Theorem ocnel 31650

Description: A nonzero vector in the complement of a subspace does not belong to the subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ocnel	⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐻)

Proof of Theorem ocnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3921	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ (𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
2		ocin 31648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
3	2	eleq2d 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ 𝐴 ∈ 0ℋ))
4	3	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) → 𝐴 ∈ 0ℋ))
5	1, 4	biimtrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐴 ∈ 0ℋ))
6	5	expcomd 421	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) → (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 ∈ 0ℋ)))
7	6	imp 411	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 ∈ 0ℋ))
8		elch0 31606	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℎ)
9	7, 8	imbitrdi 254	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 = 0ℎ))
10	9	necon3ad 2971	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ≠ 0ℎ → ¬ 𝐴 ∈ 𝐻))
11	10	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∩ cin 3904  ‘cfv 6536  0_ℎc0v 31276   S_ℋ csh 31280  ⊥cort 31282  0_ℋc0h 31287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-hilex 31351  ax-hfvadd 31352  ax-hv0cl 31355  ax-hfvmul 31357  ax-hvmul0 31362  ax-hfi 31431  ax-his2 31435  ax-his3 31436  ax-his4 31437

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sh 31559  df-oc 31604  df-ch0 31605

This theorem is referenced by: (None)