Theorem renegcli 10947

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 10949 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 10608	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 10627	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 10873	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2826	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 10633	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 10655	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 10889	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1447	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	syl5bb 285	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2908	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 262	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3280	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537   + caddc 10540   − cmin 10870  -cneg 10871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872  df-neg 10873

This theorem is referenced by:  resubcli  10948  renegcl  10949  recgt0ii  11546  inelr  11628  cju  11634  neg1rr  11753  sincos2sgn  15547  dvdslelem  15659  divalglem1  15745  divalglem6  15749  modsubi  16408  neghalfpire  25051  coseq0negpitopi  25089  pige3ALT  25105  negpitopissre  25124  eff1o  25133  ellogrn  25143  logimclad  25156  logneg  25171  logcj  25189  argregt0  25193  argrege0  25194  argimgt0  25195  argimlt0  25196  logimul  25197  logneg2  25198  logcnlem3  25227  dvloglem  25231  logf1o2  25233  efopnlem2  25240  cxpsqrtlem  25285  abscxpbnd  25334  logreclem  25340  ang180lem2  25388  asinneg  25464  asinsin  25470  asin1  25472  asinrecl  25480  atanlogaddlem  25491  atanlogsublem  25493  atanlogsub  25494  atantan  25501  atanbndlem  25503  birthday  25532  ppiub  25780  lgsdir2lem1  25901  ex-fl  28226  ex-ceil  28227  normlem2  28888  logdivsqrle  31921  logi  32966  bj-pinftyccb  34506  bj-minftyccb  34510  bj-pinftynminfty  34512  cos2h  34898  tan2h  34899  renegclALT  36114  fourierdlem5  42417  fourierdlem9  42421  fourierdlem18  42430  fourierdlem24  42436  fourierdlem38  42450  fourierdlem40  42452  fourierdlem43  42455  fourierdlem44  42456  fourierdlem46  42457  fourierdlem50  42461  fourierdlem62  42473  fourierdlem66  42477  fourierdlem74  42485  fourierdlem75  42486  fourierdlem76  42487  fourierdlem77  42488  fourierdlem78  42489  fourierdlem83  42494  fourierdlem85  42496  fourierdlem87  42498  fourierdlem88  42499  fourierdlem93  42504  fourierdlem94  42505  fourierdlem95  42506  fourierdlem101  42512  fourierdlem102  42513  fourierdlem103  42514  fourierdlem104  42515  fourierdlem111  42522  fourierdlem112  42523  fourierdlem113  42524  fourierdlem114  42525  sqwvfoura  42533  sqwvfourb  42534  fouriersw  42536  fouriercn  42537