Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprinfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprinfz1 33465
Description: For the representation of 𝑁, it is sufficient to consider nonnegative integers up to 𝑁. Remark of [Nathanson] p. 123 (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprinfz1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
reprinfz1.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
reprinfz1.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
Assertion
Ref Expression
reprinfz1 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))

Proof of Theorem reprinfz1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 12200 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ∈ V
21a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℕ ∈ V)
3 reprinfz1.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
42, 3ssexd 5317 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ V)
5 ovex 7426 . . . . . . . . . . 11 (0..^𝑆) ∈ V
6 elmapg 8816 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) → (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
87biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
98adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
10 elmapfn 8842 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) → 𝑐 Fn (0..^𝑆))
1110ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → 𝑐 Fn (0..^𝑆))
12 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁)
13 reprinfz1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1413nn0red 12515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1514ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
163ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
17 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)))
187ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
1917, 18mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
20 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ (0..^𝑆))
2119, 20ffvelcdmd 7072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑏) ∈ 𝐴)
2216, 21sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑏) ∈ ℕ)
2322nnred 12209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑏) ∈ ℝ)
24 fzofi 13921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0..^𝑆) ∈ Fin
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
263ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
2719ffvelcdmda 7071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ 𝐴)
2826, 27sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ ℕ)
2928nnred 12209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ ℝ)
3025, 29fsumrecl 15662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ ℝ)
31 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁))
3213nn0zd 12566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3332ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
34 fznn 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑐𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑐𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁)))
3622biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐𝑏) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑐𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁)))
3735, 36bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁))
3837notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ¬ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁))
3931, 38mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁)
4015, 23ltnled 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑁 < (𝑐𝑏) ↔ ¬ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁))
4139, 40mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 < (𝑐𝑏))
4223recnd 11224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑏) ∈ ℂ)
43 fveq2 6878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑏 → (𝑐𝑎) = (𝑐𝑏))
4443sumsn 15674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏 ∈ (0..^𝑆) ∧ (𝑐𝑏) ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐𝑎) = (𝑐𝑏))
4520, 42, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐𝑎) = (𝑐𝑏))
4628nnnn0d 12514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ ℕ0)
47 nn0ge0 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑐𝑎) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑐𝑎))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 0 ≤ (𝑐𝑎))
49 snssi 4804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 ∈ (0..^𝑆) → {𝑏} ⊆ (0..^𝑆))
5049ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → {𝑏} ⊆ (0..^𝑆))
5125, 29, 48, 50fsumless 15724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐𝑎) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
5245, 51eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑏) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
5315, 23, 30, 41, 52ltletrd 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 < Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
5415, 53ltned 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ≠ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
5554necomd 2995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ≠ 𝑁)
5655r19.29an 3157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ≠ 𝑁)
5756neneqd 2944 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁)
5857adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁)
5912, 58pm2.65da 815 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → ¬ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁))
60 dfral2 3098 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁))
6159, 60sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → ∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁))
6243eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑐𝑎) ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)))
6362cbvralvw 3233 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ (1...𝑁) ↔ ∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁))
6461, 63sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ (1...𝑁))
6511, 64jca 512 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → (𝑐 Fn (0..^𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ (1...𝑁)))
66 ffnfv 7102 . . . . . . . . 9 (𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁) ↔ (𝑐 Fn (0..^𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ (1...𝑁)))
6765, 66sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁))
689, 67jca 512 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → (𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁)))
69 fin 6758 . . . . . . 7 (𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↔ (𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁)))
7068, 69sylibr 233 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)))
71 ovex 7426 . . . . . . . 8 (1...𝑁) ∈ V
7271inex2 5311 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ∈ V
7372, 5elmap 8848 . . . . . 6 (𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)))
7470, 73sylibr 233 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → 𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)))
7574anasss 467 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁)) → 𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)))
7675rabss3d 4075 . . 3 (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁} ⊆ {𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁})
77 reprinfz1.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
783, 32, 77reprval 33453 . . 3 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁})
79 inss1 4224 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ 𝐴
8079a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ 𝐴)
8180, 3sstrd 3988 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ ℕ)
8281, 32, 77reprval 33453 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁) = {𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁})
8376, 78, 823sstr4d 4025 . 2 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) ⊆ ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))
843, 32, 77, 80reprss 33460 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
8583, 84eqssd 3995 1 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473  cin 3943  wss 3944  {csn 4622   class class class wbr 5141   Fn wfn 6527  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  m cmap 8803  Fincfn 8922  cc 11090  cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   < clt 11230  cle 11231  cn 12194  0cn0 12454  cz 12540  ...cfz 13466  ..^cfzo 13609  Σcsu 15614  reprcrepr 33451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-ico 13312  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-sum 15615  df-repr 33452
This theorem is referenced by:  reprfi2  33466  reprfz1  33467  hashrepr  33468
  Copyright terms: Public domain W3C validator