Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimioompt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimioompt 43062
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimioompt.x 𝑥𝜑
smfpimioompt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimioompt.a (𝜑𝐴𝑉)
smfpimioompt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
smfpimioompt.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimioompt.l (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
smfpimioompt.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimioompt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ∈ (𝑆t 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem smfpimioompt
StepHypRef Expression
1 smfpimioompt.x . . 3 𝑥𝜑
2 smfpimioompt.l . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
3 smfpimioompt.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
4 smfpimioompt.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
5 smfpimioompt.m . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
6 eqid 2821 . . . . . . 7 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
74, 5, 6smff 43010 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℝ)
8 eqid 2821 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
9 smfpimioompt.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
101, 8, 9dmmptdf 41488 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
1110feq2d 6499 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ))
127, 11mpbid 234 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
1312fvmptelrn 6876 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1413rexrd 10690 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
151, 2, 3, 14pimiooltgt 42990 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}))
16 smfpimioompt.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
17 eqid 2821 . . . 4 (𝑆t 𝐴) = (𝑆t 𝐴)
184, 16, 17subsalsal 42643 . . 3 (𝜑 → (𝑆t 𝐴) ∈ SAlg)
191, 4, 9, 5, 3smfpimltxrmpt 43036 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆t 𝐴))
201, 4, 9, 5, 2smfpimgtxrmpt 43061 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐴))
2118, 19, 20salincld 42636 . 2 (𝜑 → ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) ∈ (𝑆t 𝐴))
2215, 21eqeltrd 2913 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ∈ (𝑆t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wnf 1780  wcel 2110  {crab 3142  cin 3934   class class class wbr 5065  cmpt 5145  dom cdm 5554  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7155  cr 10535  *cxr 10673   < clt 10674  (,)cioo 12737  t crest 16693  SAlgcsalg 42594  SMblFncsmblfn 42978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cc 9856  ax-ac2 9884  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-card 9367  df-acn 9370  df-ac 9541  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-ioo 12741  df-ico 12743  df-fl 13161  df-rest 16695  df-salg 42595  df-smblfn 42979
This theorem is referenced by:  smfpimioo  43063  smfresal  43064  smfrec  43065  smfmullem4  43070
  Copyright terms: Public domain W3C validator