HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocnel 29079
Description: A nonzero vector in the complement of a subspace does not belong to the subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocnel ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ 𝐴𝐻)

Proof of Theorem ocnel
StepHypRef Expression
1 elin 3924 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ (𝐴𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
2 ocin 29077 . . . . . . . . 9 (𝐻S → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
32eleq2d 2899 . . . . . . . 8 (𝐻S → (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ 𝐴 ∈ 0))
43biimpd 232 . . . . . . 7 (𝐻S → (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) → 𝐴 ∈ 0))
51, 4syl5bir 246 . . . . . 6 (𝐻S → ((𝐴𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐴 ∈ 0))
65expcomd 420 . . . . 5 (𝐻S → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) → (𝐴𝐻𝐴 ∈ 0)))
76imp 410 . . . 4 ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴𝐻𝐴 ∈ 0))
8 elch0 29035 . . . 4 (𝐴 ∈ 0𝐴 = 0)
97, 8syl6ib 254 . . 3 ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴𝐻𝐴 = 0))
109necon3ad 3024 . 2 ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ≠ 0 → ¬ 𝐴𝐻))
11103impia 1114 1 ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ 𝐴𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  cin 3907  cfv 6334  0c0v 28705   S csh 28709  cort 28711  0c0h 28716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-hilex 28780  ax-hfvadd 28781  ax-hv0cl 28784  ax-hfvmul 28786  ax-hvmul0 28791  ax-hfi 28860  ax-his2 28864  ax-his3 28865  ax-his4 28866
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sh 28988  df-oc 29033  df-ch0 29034
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator