MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2dii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2dii 30873
Description: Inner product of two sums. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2dii.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip2dii.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip2dii.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip2dii.u 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ip2dii.a 𝐴𝑋
ip2dii.b 𝐵𝑋
ip2dii.c 𝐶𝑋
ip2dii.d 𝐷𝑋
Assertion
Ref Expression
ip2dii ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)) + ((𝐴𝑃𝐷) + (𝐵𝑃𝐶)))

Proof of Theorem ip2dii
StepHypRef Expression
1 ip2dii.u . . . 4 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2 ip2dii.a . . . . 5 𝐴𝑋
3 ip2dii.c . . . . 5 𝐶𝑋
4 ip2dii.d . . . . 5 𝐷𝑋
52, 3, 43pm3.2i 1338 . . . 4 (𝐴𝑋𝐶𝑋𝐷𝑋)
6 ip2dii.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7 ip2dii.2 . . . . 5 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
8 ip2dii.7 . . . . 5 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
96, 7, 8dipdi 30872 . . . 4 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐶𝑋𝐷𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷)))
101, 5, 9mp2an 692 . . 3 (𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷))
11 ip2dii.b . . . . 5 𝐵𝑋
1211, 3, 43pm3.2i 1338 . . . 4 (𝐵𝑋𝐶𝑋𝐷𝑋)
136, 7, 8dipdi 30872 . . . 4 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋𝐷𝑋)) → (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)))
141, 12, 13mp2an 692 . . 3 (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷))
1510, 14oveq12i 7443 . 2 ((𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) + (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷))) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷)) + ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)))
161phnvi 30845 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
176, 7nvgcl 30649 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋𝐷𝑋) → (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋)
1816, 3, 4, 17mp3an 1460 . . . 4 (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋
192, 11, 183pm3.2i 1338 . . 3 (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋)
206, 7, 8dipdir 30871 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) + (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷))))
211, 19, 20mp2an 692 . 2 ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) + (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷)))
226, 8dipcl 30741 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ)
2316, 2, 3, 22mp3an 1460 . . 3 (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ
246, 8dipcl 30741 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐷𝑋) → (𝐵𝑃𝐷) ∈ ℂ)
2516, 11, 4, 24mp3an 1460 . . 3 (𝐵𝑃𝐷) ∈ ℂ
266, 8dipcl 30741 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐷𝑋) → (𝐴𝑃𝐷) ∈ ℂ)
2716, 2, 4, 26mp3an 1460 . . 3 (𝐴𝑃𝐷) ∈ ℂ
286, 8dipcl 30741 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
2916, 11, 3, 28mp3an 1460 . . 3 (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ
3023, 25, 27, 29add42i 11485 . 2 (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)) + ((𝐴𝑃𝐷) + (𝐵𝑃𝐶))) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷)) + ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)))
3115, 21, 303eqtr4i 2773 1 ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)) + ((𝐴𝑃𝐷) + (𝐵𝑃𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151   + caddc 11156  NrmCVeccnv 30613   +𝑣 cpv 30614  BaseSetcba 30615  ·𝑖OLDcdip 30729  CPreHilOLDccphlo 30841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-nmcv 30629  df-dip 30730  df-ph 30842
This theorem is referenced by:  pythi  30879
  Copyright terms: Public domain W3C validator