Theorem renegcli 11525

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11527 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11177	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 11196	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11450	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2767	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 11204	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 11229	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11466	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1479	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2857	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 263	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3158	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3088  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109   − cmin 11447  -cneg 11448

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11449  df-neg 11450

This theorem is used by:  resubcli  11526  renegcl  11527  recgt0ii  12127  neg1rr  12210  cju  12220  sincos2sgn  16256  dvdslelem  16373  divalglem1  16458  divalglem6  16462  modsubi  17138  neghalfpire  26641  coseq0negpitopi  26679  pige3ALT  26696  negpitopissre  26716  eff1o  26725  ellogrn  26735  logimclad  26748  logi  26763  logneg  26764  logcj  26782  argregt0  26786  argrege0  26787  argimgt0  26788  argimlt0  26789  logimul  26790  logneg2  26791  logcnlem3  26820  dvloglem  26824  logf1o2  26826  efopnlem2  26833  cxpsqrtlem  26878  abscxpbnd  26929  logreclem  26938  ang180lem2  26986  asinneg  27062  asinsin  27068  asin1  27070  asinrecl  27078  atanlogaddlem  27089  atanlogsublem  27091  atanlogsub  27092  atantan  27099  atanbndlem  27101  birthday  27130  ppiub  27379  lgsdir2lem1  27500  ex-fl  30809  ex-ceil  30810  normlem2  31474  logdivsqrle  35046  bj-pinftyccb  37893  bj-minftyccb  37897  bj-pinftynminfty  37899  cos2h  38290  tan2h  38291  renegclALT  39765  fourierdlem5  46854  fourierdlem9  46858  fourierdlem18  46867  fourierdlem24  46873  fourierdlem38  46887  fourierdlem40  46889  fourierdlem43  46892  fourierdlem44  46893  fourierdlem46  46894  fourierdlem50  46898  fourierdlem62  46910  fourierdlem66  46914  fourierdlem74  46922  fourierdlem75  46923  fourierdlem76  46924  fourierdlem77  46925  fourierdlem78  46926  fourierdlem83  46931  fourierdlem85  46933  fourierdlem87  46935  fourierdlem88  46936  fourierdlem93  46941  fourierdlem94  46942  fourierdlem95  46943  fourierdlem101  46949  fourierdlem102  46950  fourierdlem103  46951  fourierdlem104  46952  fourierdlem111  46959  fourierdlem112  46960  fourierdlem113  46961  fourierdlem114  46962  sqwvfoura  46970  sqwvfourb  46971  fouriersw  46973  fouriercn  46974