Theorem cantnfcl 9355

Description: Basic properties of the order isomorphism 𝐺 used later. The support of an 𝐹 ∈ 𝑆 is a finite subset of 𝐴, so it is well-ordered by E and the order isomorphism has domain a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g	⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
cantnfcl	⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))

Proof of Theorem cantnfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppssdm 7964	. . . . 5 ⊢ (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
2		cantnfcl.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
3		cantnfs.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
4		cantnfs.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
5		cantnfs.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
6	3, 4, 5	cantnfs 9354	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
7	2, 6	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐹 finSupp ∅))
8	7	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
9	1, 8	fssdm 6604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
10		onss 7611	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
11	5, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ On)
12	9, 11	sstrd 3927	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
13		epweon 7603	. . 3 ⊢ E We On
14		wess 5567	. . 3 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ⊆ On → ( E We On → E We (𝐹 supp ∅)))
15	12, 13, 14	mpisyl 21	. 2 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
16		ovexd 7290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
17		cantnfcl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
18	17	oion 9225	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
19	16, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ On)
20	7	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp ∅)
21	20	fsuppimpd 9065	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ Fin)
22	17	oien 9227	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
23	16, 15, 22	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
24		enfii 8932	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ Fin ∧ dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ∈ Fin)
25	21, 23, 24	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ Fin)
26	19, 25	elind 4124	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ (On ∩ Fin))
27		onfin2 8945	. . 3 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
28	26, 27	eleqtrrdi 2850	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
29	15, 28	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070   E cep 5485   We wwe 5534  dom cdm 5580  Oncon0 6251  ⟶wf 6414  (class class class)co 7255  ωcom 7687   supp csupp 7948   ≈ cen 8688  Fincfn 8691   finSupp cfsupp 9058  OrdIsocoi 9198   CNF ccnf 9349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-seqom 8249  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-cnf 9350

This theorem is referenced by:  cantnfval2  9357  cantnfle  9359  cantnflt  9360  cantnflt2  9361  cantnff  9362  cantnfp1lem2  9367  cantnfp1lem3  9368  cantnflem1b  9374  cantnflem1d  9376  cantnflem1  9377  cnfcomlem  9387  cnfcom  9388  cnfcom2lem  9389  cnfcom3lem  9391