Theorem renegcli 11546

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11548 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11204	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 11223	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11472	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2733	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 11231	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 11253	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11488	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1448	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2824	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 260	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3144	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3066  (class class class)co 7415  ℂcc 11131  ℝcr 11132  0cc0 11133   + caddc 11136   − cmin 11469  -cneg 11470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-ltxr 11278  df-sub 11471  df-neg 11472

This theorem is referenced by:  resubcli  11547  renegcl  11548  recgt0ii  12145  inelr  12227  cju  12233  neg1rr  12352  sincos2sgn  16165  dvdslelem  16280  divalglem1  16365  divalglem6  16369  modsubi  17035  neghalfpire  26394  coseq0negpitopi  26432  pige3ALT  26448  negpitopissre  26468  eff1o  26477  ellogrn  26487  logimclad  26500  logi  26515  logneg  26516  logcj  26534  argregt0  26538  argrege0  26539  argimgt0  26540  argimlt0  26541  logimul  26542  logneg2  26543  logcnlem3  26572  dvloglem  26576  logf1o2  26578  efopnlem2  26585  cxpsqrtlem  26630  abscxpbnd  26682  logreclem  26688  ang180lem2  26736  asinneg  26812  asinsin  26818  asin1  26820  asinrecl  26828  atanlogaddlem  26839  atanlogsublem  26841  atanlogsub  26842  atantan  26849  atanbndlem  26851  birthday  26880  ppiub  27131  lgsdir2lem1  27252  ex-fl  30251  ex-ceil  30252  normlem2  30915  logdivsqrle  34277  bj-pinftyccb  36695  bj-minftyccb  36699  bj-pinftynminfty  36701  cos2h  37079  tan2h  37080  renegclALT  38430  fourierdlem5  45491  fourierdlem9  45495  fourierdlem18  45504  fourierdlem24  45510  fourierdlem38  45524  fourierdlem40  45526  fourierdlem43  45529  fourierdlem44  45530  fourierdlem46  45531  fourierdlem50  45535  fourierdlem62  45547  fourierdlem66  45551  fourierdlem74  45559  fourierdlem75  45560  fourierdlem76  45561  fourierdlem77  45562  fourierdlem78  45563  fourierdlem83  45568  fourierdlem85  45570  fourierdlem87  45572  fourierdlem88  45573  fourierdlem93  45578  fourierdlem94  45579  fourierdlem95  45580  fourierdlem101  45586  fourierdlem102  45587  fourierdlem103  45588  fourierdlem104  45589  fourierdlem111  45596  fourierdlem112  45597  fourierdlem113  45598  fourierdlem114  45599  sqwvfoura  45607  sqwvfourb  45608  fouriersw  45610  fouriercn  45611