Theorem renegcli 11414

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11416 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11069	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 11088	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11339	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2735	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 11096	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 11118	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11355	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1453	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2824	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 260	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3124	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3054  (class class class)co 7341  ℂcc 10996  ℝcr 10997  0cc0 10998   + caddc 11001   − cmin 11336  -cneg 11337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-ltxr 11143  df-sub 11338  df-neg 11339

This theorem is referenced by:  resubcli  11415  renegcl  11416  recgt0ii  12020  neg1rr  12103  cju  12113  sincos2sgn  16095  dvdslelem  16212  divalglem1  16297  divalglem6  16301  modsubi  16976  neghalfpire  26394  coseq0negpitopi  26432  pige3ALT  26449  negpitopissre  26469  eff1o  26478  ellogrn  26488  logimclad  26501  logi  26516  logneg  26517  logcj  26535  argregt0  26539  argrege0  26540  argimgt0  26541  argimlt0  26542  logimul  26543  logneg2  26544  logcnlem3  26573  dvloglem  26577  logf1o2  26579  efopnlem2  26586  cxpsqrtlem  26631  abscxpbnd  26683  logreclem  26692  ang180lem2  26740  asinneg  26816  asinsin  26822  asin1  26824  asinrecl  26832  atanlogaddlem  26843  atanlogsublem  26845  atanlogsub  26846  atantan  26853  atanbndlem  26855  birthday  26884  ppiub  27135  lgsdir2lem1  27256  ex-fl  30417  ex-ceil  30418  normlem2  31081  logdivsqrle  34653  bj-pinftyccb  37234  bj-minftyccb  37238  bj-pinftynminfty  37240  cos2h  37630  tan2h  37631  renegclALT  38981  fourierdlem5  46129  fourierdlem9  46133  fourierdlem18  46142  fourierdlem24  46148  fourierdlem38  46162  fourierdlem40  46164  fourierdlem43  46167  fourierdlem44  46168  fourierdlem46  46169  fourierdlem50  46173  fourierdlem62  46185  fourierdlem66  46189  fourierdlem74  46197  fourierdlem75  46198  fourierdlem76  46199  fourierdlem77  46200  fourierdlem78  46201  fourierdlem83  46206  fourierdlem85  46208  fourierdlem87  46210  fourierdlem88  46211  fourierdlem93  46216  fourierdlem94  46217  fourierdlem95  46218  fourierdlem101  46224  fourierdlem102  46225  fourierdlem103  46226  fourierdlem104  46227  fourierdlem111  46234  fourierdlem112  46235  fourierdlem113  46236  fourierdlem114  46237  sqwvfoura  46245  sqwvfourb  46246  fouriersw  46248  fouriercn  46249