MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfcl 8726
Description: Basic properties of the order isomorphism 𝐺 used later. The support of an 𝐹𝑆 is a finite subset of 𝐴, so it is well-ordered by E and the order isomorphism has domain a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f (𝜑𝐹𝑆)
Assertion
Ref Expression
cantnfcl (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))

Proof of Theorem cantnfcl
StepHypRef Expression
1 suppssdm 7457 . . . . 5 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
2 cantnfcl.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑆)
3 cantnfs.s . . . . . . . . 9 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
4 cantnfs.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ On)
5 cantnfs.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ On)
63, 4, 5cantnfs 8725 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
72, 6mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅))
87simpld 482 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
9 fdm 6189 . . . . . 6 (𝐹:𝐵𝐴 → dom 𝐹 = 𝐵)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
111, 10syl5sseq 3802 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
12 onss 7135 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
135, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ On)
1411, 13sstrd 3762 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
15 epweon 7128 . . 3 E We On
16 wess 5236 . . 3 ((𝐹 supp ∅) ⊆ On → ( E We On → E We (𝐹 supp ∅)))
1714, 15, 16mpisyl 21 . 2 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
18 ovexd 6823 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
19 cantnfcl.g . . . . . 6 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
2019oion 8595 . . . . 5 ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
2118, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ On)
227simprd 483 . . . . . 6 (𝜑𝐹 finSupp ∅)
2322fsuppimpd 8436 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ Fin)
2419oien 8597 . . . . . 6 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
2518, 17, 24syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
26 enfii 8331 . . . . 5 (((𝐹 supp ∅) ∈ Fin ∧ dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ∈ Fin)
2723, 25, 26syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ Fin)
2821, 27elind 3949 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ (On ∩ Fin))
29 onfin2 8306 . . 3 ω = (On ∩ Fin)
3028, 29syl6eleqr 2861 . 2 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
3117, 30jca 501 1 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723  c0 4063   class class class wbr 4786   E cep 5161   We wwe 5207  dom cdm 5249  Oncon0 5864  wf 6025  (class class class)co 6791  ωcom 7210   supp csupp 7444  cen 8104  Fincfn 8107   finSupp cfsupp 8429  OrdIsocoi 8568   CNF ccnf 8720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-seqom 7694  df-er 7894  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-oi 8569  df-cnf 8721
This theorem is referenced by:  cantnfval2  8728  cantnfle  8730  cantnflt  8731  cantnflt2  8732  cantnff  8733  cantnfp1lem2  8738  cantnfp1lem3  8739  cantnflem1b  8745  cantnflem1d  8747  cantnflem1  8748  cnfcomlem  8758  cnfcom  8759  cnfcom2lem  8760  cnfcom3lem  8762
  Copyright terms: Public domain W3C validator