Theorem renegcli 11546

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11548 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11198	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 11217	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11471	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2767	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 11225	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 11250	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11487	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1480	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2857	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 263	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3158	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127   + caddc 11130   − cmin 11468  -cneg 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470  df-neg 11471

This theorem is used by:  resubcli  11547  renegcl  11548  recgt0ii  12148  neg1rr  12231  cju  12241  sincos2sgn  16286  dvdslelem  16403  divalglem1  16488  divalglem6  16492  modsubi  17168  neghalfpire  26700  coseq0negpitopi  26738  pige3ALT  26755  negpitopissre  26775  eff1o  26784  ellogrn  26794  logimclad  26807  logi  26822  logneg  26823  logcj  26841  argregt0  26845  argrege0  26846  argimgt0  26847  argimlt0  26848  logimul  26849  logneg2  26850  logcnlem3  26879  dvloglem  26883  logf1o2  26885  efopnlem2  26892  cxpsqrtlem  26937  abscxpbnd  26988  logreclem  26997  ang180lem2  27045  asinneg  27121  asinsin  27127  asin1  27129  asinrecl  27137  atanlogaddlem  27148  atanlogsublem  27150  atanlogsub  27151  atantan  27158  atanbndlem  27160  birthday  27189  ppiub  27438  lgsdir2lem1  27559  ex-fl  30913  ex-ceil  30914  normlem2  31578  logdivsqrle  35145  bj-pinftyccb  37960  bj-minftyccb  37964  bj-pinftynminfty  37966  cos2h  38352  tan2h  38353  renegclALT  39823  fourierdlem5  46927  fourierdlem9  46931  fourierdlem18  46940  fourierdlem24  46946  fourierdlem38  46960  fourierdlem40  46962  fourierdlem43  46965  fourierdlem44  46966  fourierdlem46  46967  fourierdlem50  46971  fourierdlem62  46983  fourierdlem66  46987  fourierdlem74  46995  fourierdlem75  46996  fourierdlem76  46997  fourierdlem77  46998  fourierdlem78  46999  fourierdlem83  47004  fourierdlem85  47006  fourierdlem87  47008  fourierdlem88  47009  fourierdlem93  47014  fourierdlem94  47015  fourierdlem95  47016  fourierdlem101  47022  fourierdlem102  47023  fourierdlem103  47024  fourierdlem104  47025  fourierdlem111  47032  fourierdlem112  47033  fourierdlem113  47034  fourierdlem114  47035  sqwvfoura  47043  sqwvfourb  47044  fouriersw  47046  fouriercn  47047  goldratval  47741