Theorem reprss 34651

Description: Representations with terms in a subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprss.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
reprss	⊢ (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

Proof of Theorem reprss

Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12138	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
3		reprval.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
4	2, 3	ssexd 5264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
5		reprss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
6		mapss 8819	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ⊆ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ⊆ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
8	7	sselda 3930	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
9	8	adantrr 717	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
10	9	rabss3d 4030	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} ⊆ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
11	5, 3	sstrd 3941	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
12		reprval.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		reprval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
14	11, 12, 13	reprval 34644	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
15	3, 12, 13	reprval 34644	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
16	10, 14, 15	3sstr4d 3986	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756  0cc0 11013  ℕcn 12132  ℕ₀cn0 12388  ℤcz 12475  ..^cfzo 13556  Σcsu 15595  reprcrepr 34642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-addcl 11073

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-map 8758  df-neg 11354  df-nn 12133  df-z 12476  df-seq 13911  df-sum 15596  df-repr 34643

This theorem is referenced by:  hashreprin  34654  reprinfz1  34656  tgoldbachgtde  34694