Theorem reprss 32497

Description: Representations with terms in a subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprss.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
reprss	⊢ (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

Proof of Theorem reprss

Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 11909	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
3		reprval.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
4	2, 3	ssexd 5243	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
5		reprss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
6		mapss 8635	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ⊆ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
7	4, 5, 6	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ⊆ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
8	7	sselda 3917	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
9	8	adantrr 713	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
10	9	rabss3d 30762	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} ⊆ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
11	5, 3	sstrd 3927	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
12		reprval.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		reprval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
14	11, 12, 13	reprval 32490	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
15	3, 12, 13	reprval 32490	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
16	10, 14, 15	3sstr4d 3964	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  0cc0 10802  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ..^cfzo 13311  Σcsu 15325  reprcrepr 32488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-addcl 10862

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-map 8575  df-neg 11138  df-nn 11904  df-z 12250  df-seq 13650  df-sum 15326  df-repr 32489

This theorem is referenced by:  hashreprin  32500  reprinfz1  32502  tgoldbachgtde  32540