Theorem zmulcomlem 42462

Description: Lemma for zmulcom 42463. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zmulcomlem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem zmulcomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12526	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2		renegneg 42418	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
3	2	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
4	3	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
5		rernegcl 42378	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
8	6, 7	renegmulnnass 42460	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · 𝐵) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵)))
9		nnmulcom 42286	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵) = (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴)))
10	9	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵) = (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴)))
11	10	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵)) = (0 −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
12		nnre 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		0red 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
15		resubdi 42403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐵 · 0) −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
16	13, 14, 6, 15	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐵 · 0) −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
17		remul01 42414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 · 0) = 0)
19	18	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 0) = 0)
20	19	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 0) −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))) = (0 −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
21	16, 20	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (0 −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
22	2	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
23	22	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (𝐵 · 𝐴))
24	11, 21, 23	3eqtr2d 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵)) = (𝐵 · 𝐴))
25	8, 4, 24	3eqtr3d 2783	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
26	4, 4, 25	3eqtr3d 2783	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
27		remul01 42414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
28		remul02 42412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)
29	27, 28	eqtr4d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
30	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
31		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
32		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
33	31, 32	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴)))
34	30, 33	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)))
35	34	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
36	26, 35	jaodan 959	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
37	1, 36	sylan2b 594	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524   −_ℝ cresub 42372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-resub 42373

This theorem is referenced by:  zmulcom  42463