Theorem zmulcomlem 42831

Description: Lemma for zmulcom 42832. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zmulcomlem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem zmulcomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12415	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2		renegneg 42776	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
3	2	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
4	3	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
5		rernegcl 42735	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
8	6, 7	renegmulnnass 42829	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · 𝐵) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵)))
9		nnmulcom 42636	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵) = (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴)))
10	9	adantll 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵) = (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴)))
11	10	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵)) = (0 −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
12		nnre 12164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		0red 11147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
15		resubdi 42760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐵 · 0) −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
16	13, 14, 6, 15	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐵 · 0) −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
17		remul01 42771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 · 0) = 0)
19	18	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 0) = 0)
20	19	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 0) −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))) = (0 −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
21	16, 20	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (0 −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
22	2	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
23	22	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (𝐵 · 𝐴))
24	11, 21, 23	3eqtr2d 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵)) = (𝐵 · 𝐴))
25	8, 4, 24	3eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
26	4, 4, 25	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
27		remul01 42771	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
28		remul02 42769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)
29	27, 28	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
30	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
31		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
32		oveq1 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
33	31, 32	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴)))
34	30, 33	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)))
35	34	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
36	26, 35	jaodan 960	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
37	1, 36	sylan2b 595	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413   −_ℝ cresub 42729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-resub 42730

This theorem is referenced by:  zmulcom  42832