 30	3eqtr4i 2778	1 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)) + ((𝐴𝑃𝐷) + (𝐵𝑃𝐶)))

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  ℂcc 10868   + caddc 10873  NrmCVeccnv 28940   +_𝑣 cpv 28941  BaseSetcba 28942  ·_𝑖OLDcdip 29056  CPreHil_OLDccphlo 29168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9375  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948  ax-addf 10949  ax-mulf 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-sup 9177  df-oi 9245  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-rp 12728  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-seq 13718  df-exp 13779  df-hash 14041  df-cj 14806  df-re 14807  df-im 14808  df-sqrt 14942  df-abs 14943  df-clim 15193  df-sum 15394  df-grpo 28849  df-gid 28850  df-ginv 28851  df-ablo 28901  df-vc 28915  df-nv 28948  df-va 28951  df-ba 28952  df-sm 28953  df-0v 28954  df-nmcv 28956  df-dip 29057  df-ph 29169

This theorem is referenced by:  pythi  29206