Theorem ip2dii 30933

Description: Inner product of two sums. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip2dii.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip2dii.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip2dii.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip2dii.u	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ip2dii.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ip2dii.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
ip2dii.c	⊢ 𝐶 ∈ 𝑋
ip2dii.d	⊢ 𝐷 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ip2dii	⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)) + ((𝐴𝑃𝐷) + (𝐵𝑃𝐶)))

Proof of Theorem ip2dii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip2dii.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2		ip2dii.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
3		ip2dii.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ 𝑋
4		ip2dii.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ 𝑋
5	2, 3, 4	3pm3.2i 1346	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)
6		ip2dii.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7		ip2dii.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
8		ip2dii.7	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
9	6, 7, 8	dipdi 30932	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷)))
10	1, 5, 9	mp2an 698	. . 3 ⊢ (𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷))
11		ip2dii.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
12	11, 3, 4	3pm3.2i 1346	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)
13	6, 7, 8	dipdi 30932	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)))
14	1, 12, 13	mp2an 698	. . 3 ⊢ (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷))
15	10, 14	oveq12i 7368	. 2 ⊢ ((𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) + (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷))) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷)) + ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)))
16	1	phnvi 30905	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
17	6, 7	nvgcl 30709	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋)
18	16, 3, 4, 17	mp3an 1469	. . . 4 ⊢ (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋
19	2, 11, 18	3pm3.2i 1346	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋)
20	6, 7, 8	dipdir 30931	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐶𝐺𝐷) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) + (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷))))
21	1, 19, 20	mp2an 698	. 2 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑃(𝐶𝐺𝐷)) + (𝐵𝑃(𝐶𝐺𝐷)))
22	6, 8	dipcl 30801	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ)
23	16, 2, 3, 22	mp3an 1469	. . 3 ⊢ (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ
24	6, 8	dipcl 30801	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐷) ∈ ℂ)
25	16, 11, 4, 24	mp3an 1469	. . 3 ⊢ (𝐵𝑃𝐷) ∈ ℂ
26	6, 8	dipcl 30801	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐷) ∈ ℂ)
27	16, 2, 4, 26	mp3an 1469	. . 3 ⊢ (𝐴𝑃𝐷) ∈ ℂ
28	6, 8	dipcl 30801	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
29	16, 11, 3, 28	mp3an 1469	. . 3 ⊢ (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ
30	23, 25, 27, 29	add42i 11363	. 2 ⊢ (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)) + ((𝐴𝑃𝐷) + (𝐵𝑃𝐶))) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐴𝑃𝐷)) + ((𝐵𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)))
31	15, 21, 30	3eqtr4i 2772	1 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐶𝐺𝐷)) = (((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐷)) + ((𝐴𝑃𝐷) + (𝐵𝑃𝐶)))

Syntax hints:   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027   + caddc 11032  NrmCVeccnv 30673   +_𝑣 cpv 30674  BaseSetcba 30675  ·_𝑖OLDcdip 30789  CPreHil_OLDccphlo 30901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-nmcv 30689  df-dip 30790  df-ph 30902

This theorem is referenced by:  pythi  30939