Theorem reprinfz1 35018

Description: For the representation of 𝑁, it is sufficient to consider nonnegative integers up to 𝑁. Remark of [Nathanson] p. 123 (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprinfz1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
reprinfz1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprinfz1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
reprinfz1	⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))

Proof of Theorem reprinfz1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
3		reprinfz1.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
4	2, 3	ssexd 5294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
5		ovex 7445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^𝑆) ∈ V
6		elmapg 8834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
7	4, 5, 6	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
8	7	biimpa 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
9	8	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
10		elmapfn 8860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) → 𝑐 Fn (0..^𝑆))
11	10	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐 Fn (0..^𝑆))
12		simplr 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁)
13		reprinfz1.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 12572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
15	14	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
16	3	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
17		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
18	7	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
19	17, 18	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
20		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ (0..^𝑆))
21	19, 20	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ∈ 𝐴)
22	16, 21	sseldd 3937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ∈ ℕ)
23	22	nnred 12254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ∈ ℝ)
24		fzofi 14017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0..^𝑆) ∈ Fin
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
26	3	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
27	19	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ 𝐴)
28	26, 27	sseldd 3937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℕ)
29	28	nnred 12254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
30	25, 29	fsumrecl 15792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
31		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
32	13	nn0zd 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
33	32	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		fznn 13627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑐‘𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁)))
35	33, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑐‘𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁)))
36	22	biantrurd 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑐‘𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁)))
37	35, 36	bitr4d 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁))
38	37	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ¬ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁))
39	31, 38	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁)
40	15, 23	ltnled 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑁 < (𝑐‘𝑏) ↔ ¬ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁))
41	39, 40	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 < (𝑐‘𝑏))
42	23	recnd 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ∈ ℂ)
43		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑐‘𝑎) = (𝑐‘𝑏))
44	43	sumsn 15804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^𝑆) ∧ (𝑐‘𝑏) ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐‘𝑎) = (𝑐‘𝑏))
45	20, 42, 44	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐‘𝑎) = (𝑐‘𝑏))
46	28	nnnn0d 12571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℕ0)
47		nn0ge0 12535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑐‘𝑎) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑐‘𝑎))
48	46, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 0 ≤ (𝑐‘𝑎))
49		snssi 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ∈ (0..^𝑆) → {𝑏} ⊆ (0..^𝑆))
50	49	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → {𝑏} ⊆ (0..^𝑆))
51	25, 29, 48, 50	fsumless 15855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐‘𝑎) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
52	45, 51	eqbrtrrd 5134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
53	15, 23, 30, 41, 52	ltletrd 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 < Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
54	15, 53	ltned 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ≠ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
55	54	necomd 3012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≠ 𝑁)
56	55	r19.29an 3168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≠ 𝑁)
57	56	neneqd 2962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁)
58	57	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁)
59	12, 58	pm2.65da 828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → ¬ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
60		dfral2 3115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
61	59, 60	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → ∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
62	43	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)))
63	62	cbvralvw 3242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁) ↔ ∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
64	61, 63	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁))
65	11, 64	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → (𝑐 Fn (0..^𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁)))
66		ffnfv 7114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁) ↔ (𝑐 Fn (0..^𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁)))
67	65, 66	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁))
68	9, 67	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → (𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴 ∧ 𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁)))
69		fin 6758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↔ (𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴 ∧ 𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁)))
70	68, 69	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)))
71		ovex 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
72	71	inex2 5286	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ∈ V
73	72, 5	elmap 8867	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)))
74	70, 73	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)))
75	74	anasss 471	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁)) → 𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)))
76	75	rabss3d 4034	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁} ⊆ {𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁})
77		reprinfz1.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
78	3, 32, 77	reprval 35006	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁})
79		inss1 4188	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ 𝐴
80	79	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ 𝐴)
81	80, 3	sstrd 3946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ ℕ)
82	81, 32, 77	reprval 35006	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁) = {𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁})
83	76, 78, 82	3sstr4d 3991	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) ⊆ ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))
84	3, 32, 77, 80	reprss 35013	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
85	83, 84	eqssd 3953	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3415  Vcvv 3454   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  {csn 4588   class class class wbr 5108   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11249   ≤ cle 11250  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  ...cfz 13541  ..^cfzo 13689  Σcsu 15744  reprcrepr 35004

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-ico 13384  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-sum 15745  df-repr 35005

This theorem is used by:  reprfi2  35019  reprfz1  35020  hashrepr  35021