Theorem renegcli 11212

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11214 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 10873	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 10892	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11138	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2743	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 10898	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 10920	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11154	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1449	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	syl5bb 282	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2834	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 259	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3208	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   − cmin 11135  -cneg 11136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  resubcli  11213  renegcl  11214  recgt0ii  11811  inelr  11893  cju  11899  neg1rr  12018  sincos2sgn  15831  dvdslelem  15946  divalglem1  16031  divalglem6  16035  modsubi  16701  neghalfpire  25527  coseq0negpitopi  25565  pige3ALT  25581  negpitopissre  25601  eff1o  25610  ellogrn  25620  logimclad  25633  logneg  25648  logcj  25666  argregt0  25670  argrege0  25671  argimgt0  25672  argimlt0  25673  logimul  25674  logneg2  25675  logcnlem3  25704  dvloglem  25708  logf1o2  25710  efopnlem2  25717  cxpsqrtlem  25762  abscxpbnd  25811  logreclem  25817  ang180lem2  25865  asinneg  25941  asinsin  25947  asin1  25949  asinrecl  25957  atanlogaddlem  25968  atanlogsublem  25970  atanlogsub  25971  atantan  25978  atanbndlem  25980  birthday  26009  ppiub  26257  lgsdir2lem1  26378  ex-fl  28712  ex-ceil  28713  normlem2  29374  logdivsqrle  32530  logi  33606  bj-pinftyccb  35319  bj-minftyccb  35323  bj-pinftynminfty  35325  cos2h  35695  tan2h  35696  renegclALT  36904  fourierdlem5  43543  fourierdlem9  43547  fourierdlem18  43556  fourierdlem24  43562  fourierdlem38  43576  fourierdlem40  43578  fourierdlem43  43581  fourierdlem44  43582  fourierdlem46  43583  fourierdlem50  43587  fourierdlem62  43599  fourierdlem66  43603  fourierdlem74  43611  fourierdlem75  43612  fourierdlem76  43613  fourierdlem77  43614  fourierdlem78  43615  fourierdlem83  43620  fourierdlem85  43622  fourierdlem87  43624  fourierdlem88  43625  fourierdlem93  43630  fourierdlem94  43631  fourierdlem95  43632  fourierdlem101  43638  fourierdlem102  43639  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  fourierdlem111  43648  fourierdlem112  43649  fourierdlem113  43650  fourierdlem114  43651  sqwvfoura  43659  sqwvfourb  43660  fouriersw  43662  fouriercn  43663