Theorem cantnfcl 9635

Description: Basic properties of the order isomorphism 𝐺 used later. The support of an 𝐹 ∈ 𝑆 is a finite subset of 𝐴, so it is well-ordered by E and the order isomorphism has domain a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g	⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
cantnfcl	⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))

Proof of Theorem cantnfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppssdm 8172	. . . . 5 ⊢ (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
2		cantnfcl.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
3		cantnfs.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
4		cantnfs.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
5		cantnfs.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
6	3, 4, 5	cantnfs 9634	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
7	2, 6	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐹 finSupp ∅))
8	7	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
9	1, 8	fssdm 6726	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
10		onss 7783	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
11	5, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ On)
12	9, 11	sstrd 3955	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
13		epweon 7773	. . 3 ⊢ E We On
14		wess 5648	. . 3 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ⊆ On → ( E We On → E We (𝐹 supp ∅)))
15	12, 13, 14	mpisyl 22	. 2 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
16		ovexd 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
17		cantnfcl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
18	17	oion 9497	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
19	16, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ On)
20	7	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp ∅)
21	20	fsuppimpd 9328	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ Fin)
22	17	oien 9499	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
23	16, 15, 22	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
24		enfii 9169	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ Fin ∧ dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ∈ Fin)
25	21, 23, 24	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ Fin)
26	19, 25	elind 4161	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ (On ∩ Fin))
27		onfin2 9200	. . 3 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
28	26, 27	eleqtrrdi 2880	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
29	15, 28	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294   class class class wbr 5113   E cep 5561   We wwe 5614  dom cdm 5662  Oncon0 6361  ⟶wf 6533  (class class class)co 7411  ωcom 7861   supp csupp 8155   ≈ cen 8939  Fincfn 8942   finSupp cfsupp 9320  OrdIsocoi 9470   CNF ccnf 9629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-seqom 8434  df-1o 8452  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-oi 9471  df-cnf 9630

This theorem is referenced by:  cantnfval2  9637  cantnfle  9639  cantnflt  9640  cantnflt2  9641  cantnff  9642  cantnfp1lem2  9647  cantnfp1lem3  9648  cantnflem1b  9654  cantnflem1d  9656  cantnflem1  9657  cnfcomlem  9667  cnfcom  9668  cnfcom2lem  9669  cnfcom3lem  9671