Theorem renegcli 11483

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11485 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11139	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 11158	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11408	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2734	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 11166	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 11188	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11424	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1453	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2823	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 260	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3127	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   + caddc 11071   − cmin 11405  -cneg 11406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  resubcli  11484  renegcl  11485  recgt0ii  12089  neg1rr  12172  cju  12182  sincos2sgn  16162  dvdslelem  16279  divalglem1  16364  divalglem6  16368  modsubi  17043  neghalfpire  26374  coseq0negpitopi  26412  pige3ALT  26429  negpitopissre  26449  eff1o  26458  ellogrn  26468  logimclad  26481  logi  26496  logneg  26497  logcj  26515  argregt0  26519  argrege0  26520  argimgt0  26521  argimlt0  26522  logimul  26523  logneg2  26524  logcnlem3  26553  dvloglem  26557  logf1o2  26559  efopnlem2  26566  cxpsqrtlem  26611  abscxpbnd  26663  logreclem  26672  ang180lem2  26720  asinneg  26796  asinsin  26802  asin1  26804  asinrecl  26812  atanlogaddlem  26823  atanlogsublem  26825  atanlogsub  26826  atantan  26833  atanbndlem  26835  birthday  26864  ppiub  27115  lgsdir2lem1  27236  ex-fl  30376  ex-ceil  30377  normlem2  31040  logdivsqrle  34641  bj-pinftyccb  37209  bj-minftyccb  37213  bj-pinftynminfty  37215  cos2h  37605  tan2h  37606  renegclALT  38956  fourierdlem5  46110  fourierdlem9  46114  fourierdlem18  46123  fourierdlem24  46129  fourierdlem38  46143  fourierdlem40  46145  fourierdlem43  46148  fourierdlem44  46149  fourierdlem46  46150  fourierdlem50  46154  fourierdlem62  46166  fourierdlem66  46170  fourierdlem74  46178  fourierdlem75  46179  fourierdlem76  46180  fourierdlem77  46181  fourierdlem78  46182  fourierdlem83  46187  fourierdlem85  46189  fourierdlem87  46191  fourierdlem88  46192  fourierdlem93  46197  fourierdlem94  46198  fourierdlem95  46199  fourierdlem101  46205  fourierdlem102  46206  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem111  46215  fourierdlem112  46216  fourierdlem113  46217  fourierdlem114  46218  sqwvfoura  46226  sqwvfourb  46227  fouriersw  46229  fouriercn  46230