Theorem renegcli 11543

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11545 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11201	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 11220	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11469	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2732	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 11228	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 11250	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11485	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1448	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2823	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 260	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3143	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3065  (class class class)co 7414  ℂcc 11128  ℝcr 11129  0cc0 11130   + caddc 11133   − cmin 11466  -cneg 11467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is referenced by:  resubcli  11544  renegcl  11545  recgt0ii  12142  inelr  12224  cju  12230  neg1rr  12349  sincos2sgn  16162  dvdslelem  16277  divalglem1  16362  divalglem6  16366  modsubi  17032  neghalfpire  26387  coseq0negpitopi  26425  pige3ALT  26441  negpitopissre  26461  eff1o  26470  ellogrn  26480  logimclad  26493  logi  26508  logneg  26509  logcj  26527  argregt0  26531  argrege0  26532  argimgt0  26533  argimlt0  26534  logimul  26535  logneg2  26536  logcnlem3  26565  dvloglem  26569  logf1o2  26571  efopnlem2  26578  cxpsqrtlem  26623  abscxpbnd  26675  logreclem  26681  ang180lem2  26729  asinneg  26805  asinsin  26811  asin1  26813  asinrecl  26821  atanlogaddlem  26832  atanlogsublem  26834  atanlogsub  26835  atantan  26842  atanbndlem  26844  birthday  26873  ppiub  27124  lgsdir2lem1  27245  ex-fl  30244  ex-ceil  30245  normlem2  30908  logdivsqrle  34218  bj-pinftyccb  36636  bj-minftyccb  36640  bj-pinftynminfty  36642  cos2h  37019  tan2h  37020  renegclALT  38372  fourierdlem5  45423  fourierdlem9  45427  fourierdlem18  45436  fourierdlem24  45442  fourierdlem38  45456  fourierdlem40  45458  fourierdlem43  45461  fourierdlem44  45462  fourierdlem46  45463  fourierdlem50  45467  fourierdlem62  45479  fourierdlem66  45483  fourierdlem74  45491  fourierdlem75  45492  fourierdlem76  45493  fourierdlem77  45494  fourierdlem78  45495  fourierdlem83  45500  fourierdlem85  45502  fourierdlem87  45504  fourierdlem88  45505  fourierdlem93  45510  fourierdlem94  45511  fourierdlem95  45512  fourierdlem101  45518  fourierdlem102  45519  fourierdlem103  45520  fourierdlem104  45521  fourierdlem111  45528  fourierdlem112  45529  fourierdlem113  45530  fourierdlem114  45531  sqwvfoura  45539  sqwvfourb  45540  fouriersw  45542  fouriercn  45543