Theorem onscutleft 27929

Description: A surreal ordinal is equal to the cut of its left set and the empty set. (Contributed by Scott Fenton, 29-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onscutleft	⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 = (( L ‘𝐴) |s ∅))

Proof of Theorem onscutleft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsno 27922	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 ∈ No )
2		lrcut 27635	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = 𝐴)
4		elons 27920	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ (𝐴 ∈ No ∧ ( R ‘𝐴) = ∅))
5	4	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → ( R ‘𝐴) = ∅)
6	5	oveq2d 7428	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = (( L ‘𝐴) |s ∅))
7	3, 6	eqtr3d 2773	1 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 = (( L ‘𝐴) |s ∅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∅c0 4322  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   No csur 27380   |s cscut 27521   L cleft 27578   R cright 27579  On_scons 27918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-1o 8470  df-2o 8471  df-no 27383  df-slt 27384  df-bday 27385  df-sslt 27520  df-scut 27522  df-made 27580  df-old 27581  df-left 27583  df-right 27584  df-ons 27919

This theorem is referenced by: (None)