Theorem onscutleft 28171

Description: A surreal ordinal is equal to the cut of its left set and the empty set. (Contributed by Scott Fenton, 29-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onscutleft	⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 = (( L ‘𝐴) |s ∅))

Proof of Theorem onscutleft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsno 28163	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 ∈ No )
2		lrcut 27822	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = 𝐴)
4		elons 28161	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ (𝐴 ∈ No ∧ ( R ‘𝐴) = ∅))
5	4	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → ( R ‘𝐴) = ∅)
6	5	oveq2d 7410	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = (( L ‘𝐴) |s ∅))
7	3, 6	eqtr3d 2767	1 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 = (( L ‘𝐴) |s ∅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4304  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394   No csur 27558   |s cscut 27701   L cleft 27760   R cright 27761  On_scons 28159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-tp 4602  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-1o 8443  df-2o 8444  df-no 27561  df-slt 27562  df-bday 27563  df-sslt 27700  df-scut 27702  df-made 27762  df-old 27763  df-left 27765  df-right 27766  df-ons 28160

This theorem is referenced by:  bday11on  28173  onaddscl  28181  onmulscl  28182