MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfcl 9707
Description: Basic properties of the order isomorphism 𝐺 used later. The support of an 𝐹𝑆 is a finite subset of 𝐴, so it is well-ordered by E and the order isomorphism has domain a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f (𝜑𝐹𝑆)
Assertion
Ref Expression
cantnfcl (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))

Proof of Theorem cantnfcl
StepHypRef Expression
1 suppssdm 8202 . . . . 5 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
2 cantnfcl.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝑆)
3 cantnfs.s . . . . . . . 8 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
4 cantnfs.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ On)
5 cantnfs.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ On)
63, 4, 5cantnfs 9706 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
72, 6mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅))
87simpld 494 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
91, 8fssdm 6755 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
10 onss 7805 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
115, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ On)
129, 11sstrd 3994 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
13 epweon 7795 . . 3 E We On
14 wess 5671 . . 3 ((𝐹 supp ∅) ⊆ On → ( E We On → E We (𝐹 supp ∅)))
1512, 13, 14mpisyl 21 . 2 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
16 ovexd 7466 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
17 cantnfcl.g . . . . . 6 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
1817oion 9576 . . . . 5 ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
1916, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ On)
207simprd 495 . . . . . 6 (𝜑𝐹 finSupp ∅)
2120fsuppimpd 9409 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ Fin)
2217oien 9578 . . . . . 6 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
2316, 15, 22syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
24 enfii 9226 . . . . 5 (((𝐹 supp ∅) ∈ Fin ∧ dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ∈ Fin)
2521, 23, 24syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ Fin)
2619, 25elind 4200 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ (On ∩ Fin))
27 onfin2 9268 . . 3 ω = (On ∩ Fin)
2826, 27eleqtrrdi 2852 . 2 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
2915, 28jca 511 1 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143   E cep 5583   We wwe 5636  dom cdm 5685  Oncon0 6384  wf 6557  (class class class)co 7431  ωcom 7887   supp csupp 8185  cen 8982  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401  OrdIsocoi 9549   CNF ccnf 9701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-seqom 8488  df-1o 8506  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-cnf 9702
This theorem is referenced by:  cantnfval2  9709  cantnfle  9711  cantnflt  9712  cantnflt2  9713  cantnff  9714  cantnfp1lem2  9719  cantnfp1lem3  9720  cantnflem1b  9726  cantnflem1d  9728  cantnflem1  9729  cnfcomlem  9739  cnfcom  9740  cnfcom2lem  9741  cnfcom3lem  9743
  Copyright terms: Public domain W3C validator