Theorem renegcli 11568

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11570 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11224	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 11243	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11493	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2740	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 11251	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 11273	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11509	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1450	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2834	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 260	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3146	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   − cmin 11490  -cneg 11491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493

This theorem is referenced by:  resubcli  11569  renegcl  11570  recgt0ii  12172  inelr  12254  cju  12260  neg1rr  12379  sincos2sgn  16227  dvdslelem  16343  divalglem1  16428  divalglem6  16432  modsubi  17106  neghalfpire  26522  coseq0negpitopi  26560  pige3ALT  26577  negpitopissre  26597  eff1o  26606  ellogrn  26616  logimclad  26629  logi  26644  logneg  26645  logcj  26663  argregt0  26667  argrege0  26668  argimgt0  26669  argimlt0  26670  logimul  26671  logneg2  26672  logcnlem3  26701  dvloglem  26705  logf1o2  26707  efopnlem2  26714  cxpsqrtlem  26759  abscxpbnd  26811  logreclem  26820  ang180lem2  26868  asinneg  26944  asinsin  26950  asin1  26952  asinrecl  26960  atanlogaddlem  26971  atanlogsublem  26973  atanlogsub  26974  atantan  26981  atanbndlem  26983  birthday  27012  ppiub  27263  lgsdir2lem1  27384  ex-fl  30476  ex-ceil  30477  normlem2  31140  logdivsqrle  34644  bj-pinftyccb  37204  bj-minftyccb  37208  bj-pinftynminfty  37210  cos2h  37598  tan2h  37599  renegclALT  38945  fourierdlem5  46068  fourierdlem9  46072  fourierdlem18  46081  fourierdlem24  46087  fourierdlem38  46101  fourierdlem40  46103  fourierdlem43  46106  fourierdlem44  46107  fourierdlem46  46108  fourierdlem50  46112  fourierdlem62  46124  fourierdlem66  46128  fourierdlem74  46136  fourierdlem75  46137  fourierdlem76  46138  fourierdlem77  46139  fourierdlem78  46140  fourierdlem83  46145  fourierdlem85  46147  fourierdlem87  46149  fourierdlem88  46150  fourierdlem93  46155  fourierdlem94  46156  fourierdlem95  46157  fourierdlem101  46163  fourierdlem102  46164  fourierdlem103  46165  fourierdlem104  46166  fourierdlem111  46173  fourierdlem112  46174  fourierdlem113  46175  fourierdlem114  46176  sqwvfoura  46184  sqwvfourb  46185  fouriersw  46187  fouriercn  46188