MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2dii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2dii 28606
Description: Inner product of two sums. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2dii.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip2dii.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip2dii.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip2dii.u 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ip2dii.a 𝐴𝑋
ip2dii.b 𝐵𝑋
ip2dii.c 𝐶𝑋
ip2dii.d 𝐷𝑋
Assertion
Ref Expression
ip2dii ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)) + ((𝐴𝑃𝐷) + (𝐵𝑃𝐶)))

Proof of Theorem ip2dii
StepHypRef Expression
1 ip2dii.u . . . 4 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2 ip2dii.a . . . . 5 𝐴𝑋
3 ip2dii.c . . . . 5 𝐶𝑋
4 ip2dii.d . . . . 5 𝐷𝑋
52, 3, 43pm3.2i 1336 . . . 4 (𝐴𝑋𝐶𝑋𝐷𝑋)
6 ip2dii.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7 ip2dii.2 . . . . 5 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
8 ip2dii.7 . . . . 5 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
96, 7, 8dipdi 28605 . . . 4 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐶𝑋𝐷𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷)))
101, 5, 9mp2an 691 . . 3 (𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷))
11 ip2dii.b . . . . 5 𝐵𝑋
1211, 3, 43pm3.2i 1336 . . . 4 (𝐵𝑋𝐶𝑋𝐷𝑋)
136, 7, 8dipdi 28605 . . . 4 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋𝐷𝑋)) → (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)))
141, 12, 13mp2an 691 . . 3 (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷))
1510, 14oveq12i 7142 . 2 ((𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) + (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷))) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷)) + ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)))
161phnvi 28578 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
176, 7nvgcl 28382 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋𝐷𝑋) → (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋)
1816, 3, 4, 17mp3an 1458 . . . 4 (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋
192, 11, 183pm3.2i 1336 . . 3 (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋)
206, 7, 8dipdir 28604 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) + (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷))))
211, 19, 20mp2an 691 . 2 ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) + (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷)))
226, 8dipcl 28474 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ)
2316, 2, 3, 22mp3an 1458 . . 3 (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ
246, 8dipcl 28474 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐷𝑋) → (𝐵𝑃𝐷) ∈ ℂ)
2516, 11, 4, 24mp3an 1458 . . 3 (𝐵𝑃𝐷) ∈ ℂ
266, 8dipcl 28474 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐷𝑋) → (𝐴𝑃𝐷) ∈ ℂ)
2716, 2, 4, 26mp3an 1458 . . 3 (𝐴𝑃𝐷) ∈ ℂ
286, 8dipcl 28474 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
2916, 11, 3, 28mp3an 1458 . . 3 (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ
3023, 25, 27, 29add42i 10842 . 2 (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)) + ((𝐴𝑃𝐷) + (𝐵𝑃𝐶))) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷)) + ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)))
3115, 21, 303eqtr4i 2854 1 ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)) + ((𝐴𝑃𝐷) + (𝐵𝑃𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512   + caddc 10517  NrmCVeccnv 28346   +𝑣 cpv 28347  BaseSetcba 28348  ·𝑖OLDcdip 28462  CPreHilOLDccphlo 28574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-sum 15022  df-grpo 28255  df-gid 28256  df-ginv 28257  df-ablo 28307  df-vc 28321  df-nv 28354  df-va 28357  df-ba 28358  df-sm 28359  df-0v 28360  df-nmcv 28362  df-dip 28463  df-ph 28575
This theorem is referenced by:  pythi  28612
  Copyright terms: Public domain W3C validator