Theorem renegcli 11293

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11295 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 10953	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 10972	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11219	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2745	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 10978	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 11000	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11235	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1450	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	bitrid 282	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2836	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 259	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3211	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3067  (class class class)co 7272  ℂcc 10880  ℝcr 10881  0cc0 10882   + caddc 10885   − cmin 11216  -cneg 11217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-ltxr 11025  df-sub 11218  df-neg 11219

This theorem is referenced by:  resubcli  11294  renegcl  11295  recgt0ii  11892  inelr  11974  cju  11980  neg1rr  12099  sincos2sgn  15914  dvdslelem  16029  divalglem1  16114  divalglem6  16118  modsubi  16784  neghalfpire  25633  coseq0negpitopi  25671  pige3ALT  25687  negpitopissre  25707  eff1o  25716  ellogrn  25726  logimclad  25739  logneg  25754  logcj  25772  argregt0  25776  argrege0  25777  argimgt0  25778  argimlt0  25779  logimul  25780  logneg2  25781  logcnlem3  25810  dvloglem  25814  logf1o2  25816  efopnlem2  25823  cxpsqrtlem  25868  abscxpbnd  25917  logreclem  25923  ang180lem2  25971  asinneg  26047  asinsin  26053  asin1  26055  asinrecl  26063  atanlogaddlem  26074  atanlogsublem  26076  atanlogsub  26077  atantan  26084  atanbndlem  26086  birthday  26115  ppiub  26363  lgsdir2lem1  26484  ex-fl  28820  ex-ceil  28821  normlem2  29482  logdivsqrle  32639  logi  33709  bj-pinftyccb  35401  bj-minftyccb  35405  bj-pinftynminfty  35407  cos2h  35777  tan2h  35778  renegclALT  36986  fourierdlem5  43635  fourierdlem9  43639  fourierdlem18  43648  fourierdlem24  43654  fourierdlem38  43668  fourierdlem40  43670  fourierdlem43  43673  fourierdlem44  43674  fourierdlem46  43675  fourierdlem50  43679  fourierdlem62  43691  fourierdlem66  43695  fourierdlem74  43703  fourierdlem75  43704  fourierdlem76  43705  fourierdlem77  43706  fourierdlem78  43707  fourierdlem83  43712  fourierdlem85  43714  fourierdlem87  43716  fourierdlem88  43717  fourierdlem93  43722  fourierdlem94  43723  fourierdlem95  43724  fourierdlem101  43730  fourierdlem102  43731  fourierdlem103  43732  fourierdlem104  43733  fourierdlem111  43740  fourierdlem112  43741  fourierdlem113  43742  fourierdlem114  43743  sqwvfoura  43751  sqwvfourb  43752  fouriersw  43754  fouriercn  43755