Theorem reprss 34632

Description: Representations with terms in a subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprss.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
reprss	⊢ (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

Proof of Theorem reprss

Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12272	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
3		reprval.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
4	2, 3	ssexd 5324	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
5		reprss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
6		mapss 8929	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ⊆ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ⊆ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
8	7	sselda 3983	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
9	8	adantrr 717	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
10	9	rabss3d 4081	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} ⊆ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
11	5, 3	sstrd 3994	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
12		reprval.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		reprval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
14	11, 12, 13	reprval 34625	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
15	3, 12, 13	reprval 34625	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
16	10, 14, 15	3sstr4d 4039	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866  0cc0 11155  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ..^cfzo 13694  Σcsu 15722  reprcrepr 34623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-map 8868  df-neg 11495  df-nn 12267  df-z 12614  df-seq 14043  df-sum 15723  df-repr 34624

This theorem is referenced by:  hashreprin  34635  reprinfz1  34637  tgoldbachgtde  34675