Theorem renegcli 11549

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11551 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11205	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 11224	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11474	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2741	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 11232	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 11254	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11490	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1453	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2830	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 260	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3135	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134   + caddc 11137   − cmin 11471  -cneg 11472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-sub 11473  df-neg 11474

This theorem is referenced by:  resubcli  11550  renegcl  11551  recgt0ii  12153  inelr  12235  cju  12241  neg1rr  12360  sincos2sgn  16217  dvdslelem  16333  divalglem1  16418  divalglem6  16422  modsubi  17097  neghalfpire  26431  coseq0negpitopi  26469  pige3ALT  26486  negpitopissre  26506  eff1o  26515  ellogrn  26525  logimclad  26538  logi  26553  logneg  26554  logcj  26572  argregt0  26576  argrege0  26577  argimgt0  26578  argimlt0  26579  logimul  26580  logneg2  26581  logcnlem3  26610  dvloglem  26614  logf1o2  26616  efopnlem2  26623  cxpsqrtlem  26668  abscxpbnd  26720  logreclem  26729  ang180lem2  26777  asinneg  26853  asinsin  26859  asin1  26861  asinrecl  26869  atanlogaddlem  26880  atanlogsublem  26882  atanlogsub  26883  atantan  26890  atanbndlem  26892  birthday  26921  ppiub  27172  lgsdir2lem1  27293  ex-fl  30433  ex-ceil  30434  normlem2  31097  logdivsqrle  34687  bj-pinftyccb  37244  bj-minftyccb  37248  bj-pinftynminfty  37250  cos2h  37640  tan2h  37641  renegclALT  38986  fourierdlem5  46121  fourierdlem9  46125  fourierdlem18  46134  fourierdlem24  46140  fourierdlem38  46154  fourierdlem40  46156  fourierdlem43  46159  fourierdlem44  46160  fourierdlem46  46161  fourierdlem50  46165  fourierdlem62  46177  fourierdlem66  46181  fourierdlem74  46189  fourierdlem75  46190  fourierdlem76  46191  fourierdlem77  46192  fourierdlem78  46193  fourierdlem83  46198  fourierdlem85  46200  fourierdlem87  46202  fourierdlem88  46203  fourierdlem93  46208  fourierdlem94  46209  fourierdlem95  46210  fourierdlem101  46216  fourierdlem102  46217  fourierdlem103  46218  fourierdlem104  46219  fourierdlem111  46226  fourierdlem112  46227  fourierdlem113  46228  fourierdlem114  46229  sqwvfoura  46237  sqwvfourb  46238  fouriersw  46240  fouriercn  46241