Theorem ip2dii 31044

Description: Inner product of two sums. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip2dii.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip2dii.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip2dii.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip2dii.u	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ip2dii.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ip2dii.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
ip2dii.c	⊢ 𝐶 ∈ 𝑋
ip2dii.d	⊢ 𝐷 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ip2dii	⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)) + ((𝐴𝑃𝐷) + (𝐵𝑃𝐶)))

Proof of Theorem ip2dii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip2dii.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2		ip2dii.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
3		ip2dii.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ 𝑋
4		ip2dii.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ 𝑋
5	2, 3, 4	3pm3.2i 1353	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)
6		ip2dii.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7		ip2dii.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
8		ip2dii.7	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
9	6, 7, 8	dipdi 31043	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷)))
10	1, 5, 9	mp2an 702	. . 3 ⊢ (𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷))
11		ip2dii.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
12	11, 3, 4	3pm3.2i 1353	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)
13	6, 7, 8	dipdi 31043	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)))
14	1, 12, 13	mp2an 702	. . 3 ⊢ (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷))
15	10, 14	oveq12i 7408	. 2 ⊢ ((𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) + (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷))) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷)) + ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)))
16	1	phnvi 31016	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
17	6, 7	nvgcl 30820	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋)
18	16, 3, 4, 17	mp3an 1482	. . . 4 ⊢ (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋
19	2, 11, 18	3pm3.2i 1353	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋)
20	6, 7, 8	dipdir 31042	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) + (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷))))
21	1, 19, 20	mp2an 702	. 2 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) + (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷)))
22	6, 8	dipcl 30912	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ)
23	16, 2, 3, 22	mp3an 1482	. . 3 ⊢ (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ
24	6, 8	dipcl 30912	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐷) ∈ ℂ)
25	16, 11, 4, 24	mp3an 1482	. . 3 ⊢ (𝐵𝑃𝐷) ∈ ℂ
26	6, 8	dipcl 30912	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐷) ∈ ℂ)
27	16, 2, 4, 26	mp3an 1482	. . 3 ⊢ (𝐴𝑃𝐷) ∈ ℂ
28	6, 8	dipcl 30912	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
29	16, 11, 3, 28	mp3an 1482	. . 3 ⊢ (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ
30	23, 25, 27, 29	add42i 11409	. 2 ⊢ (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)) + ((𝐴𝑃𝐷) + (𝐵𝑃𝐶))) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷)) + ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)))
31	15, 21, 30	3eqtr4i 2795	1 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)) + ((𝐴𝑃𝐷) + (𝐵𝑃𝐶)))

Syntax hints:   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071   + caddc 11076  NrmCVeccnv 30784   +_𝑣 cpv 30785  BaseSetcba 30786  ·_𝑖OLDcdip 30900  CPreHil_OLDccphlo 31012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152  ax-mulf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-sum 15714  df-grpo 30693  df-gid 30694  df-ginv 30695  df-ablo 30745  df-vc 30759  df-nv 30792  df-va 30795  df-ba 30796  df-sm 30797  df-0v 30798  df-nmcv 30800  df-dip 30901  df-ph 31013

This theorem is referenced by:  pythi  31050