Theorem renegcli 11590

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11592 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11242	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 11261	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11515	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2765	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 11269	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 11294	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11531	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1480	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2855	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 263	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3156	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  (class class class)co 7408  ℂcc 11169  ℝcr 11170  0cc0 11171   + caddc 11174   − cmin 11512  -cneg 11513

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-ltxr 11319  df-sub 11514  df-neg 11515

This theorem is used by:  resubcli  11591  renegcl  11592  recgt0ii  12192  neg1rr  12275  cju  12285  sincos2sgn  16329  dvdslelem  16446  divalglem1  16531  divalglem6  16535  modsubi  17211  neghalfpire  26757  coseq0negpitopi  26795  pige3ALT  26811  negpitopissre  26831  eff1o  26840  ellogrn  26850  logimclad  26863  logi  26878  logneg  26879  logcj  26897  argregt0  26901  argrege0  26902  argimgt0  26903  argimlt0  26904  logimul  26905  logneg2  26906  logcnlem3  26935  dvloglem  26939  logf1o2  26941  efopnlem2  26948  cxpsqrtlem  26993  abscxpbnd  27044  logreclem  27053  ang180lem2  27101  asinneg  27177  asinsin  27183  asin1  27185  asinrecl  27193  atanlogaddlem  27204  atanlogsublem  27206  atanlogsub  27207  atantan  27214  atanbndlem  27216  birthday  27245  ppiub  27494  lgsdir2lem1  27615  ex-fl  30981  ex-ceil  30982  normlem2  31646  logdivsqrle  35213  bj-pinftyccb  38062  bj-minftyccb  38066  bj-pinftynminfty  38068  cos2h  38454  tan2h  38455  renegclALT  39940  fourierdlem5  47044  fourierdlem9  47048  fourierdlem18  47057  fourierdlem24  47063  fourierdlem38  47077  fourierdlem40  47079  fourierdlem43  47082  fourierdlem44  47083  fourierdlem46  47084  fourierdlem50  47088  fourierdlem62  47100  fourierdlem66  47104  fourierdlem74  47112  fourierdlem75  47113  fourierdlem76  47114  fourierdlem77  47115  fourierdlem78  47116  fourierdlem83  47121  fourierdlem85  47123  fourierdlem87  47125  fourierdlem88  47126  fourierdlem93  47131  fourierdlem94  47132  fourierdlem95  47133  fourierdlem101  47139  fourierdlem102  47140  fourierdlem103  47141  fourierdlem104  47142  fourierdlem111  47149  fourierdlem112  47150  fourierdlem113  47151  fourierdlem114  47152  sqwvfoura  47160  sqwvfourb  47161  fouriersw  47163  fouriercn  47164  goldratval  47858