Theorem smfpimioompt 43418

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimioompt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfpimioompt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimioompt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfpimioompt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
smfpimioompt.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimioompt.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
smfpimioompt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimioompt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem smfpimioompt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimioompt.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfpimioompt.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
3		smfpimioompt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
4		smfpimioompt.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
5		smfpimioompt.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
6		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	4, 5, 6	smff 43366	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℝ)
8		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
9		smfpimioompt.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
10	1, 8, 9	dmmptdf 41854	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
11	10	feq2d 6473	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ))
12	7, 11	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ)
13	12	fvmptelrn 6854	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	rexrd 10680	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	1, 2, 3, 14	pimiooltgt 43346	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}))
16		smfpimioompt.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
17		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t 𝐴)
18	4, 16, 17	subsalsal 42999	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐴) ∈ SAlg)
19	1, 4, 9, 5, 3	smfpimltxrmpt 43392	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
20	1, 4, 9, 5, 2	smfpimgtxrmpt 43417	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
21	18, 19, 20	salincld 42992	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
22	15, 21	eqeltrd 2890	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  {crab 3110   ∩ cin 3880   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664  (,)cioo 12726   ↾_t crest 16686  SAlgcsalg 42950  SMblFncsmblfn 43334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-card 9352  df-acn 9355  df-ac 9527  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-fl 13157  df-rest 16688  df-salg 42951  df-smblfn 43335

This theorem is referenced by:  smfpimioo  43419  smfresal  43420  smfrec  43421  smfmullem4  43426