MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renegcli 10596
Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 10598 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
renegcl.1 𝐴 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
renegcli -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 ax-rnegex 10260 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3 recn 10279 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4 df-neg 10523 . . . . . . 7 -𝐴 = (0 − 𝐴)
54eqeq1i 2770 . . . . . 6 (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6 0cn 10285 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
71recni 10308 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
8 subadd 10538 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
96, 7, 8mp3an12 1575 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
105, 9syl5bb 274 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
113, 10syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12 eleq1a 2839 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
1311, 12sylbird 251 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
1413rexlimiv 3174 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
151, 2, 14mp2b 10 1 -𝐴 ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189   + caddc 10192  cmin 10520  -cneg 10521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-ltxr 10333  df-sub 10522  df-neg 10523
This theorem is referenced by:  resubcli  10597  renegcl  10598  recgt0ii  11183  inelr  11264  cju  11270  neg1rr  11394  sincos2sgn  15206  dvdslelem  15316  divalglem1  15399  divalglem6  15403  modsubi  16055  neghalfpire  24509  coseq0negpitopi  24547  pige3  24561  negpitopissre  24578  eff1o  24587  ellogrn  24597  logimclad  24610  logneg  24625  logcj  24643  argregt0  24647  argrege0  24648  argimgt0  24649  argimlt0  24650  logimul  24651  logneg2  24652  logcnlem3  24681  dvloglem  24685  logf1o2  24687  efopnlem2  24694  cxpsqrtlem  24739  abscxpbnd  24785  logreclem  24791  ang180lem2  24831  asinneg  24904  asinsin  24910  asin1  24912  asinrecl  24920  atanlogaddlem  24931  atanlogsublem  24933  atanlogsub  24934  atantan  24941  atanbndlem  24943  birthday  24972  ppiub  25220  lgsdir2lem1  25341  ex-fl  27763  ex-ceil  27764  normlem2  28424  logdivsqrle  31179  logi  32065  bj-pinftyccb  33542  bj-minftyccb  33546  bj-pinftynminfty  33548  cos2h  33824  tan2h  33825  renegclALT  34919  fourierdlem5  40966  fourierdlem9  40970  fourierdlem18  40979  fourierdlem24  40985  fourierdlem38  40999  fourierdlem40  41001  fourierdlem43  41004  fourierdlem44  41005  fourierdlem46  41006  fourierdlem50  41010  fourierdlem62  41022  fourierdlem66  41026  fourierdlem74  41034  fourierdlem75  41035  fourierdlem76  41036  fourierdlem77  41037  fourierdlem78  41038  fourierdlem83  41043  fourierdlem85  41045  fourierdlem87  41047  fourierdlem88  41048  fourierdlem93  41053  fourierdlem94  41054  fourierdlem95  41055  fourierdlem101  41061  fourierdlem102  41062  fourierdlem103  41063  fourierdlem104  41064  fourierdlem111  41071  fourierdlem112  41072  fourierdlem113  41073  fourierdlem114  41074  sqwvfoura  41082  sqwvfourb  41083  fouriersw  41085  fouriercn  41086
  Copyright terms: Public domain W3C validator