MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renegcli 11291
Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11293 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
renegcl.1 𝐴 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
renegcli -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 ax-rnegex 10951 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3 recn 10970 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4 df-neg 11217 . . . . . . 7 -𝐴 = (0 − 𝐴)
54eqeq1i 2744 . . . . . 6 (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6 0cn 10976 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
71recni 10998 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
8 subadd 11233 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
96, 7, 8mp3an12 1450 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
105, 9bitrid 282 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
113, 10syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12 eleq1a 2835 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
1311, 12sylbird 259 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
1413rexlimiv 3210 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
151, 2, 14mp2b 10 1 -𝐴 ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1539  wcel 2107  wrex 3066  (class class class)co 7284  cc 10878  cr 10879  0cc0 10880   + caddc 10883  cmin 11214  -cneg 11215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-ltxr 11023  df-sub 11216  df-neg 11217
This theorem is referenced by:  resubcli  11292  renegcl  11293  recgt0ii  11890  inelr  11972  cju  11978  neg1rr  12097  sincos2sgn  15912  dvdslelem  16027  divalglem1  16112  divalglem6  16116  modsubi  16782  neghalfpire  25631  coseq0negpitopi  25669  pige3ALT  25685  negpitopissre  25705  eff1o  25714  ellogrn  25724  logimclad  25737  logneg  25752  logcj  25770  argregt0  25774  argrege0  25775  argimgt0  25776  argimlt0  25777  logimul  25778  logneg2  25779  logcnlem3  25808  dvloglem  25812  logf1o2  25814  efopnlem2  25821  cxpsqrtlem  25866  abscxpbnd  25915  logreclem  25921  ang180lem2  25969  asinneg  26045  asinsin  26051  asin1  26053  asinrecl  26061  atanlogaddlem  26072  atanlogsublem  26074  atanlogsub  26075  atantan  26082  atanbndlem  26084  birthday  26113  ppiub  26361  lgsdir2lem1  26482  ex-fl  28820  ex-ceil  28821  normlem2  29482  logdivsqrle  32639  logi  33709  bj-pinftyccb  35401  bj-minftyccb  35405  bj-pinftynminfty  35407  cos2h  35777  tan2h  35778  renegclALT  36984  fourierdlem5  43660  fourierdlem9  43664  fourierdlem18  43673  fourierdlem24  43679  fourierdlem38  43693  fourierdlem40  43695  fourierdlem43  43698  fourierdlem44  43699  fourierdlem46  43700  fourierdlem50  43704  fourierdlem62  43716  fourierdlem66  43720  fourierdlem74  43728  fourierdlem75  43729  fourierdlem76  43730  fourierdlem77  43731  fourierdlem78  43732  fourierdlem83  43737  fourierdlem85  43739  fourierdlem87  43741  fourierdlem88  43742  fourierdlem93  43747  fourierdlem94  43748  fourierdlem95  43749  fourierdlem101  43755  fourierdlem102  43756  fourierdlem103  43757  fourierdlem104  43758  fourierdlem111  43765  fourierdlem112  43766  fourierdlem113  43767  fourierdlem114  43768  sqwvfoura  43776  sqwvfourb  43777  fouriersw  43779  fouriercn  43780
  Copyright terms: Public domain W3C validator