Theorem renegcli 11518

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11520 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11170	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 11189	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11443	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2766	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 11197	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 11222	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11459	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1478	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2856	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 263	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3157	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3087  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099   + caddc 11102   − cmin 11440  -cneg 11441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  resubcli  11519  renegcl  11520  recgt0ii  12120  neg1rr  12203  cju  12213  sincos2sgn  16249  dvdslelem  16366  divalglem1  16451  divalglem6  16455  modsubi  17131  neghalfpire  26606  coseq0negpitopi  26644  pige3ALT  26661  negpitopissre  26681  eff1o  26690  ellogrn  26700  logimclad  26713  logi  26728  logneg  26729  logcj  26747  argregt0  26751  argrege0  26752  argimgt0  26753  argimlt0  26754  logimul  26755  logneg2  26756  logcnlem3  26785  dvloglem  26789  logf1o2  26791  efopnlem2  26798  cxpsqrtlem  26843  abscxpbnd  26894  logreclem  26903  ang180lem2  26951  asinneg  27027  asinsin  27033  asin1  27035  asinrecl  27043  atanlogaddlem  27054  atanlogsublem  27056  atanlogsub  27057  atantan  27064  atanbndlem  27066  birthday  27095  ppiub  27344  lgsdir2lem1  27465  ex-fl  30764  ex-ceil  30765  normlem2  31429  logdivsqrle  35003  bj-pinftyccb  37809  bj-minftyccb  37813  bj-pinftynminfty  37815  cos2h  38206  tan2h  38207  renegclALT  39683  fourierdlem5  46774  fourierdlem9  46778  fourierdlem18  46787  fourierdlem24  46793  fourierdlem38  46807  fourierdlem40  46809  fourierdlem43  46812  fourierdlem44  46813  fourierdlem46  46814  fourierdlem50  46818  fourierdlem62  46830  fourierdlem66  46834  fourierdlem74  46842  fourierdlem75  46843  fourierdlem76  46844  fourierdlem77  46845  fourierdlem78  46846  fourierdlem83  46851  fourierdlem85  46853  fourierdlem87  46855  fourierdlem88  46856  fourierdlem93  46861  fourierdlem94  46862  fourierdlem95  46863  fourierdlem101  46869  fourierdlem102  46870  fourierdlem103  46871  fourierdlem104  46872  fourierdlem111  46879  fourierdlem112  46880  fourierdlem113  46881  fourierdlem114  46882  sqwvfoura  46890  sqwvfourb  46891  fouriersw  46893  fouriercn  46894  nthrucw  47550