Theorem renegcli 11455

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 11457 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11109	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 11128	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 11380	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2742	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 11136	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 11159	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 11396	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1454	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2832	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 260	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3132	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   + caddc 11041   − cmin 11377  -cneg 11378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  resubcli  11456  renegcl  11457  recgt0ii  12062  neg1rr  12145  cju  12155  sincos2sgn  16161  dvdslelem  16278  divalglem1  16363  divalglem6  16367  modsubi  17043  neghalfpire  26429  coseq0negpitopi  26467  pige3ALT  26484  negpitopissre  26504  eff1o  26513  ellogrn  26523  logimclad  26536  logi  26551  logneg  26552  logcj  26570  argregt0  26574  argrege0  26575  argimgt0  26576  argimlt0  26577  logimul  26578  logneg2  26579  logcnlem3  26608  dvloglem  26612  logf1o2  26614  efopnlem2  26621  cxpsqrtlem  26666  abscxpbnd  26717  logreclem  26726  ang180lem2  26774  asinneg  26850  asinsin  26856  asin1  26858  asinrecl  26866  atanlogaddlem  26877  atanlogsublem  26879  atanlogsub  26880  atantan  26887  atanbndlem  26889  birthday  26918  ppiub  27167  lgsdir2lem1  27288  ex-fl  30517  ex-ceil  30518  normlem2  31182  logdivsqrle  34794  bj-pinftyccb  37535  bj-minftyccb  37539  bj-pinftynminfty  37541  cos2h  37932  tan2h  37933  renegclALT  39409  fourierdlem5  46540  fourierdlem9  46544  fourierdlem18  46553  fourierdlem24  46559  fourierdlem38  46573  fourierdlem40  46575  fourierdlem43  46578  fourierdlem44  46579  fourierdlem46  46580  fourierdlem50  46584  fourierdlem62  46596  fourierdlem66  46600  fourierdlem74  46608  fourierdlem75  46609  fourierdlem76  46610  fourierdlem77  46611  fourierdlem78  46612  fourierdlem83  46617  fourierdlem85  46619  fourierdlem87  46621  fourierdlem88  46622  fourierdlem93  46627  fourierdlem94  46628  fourierdlem95  46629  fourierdlem101  46635  fourierdlem102  46636  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem111  46645  fourierdlem112  46646  fourierdlem113  46647  fourierdlem114  46648  sqwvfoura  46656  sqwvfourb  46657  fouriersw  46659  fouriercn  46660  nthrucw  47314