Theorem renegcli 10936

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 10938 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 10597	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 10616	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 10862	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2803	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 10622	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 10644	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 10878	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1448	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	syl5bb 286	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2885	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 263	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3239	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529   − cmin 10859  -cneg 10860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862

This theorem is referenced by:  resubcli  10937  renegcl  10938  recgt0ii  11535  inelr  11615  cju  11621  neg1rr  11740  sincos2sgn  15539  dvdslelem  15651  divalglem1  15735  divalglem6  15739  modsubi  16398  neghalfpire  25058  coseq0negpitopi  25096  pige3ALT  25112  negpitopissre  25132  eff1o  25141  ellogrn  25151  logimclad  25164  logneg  25179  logcj  25197  argregt0  25201  argrege0  25202  argimgt0  25203  argimlt0  25204  logimul  25205  logneg2  25206  logcnlem3  25235  dvloglem  25239  logf1o2  25241  efopnlem2  25248  cxpsqrtlem  25293  abscxpbnd  25342  logreclem  25348  ang180lem2  25396  asinneg  25472  asinsin  25478  asin1  25480  asinrecl  25488  atanlogaddlem  25499  atanlogsublem  25501  atanlogsub  25502  atantan  25509  atanbndlem  25511  birthday  25540  ppiub  25788  lgsdir2lem1  25909  ex-fl  28232  ex-ceil  28233  normlem2  28894  logdivsqrle  32031  logi  33079  bj-pinftyccb  34636  bj-minftyccb  34640  bj-pinftynminfty  34642  cos2h  35048  tan2h  35049  renegclALT  36259  fourierdlem5  42754  fourierdlem9  42758  fourierdlem18  42767  fourierdlem24  42773  fourierdlem38  42787  fourierdlem40  42789  fourierdlem43  42792  fourierdlem44  42793  fourierdlem46  42794  fourierdlem50  42798  fourierdlem62  42810  fourierdlem66  42814  fourierdlem74  42822  fourierdlem75  42823  fourierdlem76  42824  fourierdlem77  42825  fourierdlem78  42826  fourierdlem83  42831  fourierdlem85  42833  fourierdlem87  42835  fourierdlem88  42836  fourierdlem93  42841  fourierdlem94  42842  fourierdlem95  42843  fourierdlem101  42849  fourierdlem102  42850  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fourierdlem111  42859  fourierdlem112  42860  fourierdlem113  42861  fourierdlem114  42862  sqwvfoura  42870  sqwvfourb  42871  fouriersw  42873  fouriercn  42874