Theorem zmulcomlem 42498

Description: Lemma for zmulcom 42499. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zmulcomlem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem zmulcomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12503	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2		renegneg 42454	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
3	2	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
4	3	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
5		rernegcl 42414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
8	6, 7	renegmulnnass 42496	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · 𝐵) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵)))
9		nnmulcom 42322	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵) = (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴)))
10	9	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵) = (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴)))
11	10	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵)) = (0 −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
12		nnre 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		0red 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
15		resubdi 42439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐵 · 0) −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
16	13, 14, 6, 15	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐵 · 0) −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
17		remul01 42450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 · 0) = 0)
19	18	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 0) = 0)
20	19	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 0) −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))) = (0 −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
21	16, 20	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (0 −ℝ (𝐵 · (0 −ℝ 𝐴))))
22	2	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
23	22	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (𝐵 · 𝐴))
24	11, 21, 23	3eqtr2d 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝐵)) = (𝐵 · 𝐴))
25	8, 4, 24	3eqtr3d 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
26	4, 4, 25	3eqtr3d 2778	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
27		remul01 42450	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
28		remul02 42448	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)
29	27, 28	eqtr4d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
30	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
31		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
32		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
33	31, 32	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴)))
34	30, 33	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)))
35	34	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
36	26, 35	jaodan 959	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
37	1, 36	sylan2b 594	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129   · cmul 11134  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501   −_ℝ cresub 42408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-resub 42409

This theorem is referenced by:  zmulcom  42499