Theorem renegcli 11619

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11621 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11271	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 11290	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11544	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2765	. . . . . 6 ⊢ ( -𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 11298	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 11323	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11560	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1480	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ( -𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ( -𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2855	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ( -𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 263	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3156	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200   + caddc 11203   − cmin 11541   -cneg 11542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544

This theorem is used by:  resubcli  11620  renegcl  11621  recgt0ii  12223  neg1rr  12306  cju  12316  sincos2sgn  16362  dvdslelem  16479  divalglem1  16564  divalglem6  16568  modsubi  17250  neghalfpire  26794  coseq0negpitopi  26832  pige3ALT  26848  negpitopissre  26868  eff1o  26877  ellogrn  26887  logimclad  26900  logi  26915  logneg  26916  logcj  26934  argregt0  26938  argrege0  26939  argimgt0  26940  argimlt0  26941  logimul  26942  logneg2  26943  logcnlem3  26972  dvloglem  26976  logf1o2  26978  efopnlem2  26985  cxpsqrtlem  27030  abscxpbnd  27081  logreclem  27090  ang180lem2  27138  asinneg  27214  asinsin  27220  asin1  27222  asinrecl  27230  atanlogaddlem  27241  atanlogsublem  27243  atanlogsub  27244  atantan  27251  atanbndlem  27253  birthday  27282  ppiub  27531  lgsdir2lem1  27652  ex-fl  31048  ex-ceil  31049  normlem2  31713  logdivsqrle  35321  bj-pinftyccb  38185  bj-minftyccb  38189  bj-pinftynminfty  38191  cos2h  38577  tan2h  38578  renegclALT  40063  fourierdlem5  47165  fourierdlem9  47169  fourierdlem18  47178  fourierdlem24  47184  fourierdlem38  47198  fourierdlem40  47200  fourierdlem43  47203  fourierdlem44  47204  fourierdlem46  47205  fourierdlem50  47209  fourierdlem62  47221  fourierdlem66  47225  fourierdlem74  47233  fourierdlem75  47234  fourierdlem76  47235  fourierdlem77  47236  fourierdlem78  47237  fourierdlem83  47242  fourierdlem85  47244  fourierdlem87  47246  fourierdlem88  47247  fourierdlem93  47252  fourierdlem94  47253  fourierdlem95  47254  fourierdlem101  47260  fourierdlem102  47261  fourierdlem103  47262  fourierdlem104  47263  fourierdlem111  47270  fourierdlem112  47271  fourierdlem113  47272  fourierdlem114  47273  sqwvfoura  47281  sqwvfourb  47282  fouriersw  47284  fouriercn  47285  goldratval  47979