HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocnel 31045
Description: A nonzero vector in the complement of a subspace does not belong to the subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocnel ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ 𝐴𝐻)

Proof of Theorem ocnel
StepHypRef Expression
1 elin 3957 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ (𝐴𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
2 ocin 31043 . . . . . . . . 9 (𝐻S → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
32eleq2d 2811 . . . . . . . 8 (𝐻S → (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ 𝐴 ∈ 0))
43biimpd 228 . . . . . . 7 (𝐻S → (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) → 𝐴 ∈ 0))
51, 4biimtrrid 242 . . . . . 6 (𝐻S → ((𝐴𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐴 ∈ 0))
65expcomd 416 . . . . 5 (𝐻S → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) → (𝐴𝐻𝐴 ∈ 0)))
76imp 406 . . . 4 ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴𝐻𝐴 ∈ 0))
8 elch0 31001 . . . 4 (𝐴 ∈ 0𝐴 = 0)
97, 8imbitrdi 250 . . 3 ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴𝐻𝐴 = 0))
109necon3ad 2945 . 2 ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ≠ 0 → ¬ 𝐴𝐻))
11103impia 1114 1 ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ 𝐴𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  cin 3940  cfv 6534  0c0v 30671   S csh 30675  cort 30677  0c0h 30682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-hilex 30746  ax-hfvadd 30747  ax-hv0cl 30750  ax-hfvmul 30752  ax-hvmul0 30757  ax-hfi 30826  ax-his2 30830  ax-his3 30831  ax-his4 30832
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sh 30954  df-oc 30999  df-ch0 31000
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator