Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zmulcomlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmulcomlem 42485
Description: Lemma for zmulcom 42486. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
zmulcomlem (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem zmulcomlem
StepHypRef Expression
1 elnn0 12528 . 2 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2 renegneg 42441 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − (0 − 𝐴)) = 𝐴)
32oveq1d 7446 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 − (0 − 𝐴)) · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
43ad2antrr 726 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 − (0 − 𝐴)) · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
5 rernegcl 42401 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
65ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
7 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
86, 7renegmulnnass 42483 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 − (0 − 𝐴)) · 𝐵) = (0 − ((0 − 𝐴) · 𝐵)))
9 nnmulcom 42307 . . . . . . . 8 (((0 − 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 − 𝐴) · 𝐵) = (𝐵 · (0 − 𝐴)))
109adantll 714 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 − 𝐴) · 𝐵) = (𝐵 · (0 − 𝐴)))
1110oveq2d 7447 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 − ((0 − 𝐴) · 𝐵)) = (0 − (𝐵 · (0 − 𝐴))))
12 nnre 12273 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
1312adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
14 0red 11264 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
15 resubdi 42426 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (0 − (0 − 𝐴))) = ((𝐵 · 0) − (𝐵 · (0 − 𝐴))))
1613, 14, 6, 15syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · (0 − (0 − 𝐴))) = ((𝐵 · 0) − (𝐵 · (0 − 𝐴))))
17 remul01 42437 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
1812, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 · 0) = 0)
1918adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 0) = 0)
2019oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 0) − (𝐵 · (0 − 𝐴))) = (0 − (𝐵 · (0 − 𝐴))))
2116, 20eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · (0 − (0 − 𝐴))) = (0 − (𝐵 · (0 − 𝐴))))
222ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 − (0 − 𝐴)) = 𝐴)
2322oveq2d 7447 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · (0 − (0 − 𝐴))) = (𝐵 · 𝐴))
2411, 21, 233eqtr2d 2783 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 − ((0 − 𝐴) · 𝐵)) = (𝐵 · 𝐴))
258, 4, 243eqtr3d 2785 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
264, 4, 253eqtr3d 2785 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
27 remul01 42437 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
28 remul02 42435 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)
2927, 28eqtr4d 2780 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
3029adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
31 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
32 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝐵 = 0 → (𝐵 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
3331, 32eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴)))
3430, 33syl5ibrcom 247 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)))
3534imp 406 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
3626, 35jaodan 960 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
371, 36sylan2b 594 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160  cn 12266  0cn0 12526   cresub 42395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-resub 42396
This theorem is referenced by:  zmulcom  42486
  Copyright terms: Public domain W3C validator