Theorem reprss 35036

Description: Representations with terms in a subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprss.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
reprss	⊢ (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

Proof of Theorem reprss

Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12257	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
3		reprval.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
4	2, 3	ssexd 5300	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
5		reprss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
6		mapss 8896	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ⊆ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
7	4, 5, 6	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ⊆ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
8	7	sselda 3940	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
9	8	adantrr 730	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
10	9	rabss3d 4038	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} ⊆ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
11	5, 3	sstrd 3950	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
12		reprval.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		reprval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
14	11, 12, 13	reprval 35029	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
15	3, 12, 13	reprval 35029	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
16	10, 14, 15	3sstr4d 3995	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3419  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↑_m cmap 8833  0cc0 11118  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ..^cfzo 13701  Σcsu 15763  reprcrepr 35027

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-addcl 11178

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-map 8835  df-neg 11462  df-nn 12252  df-z 12610  df-seq 14058  df-sum 15764  df-repr 35028

This theorem is used by:  hashreprin  35039  reprinfz1  35041  tgoldbachgtde  35079