Theorem reprinfz1 34606

Description: For the representation of 𝑁, it is sufficient to consider nonnegative integers up to 𝑁. Remark of [Nathanson] p. 123 (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprinfz1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
reprinfz1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprinfz1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
reprinfz1	⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))

Proof of Theorem reprinfz1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
3		reprinfz1.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
4	2, 3	ssexd 5263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
5		ovex 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^𝑆) ∈ V
6		elmapg 8766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
7	4, 5, 6	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
8	7	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
10		elmapfn 8792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) → 𝑐 Fn (0..^𝑆))
11	10	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐 Fn (0..^𝑆))
12		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁)
13		reprinfz1.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 12446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
15	14	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
16	3	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
17		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
18	7	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
19	17, 18	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
20		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ (0..^𝑆))
21	19, 20	ffvelcdmd 7019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ∈ 𝐴)
22	16, 21	sseldd 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ∈ ℕ)
23	22	nnred 12143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ∈ ℝ)
24		fzofi 13881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0..^𝑆) ∈ Fin
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
26	3	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
27	19	ffvelcdmda 7018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ 𝐴)
28	26, 27	sseldd 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℕ)
29	28	nnred 12143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
30	25, 29	fsumrecl 15641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
32	13	nn0zd 12497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
33	32	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		fznn 13495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑐‘𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁)))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑐‘𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁)))
36	22	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑐‘𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁)))
37	35, 36	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁))
38	37	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ¬ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁))
39	31, 38	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁)
40	15, 23	ltnled 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑁 < (𝑐‘𝑏) ↔ ¬ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁))
41	39, 40	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 < (𝑐‘𝑏))
42	23	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ∈ ℂ)
43		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑐‘𝑎) = (𝑐‘𝑏))
44	43	sumsn 15653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^𝑆) ∧ (𝑐‘𝑏) ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐‘𝑎) = (𝑐‘𝑏))
45	20, 42, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐‘𝑎) = (𝑐‘𝑏))
46	28	nnnn0d 12445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℕ0)
47		nn0ge0 12409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑐‘𝑎) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑐‘𝑎))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 0 ≤ (𝑐‘𝑎))
49		snssi 4759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ∈ (0..^𝑆) → {𝑏} ⊆ (0..^𝑆))
50	49	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → {𝑏} ⊆ (0..^𝑆))
51	25, 29, 48, 50	fsumless 15703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐‘𝑎) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
52	45, 51	eqbrtrrd 5116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
53	15, 23, 30, 41, 52	ltletrd 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 < Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
54	15, 53	ltned 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ≠ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
55	54	necomd 2980	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≠ 𝑁)
56	55	r19.29an 3133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≠ 𝑁)
57	56	neneqd 2930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁)
58	57	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁)
59	12, 58	pm2.65da 816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → ¬ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
60		dfral2 3080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
61	59, 60	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → ∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
62	43	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)))
63	62	cbvralvw 3207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁) ↔ ∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
64	61, 63	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁))
65	11, 64	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → (𝑐 Fn (0..^𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁)))
66		ffnfv 7053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁) ↔ (𝑐 Fn (0..^𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁)))
67	65, 66	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁))
68	9, 67	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → (𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴 ∧ 𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁)))
69		fin 6704	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↔ (𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴 ∧ 𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁)))
70	68, 69	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)))
71		ovex 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
72	71	inex2 5257	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ∈ V
73	72, 5	elmap 8798	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)))
74	70, 73	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)))
75	74	anasss 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁)) → 𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)))
76	75	rabss3d 4032	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁} ⊆ {𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁})
77		reprinfz1.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
78	3, 32, 77	reprval 34594	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁})
79		inss1 4188	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ 𝐴
80	79	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ 𝐴)
81	80, 3	sstrd 3946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ ℕ)
82	81, 32, 77	reprval 34594	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁) = {𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁})
83	76, 78, 82	3sstr4d 3991	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) ⊆ ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))
84	3, 32, 77, 80	reprss 34601	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
85	83, 84	eqssd 3953	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3394  Vcvv 3436   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  {csn 4577   class class class wbr 5092   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753  Fincfn 8872  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   < clt 11149   ≤ cle 11150  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557  Σcsu 15593  reprcrepr 34592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-ico 13254  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-repr 34593

This theorem is referenced by:  reprfi2  34607  reprfz1  34608  hashrepr  34609