Theorem zmulcomlem 43735

Description: Lemma for zmulcom 43736. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zmulcomlem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem zmulcomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12638	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2		renegneg 43667	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
3	2	oveq1d 7461	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
4	3	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
5		rernegcl 43626	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
7		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
8	6, 7	renegmulnnass 43733	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · 𝐵) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵)))
9		nnmulcom 12426	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵) = (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴)))
10	9	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵) = (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴)))
11	10	oveq2d 7462	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵)) = (0 −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
12		nnre 12372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		0red 11341	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
15		resubdi 43651	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐵 · 0) −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
16	13, 14, 6, 15	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐵 · 0) −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
17		remul01 43662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
18	12, 17	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 · 0) = 0)
19	18	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 0) = 0)
20	19	oveq1d 7461	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 0) −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))) = (0 −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
21	16, 20	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (0 −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
22	2	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
23	22	oveq2d 7462	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (𝐵 · 𝐴))
24	11, 21, 23	3eqtr2d 2804	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵)) = (𝐵 · 𝐴))
25	8, 4, 24	3eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
26	4, 4, 25	3eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
27		remul01 43662	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
28		remul02 43660	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)
29	27, 28	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
30	29	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
31		oveq2 7454	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
32		oveq1 7453	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
33	31, 32	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴)))
34	30, 33	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)))
35	34	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
36	26, 35	jaodan 972	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
37	1, 36	sylan2b 606	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  0cc0 11230   · cmul 11235  ℕcn 12365  ℕ₀cn0 12636   −_ℝ cresub 43620

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-ltxr 11378  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-resub 43621

This theorem is used by:  zmulcom  43736