Theorem cantnfcl 9620

Description: Basic properties of the order isomorphism 𝐺 used later. The support of an 𝐹 ∈ 𝑆 is a finite subset of 𝐴, so it is well-ordered by E and the order isomorphism has domain a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g	⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
cantnfcl	⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))

Proof of Theorem cantnfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppssdm 8156	. . . . 5 ⊢ (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
2		cantnfcl.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
3		cantnfs.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
4		cantnfs.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
5		cantnfs.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
6	3, 4, 5	cantnfs 9619	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
7	2, 6	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐹 finSupp ∅))
8	7	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
9	1, 8	fssdm 6707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
10		onss 7761	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
11	5, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ On)
12	9, 11	sstrd 3957	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
13		epweon 7751	. . 3 ⊢ E We On
14		wess 5624	. . 3 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ⊆ On → ( E We On → E We (𝐹 supp ∅)))
15	12, 13, 14	mpisyl 21	. 2 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
16		ovexd 7422	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
17		cantnfcl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
18	17	oion 9489	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
19	16, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ On)
20	7	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp ∅)
21	20	fsuppimpd 9320	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ Fin)
22	17	oien 9491	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
23	16, 15, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
24		enfii 9150	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ Fin ∧ dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ∈ Fin)
25	21, 23, 24	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ Fin)
26	19, 25	elind 4163	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ (On ∩ Fin))
27		onfin2 9180	. . 3 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
28	26, 27	eleqtrrdi 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
29	15, 28	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296   class class class wbr 5107   E cep 5537   We wwe 5590  dom cdm 5638  Oncon0 6332  ⟶wf 6507  (class class class)co 7387  ωcom 7842   supp csupp 8139   ≈ cen 8915  Fincfn 8918   finSupp cfsupp 9312  OrdIsocoi 9462   CNF ccnf 9614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-seqom 8416  df-1o 8434  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-cnf 9615

This theorem is referenced by:  cantnfval2  9622  cantnfle  9624  cantnflt  9625  cantnflt2  9626  cantnff  9627  cantnfp1lem2  9632  cantnfp1lem3  9633  cantnflem1b  9639  cantnflem1d  9641  cantnflem1  9642  cnfcomlem  9652  cnfcom  9653  cnfcom2lem  9654  cnfcom3lem  9656