Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprss 31536
Description: Representations with terms in a subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
reprss.1 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
reprss (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

Proof of Theorem reprss
Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 11440 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℕ ∈ V)
3 reprval.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
42, 3ssexd 5078 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ V)
5 reprss.1 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐴)
6 mapss 8245 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵𝑚 (0..^𝑆)) ⊆ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)))
74, 5, 6syl2anc 576 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑚 (0..^𝑆)) ⊆ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)))
87sselda 3852 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐵𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)))
98adantrr 704 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝐵𝑚 (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀)) → 𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)))
109rabss3d 30046 . 2 (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐵𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} ⊆ {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
115, 3sstrd 3862 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
12 reprval.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 reprval.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
1411, 12, 13reprval 31529 . 2 (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐵𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
153, 12, 13reprval 31529 . 2 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
1610, 14, 153sstr4d 3898 1 (𝜑 → (𝐵(repr‘𝑆)𝑀) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1507  wcel 2050  {crab 3086  Vcvv 3409  wss 3823  cfv 6182  (class class class)co 6970  𝑚 cmap 8200  0cc0 10329  cn 11433  0cn0 11701  cz 11787  ..^cfzo 12843  Σcsu 14897  reprcrepr 31527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-addcl 10389
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-map 8202  df-neg 10667  df-nn 11434  df-z 11788  df-seq 13179  df-sum 14898  df-repr 31528
This theorem is referenced by:  hashreprin  31539  reprinfz1  31541  tgoldbachgtde  31579
  Copyright terms: Public domain W3C validator