MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfcl 8926
Description: Basic properties of the order isomorphism 𝐺 used later. The support of an 𝐹𝑆 is a finite subset of 𝐴, so it is well-ordered by E and the order isomorphism has domain a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f (𝜑𝐹𝑆)
Assertion
Ref Expression
cantnfcl (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))

Proof of Theorem cantnfcl
StepHypRef Expression
1 suppssdm 7648 . . . . 5 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
2 cantnfcl.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝑆)
3 cantnfs.s . . . . . . . 8 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
4 cantnfs.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ On)
5 cantnfs.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ On)
63, 4, 5cantnfs 8925 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
72, 6mpbid 224 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅))
87simpld 487 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
91, 8fssdm 6362 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
10 onss 7323 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
115, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ On)
129, 11sstrd 3870 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
13 epweon 7315 . . 3 E We On
14 wess 5395 . . 3 ((𝐹 supp ∅) ⊆ On → ( E We On → E We (𝐹 supp ∅)))
1512, 13, 14mpisyl 21 . 2 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
16 ovexd 7012 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
17 cantnfcl.g . . . . . 6 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
1817oion 8797 . . . . 5 ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
1916, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ On)
207simprd 488 . . . . . 6 (𝜑𝐹 finSupp ∅)
2120fsuppimpd 8637 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ Fin)
2217oien 8799 . . . . . 6 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
2316, 15, 22syl2anc 576 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
24 enfii 8532 . . . . 5 (((𝐹 supp ∅) ∈ Fin ∧ dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ∈ Fin)
2521, 23, 24syl2anc 576 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ Fin)
2619, 25elind 4061 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ (On ∩ Fin))
27 onfin2 8507 . . 3 ω = (On ∩ Fin)
2826, 27syl6eleqr 2877 . 2 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
2915, 28jca 504 1 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  Vcvv 3415  cin 3830  wss 3831  c0 4180   class class class wbr 4930   E cep 5317   We wwe 5366  dom cdm 5408  Oncon0 6031  wf 6186  (class class class)co 6978  ωcom 7398   supp csupp 7635  cen 8305  Fincfn 8308   finSupp cfsupp 8630  OrdIsocoi 8770   CNF ccnf 8920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-supp 7636  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-seqom 7889  df-er 8091  df-map 8210  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-oi 8771  df-cnf 8921
This theorem is referenced by:  cantnfval2  8928  cantnfle  8930  cantnflt  8931  cantnflt2  8932  cantnff  8933  cantnfp1lem2  8938  cantnfp1lem3  8939  cantnflem1b  8945  cantnflem1d  8947  cantnflem1  8948  cnfcomlem  8958  cnfcom  8959  cnfcom2lem  8960  cnfcom3lem  8962
  Copyright terms: Public domain W3C validator