MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfcl 9118
Description: Basic properties of the order isomorphism 𝐺 used later. The support of an 𝐹𝑆 is a finite subset of 𝐴, so it is well-ordered by E and the order isomorphism has domain a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f (𝜑𝐹𝑆)
Assertion
Ref Expression
cantnfcl (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))

Proof of Theorem cantnfcl
StepHypRef Expression
1 suppssdm 7830 . . . . 5 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
2 cantnfcl.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝑆)
3 cantnfs.s . . . . . . . 8 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
4 cantnfs.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ On)
5 cantnfs.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ On)
63, 4, 5cantnfs 9117 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
72, 6mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅))
87simpld 498 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
91, 8fssdm 6508 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
10 onss 7489 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
115, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ On)
129, 11sstrd 3928 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
13 epweon 7481 . . 3 E We On
14 wess 5510 . . 3 ((𝐹 supp ∅) ⊆ On → ( E We On → E We (𝐹 supp ∅)))
1512, 13, 14mpisyl 21 . 2 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
16 ovexd 7174 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
17 cantnfcl.g . . . . . 6 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
1817oion 8988 . . . . 5 ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
1916, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ On)
207simprd 499 . . . . . 6 (𝜑𝐹 finSupp ∅)
2120fsuppimpd 8828 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ Fin)
2217oien 8990 . . . . . 6 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
2316, 15, 22syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
24 enfii 8723 . . . . 5 (((𝐹 supp ∅) ∈ Fin ∧ dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ∈ Fin)
2521, 23, 24syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ Fin)
2619, 25elind 4124 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ (On ∩ Fin))
27 onfin2 8699 . . 3 ω = (On ∩ Fin)
2826, 27eleqtrrdi 2904 . 2 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
2915, 28jca 515 1 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  Vcvv 3444  cin 3883  wss 3884  c0 4246   class class class wbr 5033   E cep 5432   We wwe 5481  dom cdm 5523  Oncon0 6163  wf 6324  (class class class)co 7139  ωcom 7564   supp csupp 7817  cen 8493  Fincfn 8496   finSupp cfsupp 8821  OrdIsocoi 8961   CNF ccnf 9112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-seqom 8071  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-cnf 9113
This theorem is referenced by:  cantnfval2  9120  cantnfle  9122  cantnflt  9123  cantnflt2  9124  cantnff  9125  cantnfp1lem2  9130  cantnfp1lem3  9131  cantnflem1b  9137  cantnflem1d  9139  cantnflem1  9140  cnfcomlem  9150  cnfcom  9151  cnfcom2lem  9152  cnfcom3lem  9154
  Copyright terms: Public domain W3C validator