Theorem renegcli 11446

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11448 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11101	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 11120	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11371	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2742	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 11128	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 11150	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11387	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1454	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2832	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 260	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3131	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030   + caddc 11033   − cmin 11368  -cneg 11369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  resubcli  11447  renegcl  11448  recgt0ii  12052  neg1rr  12135  cju  12145  sincos2sgn  16123  dvdslelem  16240  divalglem1  16325  divalglem6  16329  modsubi  17004  neghalfpire  26434  coseq0negpitopi  26472  pige3ALT  26489  negpitopissre  26509  eff1o  26518  ellogrn  26528  logimclad  26541  logi  26556  logneg  26557  logcj  26575  argregt0  26579  argrege0  26580  argimgt0  26581  argimlt0  26582  logimul  26583  logneg2  26584  logcnlem3  26613  dvloglem  26617  logf1o2  26619  efopnlem2  26626  cxpsqrtlem  26671  abscxpbnd  26723  logreclem  26732  ang180lem2  26780  asinneg  26856  asinsin  26862  asin1  26864  asinrecl  26872  atanlogaddlem  26883  atanlogsublem  26885  atanlogsub  26886  atantan  26893  atanbndlem  26895  birthday  26924  ppiub  27175  lgsdir2lem1  27296  ex-fl  30505  ex-ceil  30506  normlem2  31169  logdivsqrle  34788  bj-pinftyccb  37397  bj-minftyccb  37401  bj-pinftynminfty  37403  cos2h  37783  tan2h  37784  renegclALT  39260  fourierdlem5  46392  fourierdlem9  46396  fourierdlem18  46405  fourierdlem24  46411  fourierdlem38  46425  fourierdlem40  46427  fourierdlem43  46430  fourierdlem44  46431  fourierdlem46  46432  fourierdlem50  46436  fourierdlem62  46448  fourierdlem66  46452  fourierdlem74  46460  fourierdlem75  46461  fourierdlem76  46462  fourierdlem77  46463  fourierdlem78  46464  fourierdlem83  46469  fourierdlem85  46471  fourierdlem87  46473  fourierdlem88  46474  fourierdlem93  46479  fourierdlem94  46480  fourierdlem95  46481  fourierdlem101  46487  fourierdlem102  46488  fourierdlem103  46489  fourierdlem104  46490  fourierdlem111  46497  fourierdlem112  46498  fourierdlem113  46499  fourierdlem114  46500  sqwvfoura  46508  sqwvfourb  46509  fouriersw  46511  fouriercn  46512  nthrucw  47166