Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprss 34610
Description: Representations with terms in a subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
reprss.1 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
reprss (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

Proof of Theorem reprss
Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 12269 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℕ ∈ V)
3 reprval.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
42, 3ssexd 5329 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ V)
5 reprss.1 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐴)
6 mapss 8927 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵m (0..^𝑆)) ⊆ (𝐴m (0..^𝑆)))
74, 5, 6syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵m (0..^𝑆)) ⊆ (𝐴m (0..^𝑆)))
87sselda 3994 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐵m (0..^𝑆))) → 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)))
98adantrr 717 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝐵m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀)) → 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)))
109rabss3d 4090 . 2 (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐵m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} ⊆ {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
115, 3sstrd 4005 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
12 reprval.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 reprval.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
1411, 12, 13reprval 34603 . 2 (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐵m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
153, 12, 13reprval 34603 . 2 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
1610, 14, 153sstr4d 4042 1 (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2105  {crab 3432  Vcvv 3477  wss 3962  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864  0cc0 11152  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  ..^cfzo 13690  Σcsu 15718  reprcrepr 34601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-addcl 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-map 8866  df-neg 11492  df-nn 12264  df-z 12611  df-seq 14039  df-sum 15719  df-repr 34602
This theorem is referenced by:  hashreprin  34613  reprinfz1  34615  tgoldbachgtde  34653
  Copyright terms: Public domain W3C validator