Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimioompt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimioompt 41739
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimioompt.x 𝑥𝜑
smfpimioompt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimioompt.a (𝜑𝐴𝑉)
smfpimioompt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
smfpimioompt.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimioompt.l (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
smfpimioompt.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimioompt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ∈ (𝑆t 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem smfpimioompt
StepHypRef Expression
1 smfpimioompt.x . . 3 𝑥𝜑
2 smfpimioompt.l . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
3 smfpimioompt.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
4 smfpimioompt.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
5 smfpimioompt.m . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
6 eqid 2799 . . . . . . 7 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
74, 5, 6smff 41687 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℝ)
8 eqid 2799 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
9 smfpimioompt.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
101, 8, 9dmmptdf 40169 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
1110feq2d 6242 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ))
127, 11mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
1312fvmptelrn 6609 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1413rexrd 10378 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
151, 2, 3, 14pimiooltgt 41667 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}))
16 smfpimioompt.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
17 eqid 2799 . . . 4 (𝑆t 𝐴) = (𝑆t 𝐴)
184, 16, 17subsalsal 41320 . . 3 (𝜑 → (𝑆t 𝐴) ∈ SAlg)
191, 4, 9, 5, 3smfpimltxrmpt 41713 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆t 𝐴))
201, 4, 9, 5, 2smfpimgtxrmpt 41738 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐴))
2118, 19, 20salincld 41313 . 2 (𝜑 → ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) ∈ (𝑆t 𝐴))
2215, 21eqeltrd 2878 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ∈ (𝑆t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  wnf 1879  wcel 2157  {crab 3093  cin 3768   class class class wbr 4843  cmpt 4922  dom cdm 5312  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  cr 10223  *cxr 10362   < clt 10363  (,)cioo 12424  t crest 16396  SAlgcsalg 41271  SMblFncsmblfn 41655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cc 9545  ax-ac2 9573  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-card 9051  df-acn 9054  df-ac 9225  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-ioo 12428  df-ico 12430  df-fl 12848  df-rest 16398  df-salg 41272  df-smblfn 41656
This theorem is referenced by:  smfpimioo  41740  smfresal  41741  smfrec  41742  smfmullem4  41747
  Copyright terms: Public domain W3C validator