HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocnel 31107
Description: A nonzero vector in the complement of a subspace does not belong to the subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocnel ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ 𝐴𝐻)

Proof of Theorem ocnel
StepHypRef Expression
1 elin 3963 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ (𝐴𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
2 ocin 31105 . . . . . . . . 9 (𝐻S → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
32eleq2d 2815 . . . . . . . 8 (𝐻S → (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ 𝐴 ∈ 0))
43biimpd 228 . . . . . . 7 (𝐻S → (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) → 𝐴 ∈ 0))
51, 4biimtrrid 242 . . . . . 6 (𝐻S → ((𝐴𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐴 ∈ 0))
65expcomd 416 . . . . 5 (𝐻S → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) → (𝐴𝐻𝐴 ∈ 0)))
76imp 406 . . . 4 ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴𝐻𝐴 ∈ 0))
8 elch0 31063 . . . 4 (𝐴 ∈ 0𝐴 = 0)
97, 8imbitrdi 250 . . 3 ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴𝐻𝐴 = 0))
109necon3ad 2950 . 2 ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ≠ 0 → ¬ 𝐴𝐻))
11103impia 1115 1 ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ 𝐴𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  cin 3946  cfv 6548  0c0v 30733   S csh 30737  cort 30739  0c0h 30744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-hilex 30808  ax-hfvadd 30809  ax-hv0cl 30812  ax-hfvmul 30814  ax-hvmul0 30819  ax-hfi 30888  ax-his2 30892  ax-his3 30893  ax-his4 30894
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-ltxr 11283  df-sh 31016  df-oc 31061  df-ch0 31062
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator