Theorem renegcli 11478

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11480 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11130	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 11149	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11403	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2757	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 11157	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 11182	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11419	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1462	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	bitrid 285	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2847	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 262	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3146	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ∃wrex 3076  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  ℝcr 11058  0cc0 11059   + caddc 11062   − cmin 11400  -cneg 11401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-ltxr 11207  df-sub 11402  df-neg 11403

This theorem is referenced by:  resubcli  11479  renegcl  11480  recgt0ii  12084  neg1rr  12167  cju  12177  sincos2sgn  16198  dvdslelem  16315  divalglem1  16400  divalglem6  16404  modsubi  17080  neghalfpire  26496  coseq0negpitopi  26534  pige3ALT  26551  negpitopissre  26571  eff1o  26580  ellogrn  26590  logimclad  26603  logi  26618  logneg  26619  logcj  26637  argregt0  26641  argrege0  26642  argimgt0  26643  argimlt0  26644  logimul  26645  logneg2  26646  logcnlem3  26675  dvloglem  26679  logf1o2  26681  efopnlem2  26688  cxpsqrtlem  26733  abscxpbnd  26784  logreclem  26793  ang180lem2  26841  asinneg  26917  asinsin  26923  asin1  26925  asinrecl  26933  atanlogaddlem  26944  atanlogsublem  26946  atanlogsub  26947  atantan  26954  atanbndlem  26956  birthday  26985  ppiub  27234  lgsdir2lem1  27355  ex-fl  30584  ex-ceil  30585  normlem2  31249  logdivsqrle  34891  bj-pinftyccb  37651  bj-minftyccb  37655  bj-pinftynminfty  37657  cos2h  38048  tan2h  38049  renegclALT  39525  fourierdlem5  46624  fourierdlem9  46628  fourierdlem18  46637  fourierdlem24  46643  fourierdlem38  46657  fourierdlem40  46659  fourierdlem43  46662  fourierdlem44  46663  fourierdlem46  46664  fourierdlem50  46668  fourierdlem62  46680  fourierdlem66  46684  fourierdlem74  46692  fourierdlem75  46693  fourierdlem76  46694  fourierdlem77  46695  fourierdlem78  46696  fourierdlem83  46701  fourierdlem85  46703  fourierdlem87  46705  fourierdlem88  46706  fourierdlem93  46711  fourierdlem94  46712  fourierdlem95  46713  fourierdlem101  46719  fourierdlem102  46720  fourierdlem103  46721  fourierdlem104  46722  fourierdlem111  46729  fourierdlem112  46730  fourierdlem113  46731  fourierdlem114  46732  sqwvfoura  46740  sqwvfourb  46741  fouriersw  46743  fouriercn  46744  nthrucw  47400