Theorem renegcli 11525

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11527 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11183	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 11202	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11451	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2735	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 11210	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 11232	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11467	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1449	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	bitrid 282	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2826	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 259	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3146	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3068  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   − cmin 11448  -cneg 11449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451

This theorem is referenced by:  resubcli  11526  renegcl  11527  recgt0ii  12124  inelr  12206  cju  12212  neg1rr  12331  sincos2sgn  16141  dvdslelem  16256  divalglem1  16341  divalglem6  16345  modsubi  17009  neghalfpire  26211  coseq0negpitopi  26249  pige3ALT  26265  negpitopissre  26285  eff1o  26294  ellogrn  26304  logimclad  26317  logneg  26332  logcj  26350  argregt0  26354  argrege0  26355  argimgt0  26356  argimlt0  26357  logimul  26358  logneg2  26359  logcnlem3  26388  dvloglem  26392  logf1o2  26394  efopnlem2  26401  cxpsqrtlem  26446  abscxpbnd  26497  logreclem  26503  ang180lem2  26551  asinneg  26627  asinsin  26633  asin1  26635  asinrecl  26643  atanlogaddlem  26654  atanlogsublem  26656  atanlogsub  26657  atantan  26664  atanbndlem  26666  birthday  26695  ppiub  26943  lgsdir2lem1  27064  ex-fl  29967  ex-ceil  29968  normlem2  30631  logdivsqrle  33960  logi  35008  bj-pinftyccb  36405  bj-minftyccb  36409  bj-pinftynminfty  36411  cos2h  36782  tan2h  36783  renegclALT  38136  fourierdlem5  45126  fourierdlem9  45130  fourierdlem18  45139  fourierdlem24  45145  fourierdlem38  45159  fourierdlem40  45161  fourierdlem43  45164  fourierdlem44  45165  fourierdlem46  45166  fourierdlem50  45170  fourierdlem62  45182  fourierdlem66  45186  fourierdlem74  45194  fourierdlem75  45195  fourierdlem76  45196  fourierdlem77  45197  fourierdlem78  45198  fourierdlem83  45203  fourierdlem85  45205  fourierdlem87  45207  fourierdlem88  45208  fourierdlem93  45213  fourierdlem94  45214  fourierdlem95  45215  fourierdlem101  45221  fourierdlem102  45222  fourierdlem103  45223  fourierdlem104  45224  fourierdlem111  45231  fourierdlem112  45232  fourierdlem113  45233  fourierdlem114  45234  sqwvfoura  45242  sqwvfourb  45243  fouriersw  45245  fouriercn  45246