Theorem renegcli 11447

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11449 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11102	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 11121	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11372	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2742	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 11129	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 11151	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11388	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1454	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2832	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 260	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3131	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  (class class class)co 7361  ℂcc 11029  ℝcr 11030  0cc0 11031   + caddc 11034   − cmin 11369  -cneg 11370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-ltxr 11176  df-sub 11371  df-neg 11372

This theorem is referenced by:  resubcli  11448  renegcl  11449  recgt0ii  12053  neg1rr  12136  cju  12146  sincos2sgn  16124  dvdslelem  16241  divalglem1  16326  divalglem6  16330  modsubi  17005  neghalfpire  26435  coseq0negpitopi  26473  pige3ALT  26490  negpitopissre  26510  eff1o  26519  ellogrn  26529  logimclad  26542  logi  26557  logneg  26558  logcj  26576  argregt0  26580  argrege0  26581  argimgt0  26582  argimlt0  26583  logimul  26584  logneg2  26585  logcnlem3  26614  dvloglem  26618  logf1o2  26620  efopnlem2  26627  cxpsqrtlem  26672  abscxpbnd  26724  logreclem  26733  ang180lem2  26781  asinneg  26857  asinsin  26863  asin1  26865  asinrecl  26873  atanlogaddlem  26884  atanlogsublem  26886  atanlogsub  26887  atantan  26894  atanbndlem  26896  birthday  26925  ppiub  27176  lgsdir2lem1  27297  ex-fl  30527  ex-ceil  30528  normlem2  31191  logdivsqrle  34820  bj-pinftyccb  37439  bj-minftyccb  37443  bj-pinftynminfty  37445  cos2h  37825  tan2h  37826  renegclALT  39302  fourierdlem5  46433  fourierdlem9  46437  fourierdlem18  46446  fourierdlem24  46452  fourierdlem38  46466  fourierdlem40  46468  fourierdlem43  46471  fourierdlem44  46472  fourierdlem46  46473  fourierdlem50  46477  fourierdlem62  46489  fourierdlem66  46493  fourierdlem74  46501  fourierdlem75  46502  fourierdlem76  46503  fourierdlem77  46504  fourierdlem78  46505  fourierdlem83  46510  fourierdlem85  46512  fourierdlem87  46514  fourierdlem88  46515  fourierdlem93  46520  fourierdlem94  46521  fourierdlem95  46522  fourierdlem101  46528  fourierdlem102  46529  fourierdlem103  46530  fourierdlem104  46531  fourierdlem111  46538  fourierdlem112  46539  fourierdlem113  46540  fourierdlem114  46541  sqwvfoura  46549  sqwvfourb  46550  fouriersw  46552  fouriercn  46553  nthrucw  47207