Theorem renegcli 11443

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11445 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11099	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 11118	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11368	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2734	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 11126	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 11148	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11384	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1453	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2823	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 260	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3123	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028   + caddc 11031   − cmin 11365  -cneg 11366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367  df-neg 11368

This theorem is referenced by:  resubcli  11444  renegcl  11445  recgt0ii  12049  neg1rr  12132  cju  12142  sincos2sgn  16121  dvdslelem  16238  divalglem1  16323  divalglem6  16327  modsubi  17002  neghalfpire  26390  coseq0negpitopi  26428  pige3ALT  26445  negpitopissre  26465  eff1o  26474  ellogrn  26484  logimclad  26497  logi  26512  logneg  26513  logcj  26531  argregt0  26535  argrege0  26536  argimgt0  26537  argimlt0  26538  logimul  26539  logneg2  26540  logcnlem3  26569  dvloglem  26573  logf1o2  26575  efopnlem2  26582  cxpsqrtlem  26627  abscxpbnd  26679  logreclem  26688  ang180lem2  26736  asinneg  26812  asinsin  26818  asin1  26820  asinrecl  26828  atanlogaddlem  26839  atanlogsublem  26841  atanlogsub  26842  atantan  26849  atanbndlem  26851  birthday  26880  ppiub  27131  lgsdir2lem1  27252  ex-fl  30409  ex-ceil  30410  normlem2  31073  logdivsqrle  34617  bj-pinftyccb  37194  bj-minftyccb  37198  bj-pinftynminfty  37200  cos2h  37590  tan2h  37591  renegclALT  38941  fourierdlem5  46094  fourierdlem9  46098  fourierdlem18  46107  fourierdlem24  46113  fourierdlem38  46127  fourierdlem40  46129  fourierdlem43  46132  fourierdlem44  46133  fourierdlem46  46134  fourierdlem50  46138  fourierdlem62  46150  fourierdlem66  46154  fourierdlem74  46162  fourierdlem75  46163  fourierdlem76  46164  fourierdlem77  46165  fourierdlem78  46166  fourierdlem83  46171  fourierdlem85  46173  fourierdlem87  46175  fourierdlem88  46176  fourierdlem93  46181  fourierdlem94  46182  fourierdlem95  46183  fourierdlem101  46189  fourierdlem102  46190  fourierdlem103  46191  fourierdlem104  46192  fourierdlem111  46199  fourierdlem112  46200  fourierdlem113  46201  fourierdlem114  46202  sqwvfoura  46210  sqwvfourb  46211  fouriersw  46213  fouriercn  46214