Theorem cantnfcl 9643

Description: Basic properties of the order isomorphism 𝐺 used later. The support of an 𝐹 ∈ 𝑆 is a finite subset of 𝐴, so it is well-ordered by E and the order isomorphism has domain a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g	⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
cantnfcl	⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))

Proof of Theorem cantnfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppssdm 8179	. . . . 5 ⊢ (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
2		cantnfcl.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
3		cantnfs.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
4		cantnfs.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
5		cantnfs.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
6	3, 4, 5	cantnfs 9642	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
7	2, 6	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐹 finSupp ∅))
8	7	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
9	1, 8	fssdm 6729	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
10		onss 7790	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
11	5, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ On)
12	9, 11	sstrd 3948	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
13		epweon 7780	. . 3 ⊢ E We On
14		wess 5649	. . 3 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ⊆ On → ( E We On → E We (𝐹 supp ∅)))
15	12, 13, 14	mpisyl 22	. 2 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
16		ovexd 7454	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
17		cantnfcl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
18	17	oion 9505	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
19	16, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ On)
20	7	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp ∅)
21	20	fsuppimpd 9336	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ Fin)
22	17	oien 9507	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
23	16, 15, 22	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
24		enfii 9177	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ Fin ∧ dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ∈ Fin)
25	21, 23, 24	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ Fin)
26	19, 25	elind 4153	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ (On ∩ Fin))
27		onfin2 9208	. . 3 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
28	26, 27	eleqtrrdi 2876	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
29	15, 28	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286   class class class wbr 5111   E cep 5562   We wwe 5615  dom cdm 5663  Oncon0 6364  ⟶wf 6536  (class class class)co 7419  ωcom 7868   supp csupp 8162   ≈ cen 8946  Fincfn 8949   finSupp cfsupp 9328  OrdIsocoi 9478   CNF ccnf 9637

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-seqom 8441  df-1o 8459  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-oi 9479  df-cnf 9638

This theorem is used by:  cantnfval2  9645  cantnfle  9647  cantnflt  9648  cantnflt2  9649  cantnff  9650  cantnfp1lem2  9655  cantnfp1lem3  9656  cantnflem1b  9662  cantnflem1d  9664  cantnflem1  9665  cnfcomlem  9675  cnfcom  9676  cnfcom2lem  9677  cnfcom3lem  9679