Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zmulcomlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmulcomlem 41110
Description: Lemma for zmulcom 41111. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
zmulcomlem (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))

Proof of Theorem zmulcomlem
StepHypRef Expression
1 elnn0 12456 . 2 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0))
2 renegneg 41066 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) = ๐ด)
32oveq1d 7408 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
43ad2antrr 724 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
5 rernegcl 41026 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„)
65ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„)
7 simpr 485 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
86, 7renegmulnnass 41108 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) ยท ๐ต) = (0 โˆ’โ„ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐ต)))
9 nnmulcom 40974 . . . . . . . 8 (((0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐ต) = (๐ต ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด)))
109adantll 712 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐ต) = (๐ต ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด)))
1110oveq2d 7409 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (0 โˆ’โ„ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐ต)) = (0 โˆ’โ„ (๐ต ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด))))
12 nnre 12201 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1312adantl 482 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
14 0red 11199 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
15 resubdi 41051 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด))) = ((๐ต ยท 0) โˆ’โ„ (๐ต ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด))))
1613, 14, 6, 15syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด))) = ((๐ต ยท 0) โˆ’โ„ (๐ต ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด))))
17 remul01 41062 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
1812, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
1918adantl 482 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
2019oveq1d 7408 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท 0) โˆ’โ„ (๐ต ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด))) = (0 โˆ’โ„ (๐ต ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด))))
2116, 20eqtrd 2771 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด))) = (0 โˆ’โ„ (๐ต ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด))))
222ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) = ๐ด)
2322oveq2d 7409 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด))) = (๐ต ยท ๐ด))
2411, 21, 233eqtr2d 2777 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (0 โˆ’โ„ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐ต)) = (๐ต ยท ๐ด))
258, 4, 243eqtr3d 2779 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
264, 4, 253eqtr3d 2779 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
27 remul01 41062 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
28 remul02 41060 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
2927, 28eqtr4d 2774 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 0) = (0 ยท ๐ด))
3029adantr 481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท 0) = (0 ยท ๐ด))
31 oveq2 7401 . . . . . 6 (๐ต = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ด ยท 0))
32 oveq1 7400 . . . . . 6 (๐ต = 0 โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = (0 ยท ๐ด))
3331, 32eqeq12d 2747 . . . . 5 (๐ต = 0 โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (๐ด ยท 0) = (0 ยท ๐ด)))
3430, 33syl5ibrcom 246 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด)))
3534imp 407 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
3626, 35jaodan 956 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
371, 36sylan2b 594 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  (class class class)co 7393  โ„cr 11091  0cc0 11092   ยท cmul 11097  โ„•cn 12194  โ„•0cn0 12454   โˆ’โ„ cresub 41020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-ltxr 11235  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-resub 41021
This theorem is referenced by:  zmulcom  41111
  Copyright terms: Public domain W3C validator