Theorem reprss 34591

Description: Representations with terms in a subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprss.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
reprss	⊢ (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

Proof of Theorem reprss

Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12254	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
3		reprval.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
4	2, 3	ssexd 5304	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
5		reprss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
6		mapss 8911	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ⊆ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ⊆ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
8	7	sselda 3963	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
9	8	adantrr 717	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
10	9	rabss3d 4061	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} ⊆ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
11	5, 3	sstrd 3974	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
12		reprval.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		reprval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
14	11, 12, 13	reprval 34584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐵 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
15	3, 12, 13	reprval 34584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
16	10, 14, 15	3sstr4d 4019	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {crab 3419  Vcvv 3463   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8848  0cc0 11137  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12509  ℤcz 12596  ..^cfzo 13676  Σcsu 15704  reprcrepr 34582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-addcl 11197

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-map 8850  df-neg 11477  df-nn 12249  df-z 12597  df-seq 14025  df-sum 15705  df-repr 34583

This theorem is referenced by:  hashreprin  34594  reprinfz1  34596  tgoldbachgtde  34634