Theorem ocnel 31386

Description: A nonzero vector in the complement of a subspace does not belong to the subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ocnel	⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐻)

Proof of Theorem ocnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3919	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ (𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
2		ocin 31384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
3	2	eleq2d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ 𝐴 ∈ 0ℋ))
4	3	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) → 𝐴 ∈ 0ℋ))
5	1, 4	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐴 ∈ 0ℋ))
6	5	expcomd 416	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) → (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 ∈ 0ℋ)))
7	6	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 ∈ 0ℋ))
8		elch0 31342	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℎ)
9	7, 8	imbitrdi 251	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 = 0ℎ))
10	9	necon3ad 2946	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ≠ 0ℎ → ¬ 𝐴 ∈ 𝐻))
11	10	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∩ cin 3902  ‘cfv 6500  0_ℎc0v 31012   S_ℋ csh 31016  ⊥cort 31018  0_ℋc0h 31023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-hilex 31087  ax-hfvadd 31088  ax-hv0cl 31091  ax-hfvmul 31093  ax-hvmul0 31098  ax-hfi 31167  ax-his2 31171  ax-his3 31172  ax-his4 31173

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sh 31295  df-oc 31340  df-ch0 31341

This theorem is referenced by: (None)