Theorem renegcli 11503

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11505 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11155	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 11174	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11428	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2768	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 11182	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 11207	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11444	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1473	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	bitrid 285	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2858	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 262	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3157	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3087  (class class class)co 7396  ℂcc 11082  ℝcr 11083  0cc0 11084   + caddc 11087   − cmin 11425  -cneg 11426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-ltxr 11232  df-sub 11427  df-neg 11428

This theorem is referenced by:  resubcli  11504  renegcl  11505  recgt0ii  12108  neg1rr  12191  cju  12201  sincos2sgn  16236  dvdslelem  16353  divalglem1  16438  divalglem6  16442  modsubi  17118  neghalfpire  26537  coseq0negpitopi  26575  pige3ALT  26592  negpitopissre  26612  eff1o  26621  ellogrn  26631  logimclad  26644  logi  26659  logneg  26660  logcj  26678  argregt0  26682  argrege0  26683  argimgt0  26684  argimlt0  26685  logimul  26686  logneg2  26687  logcnlem3  26716  dvloglem  26720  logf1o2  26722  efopnlem2  26729  cxpsqrtlem  26774  abscxpbnd  26825  logreclem  26834  ang180lem2  26882  asinneg  26958  asinsin  26964  asin1  26966  asinrecl  26974  atanlogaddlem  26985  atanlogsublem  26987  atanlogsub  26988  atantan  26995  atanbndlem  26997  birthday  27026  ppiub  27275  lgsdir2lem1  27396  ex-fl  30656  ex-ceil  30657  normlem2  31321  logdivsqrle  34946  bj-pinftyccb  37718  bj-minftyccb  37722  bj-pinftynminfty  37724  cos2h  38115  tan2h  38116  renegclALT  39592  fourierdlem5  46677  fourierdlem9  46681  fourierdlem18  46690  fourierdlem24  46696  fourierdlem38  46710  fourierdlem40  46712  fourierdlem43  46715  fourierdlem44  46716  fourierdlem46  46717  fourierdlem50  46721  fourierdlem62  46733  fourierdlem66  46737  fourierdlem74  46745  fourierdlem75  46746  fourierdlem76  46747  fourierdlem77  46748  fourierdlem78  46749  fourierdlem83  46754  fourierdlem85  46756  fourierdlem87  46758  fourierdlem88  46759  fourierdlem93  46764  fourierdlem94  46765  fourierdlem95  46766  fourierdlem101  46772  fourierdlem102  46773  fourierdlem103  46774  fourierdlem104  46775  fourierdlem111  46782  fourierdlem112  46783  fourierdlem113  46784  fourierdlem114  46785  sqwvfoura  46793  sqwvfourb  46794  fouriersw  46796  fouriercn  46797  nthrucw  47453