Theorem cantnfcl 9705

Description: Basic properties of the order isomorphism 𝐺 used later. The support of an 𝐹 ∈ 𝑆 is a finite subset of 𝐴, so it is well-ordered by E and the order isomorphism has domain a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g	⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
cantnfcl	⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))

Proof of Theorem cantnfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppssdm 8201	. . . . 5 ⊢ (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
2		cantnfcl.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
3		cantnfs.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
4		cantnfs.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
5		cantnfs.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
6	3, 4, 5	cantnfs 9704	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
7	2, 6	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐹 finSupp ∅))
8	7	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
9	1, 8	fssdm 6756	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
10		onss 7804	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
11	5, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ On)
12	9, 11	sstrd 4006	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
13		epweon 7794	. . 3 ⊢ E We On
14		wess 5675	. . 3 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ⊆ On → ( E We On → E We (𝐹 supp ∅)))
15	12, 13, 14	mpisyl 21	. 2 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
16		ovexd 7466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
17		cantnfcl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
18	17	oion 9574	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
19	16, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ On)
20	7	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp ∅)
21	20	fsuppimpd 9407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ Fin)
22	17	oien 9576	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
23	16, 15, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
24		enfii 9224	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ Fin ∧ dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ∈ Fin)
25	21, 23, 24	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ Fin)
26	19, 25	elind 4210	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ (On ∩ Fin))
27		onfin2 9266	. . 3 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
28	26, 27	eleqtrrdi 2850	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
29	15, 28	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339   class class class wbr 5148   E cep 5588   We wwe 5640  dom cdm 5689  Oncon0 6386  ⟶wf 6559  (class class class)co 7431  ωcom 7887   supp csupp 8184   ≈ cen 8981  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399  OrdIsocoi 9547   CNF ccnf 9699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-seqom 8487  df-1o 8505  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-cnf 9700

This theorem is referenced by:  cantnfval2  9707  cantnfle  9709  cantnflt  9710  cantnflt2  9711  cantnff  9712  cantnfp1lem2  9717  cantnfp1lem3  9718  cantnflem1b  9724  cantnflem1d  9726  cantnflem1  9727  cnfcomlem  9737  cnfcom  9738  cnfcom2lem  9739  cnfcom3lem  9741