Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimioompt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimioompt 46317
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimioompt.x 𝑥𝜑
smfpimioompt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimioompt.a (𝜑𝐴𝑉)
smfpimioompt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
smfpimioompt.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimioompt.l (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
smfpimioompt.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimioompt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ∈ (𝑆t 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem smfpimioompt
StepHypRef Expression
1 smfpimioompt.x . . 3 𝑥𝜑
2 smfpimioompt.l . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
3 smfpimioompt.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
4 smfpimioompt.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
5 smfpimioompt.m . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
6 eqid 2725 . . . . . . 7 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
74, 5, 6smff 46263 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℝ)
8 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
9 smfpimioompt.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
101, 8, 9dmmptdf 44741 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
1110feq2d 6709 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ))
127, 11mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
1312fvmptelcdm 7122 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1413rexrd 11301 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
151, 2, 3, 14pimiooltgt 46241 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}))
16 smfpimioompt.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
17 eqid 2725 . . . 4 (𝑆t 𝐴) = (𝑆t 𝐴)
184, 16, 17subsalsal 45890 . . 3 (𝜑 → (𝑆t 𝐴) ∈ SAlg)
191, 4, 9, 5, 3smfpimltxrmpt 46290 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆t 𝐴))
201, 4, 9, 5, 2smfpimgtxrmpt 46316 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐴))
2118, 19, 20salincld 45883 . 2 (𝜑 → ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) ∈ (𝑆t 𝐴))
2215, 21eqeltrd 2825 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ∈ (𝑆t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wnf 1777  wcel 2098  {crab 3418  cin 3943   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5678  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11144  *cxr 11284   < clt 11285  (,)cioo 13364  t crest 17421  SAlgcsalg 45839  SMblFncsmblfn 46226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cc 10465  ax-ac2 10493  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9472  df-inf 9473  df-card 9969  df-acn 9972  df-ac 10146  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-fl 13798  df-rest 17423  df-salg 45840  df-smblfn 46227
This theorem is referenced by:  smfpimioo  46318  smfresal  46319  smfrec  46320  smfmullem4  46325
  Copyright terms: Public domain W3C validator