Theorem ocnel 31234

Description: A nonzero vector in the complement of a subspace does not belong to the subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ocnel	⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐻)

Proof of Theorem ocnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3933	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ (𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
2		ocin 31232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
3	2	eleq2d 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ 𝐴 ∈ 0ℋ))
4	3	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) → 𝐴 ∈ 0ℋ))
5	1, 4	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐴 ∈ 0ℋ))
6	5	expcomd 416	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) → (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 ∈ 0ℋ)))
7	6	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 ∈ 0ℋ))
8		elch0 31190	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℎ)
9	7, 8	imbitrdi 251	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 = 0ℎ))
10	9	necon3ad 2939	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ≠ 0ℎ → ¬ 𝐴 ∈ 𝐻))
11	10	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∩ cin 3916  ‘cfv 6514  0_ℎc0v 30860   S_ℋ csh 30864  ⊥cort 30866  0_ℋc0h 30871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hv0cl 30939  ax-hfvmul 30941  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sh 31143  df-oc 31188  df-ch0 31189

This theorem is referenced by: (None)