Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprinfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprinfz1 34637
Description: For the representation of 𝑁, it is sufficient to consider nonnegative integers up to 𝑁. Remark of [Nathanson] p. 123 (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprinfz1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
reprinfz1.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
reprinfz1.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
Assertion
Ref Expression
reprinfz1 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))

Proof of Theorem reprinfz1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 12272 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ∈ V
21a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℕ ∈ V)
3 reprinfz1.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
42, 3ssexd 5324 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ V)
5 ovex 7464 . . . . . . . . . . 11 (0..^𝑆) ∈ V
6 elmapg 8879 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) → (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
87biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
98adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
10 elmapfn 8905 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) → 𝑐 Fn (0..^𝑆))
1110ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → 𝑐 Fn (0..^𝑆))
12 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁)
13 reprinfz1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1413nn0red 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1514ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
163ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
17 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)))
187ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
1917, 18mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
20 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ (0..^𝑆))
2119, 20ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑏) ∈ 𝐴)
2216, 21sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑏) ∈ ℕ)
2322nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑏) ∈ ℝ)
24 fzofi 14015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0..^𝑆) ∈ Fin
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
263ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
2719ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ 𝐴)
2826, 27sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ ℕ)
2928nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ ℝ)
3025, 29fsumrecl 15770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ ℝ)
31 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁))
3213nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3332ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
34 fznn 13632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑐𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑐𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁)))
3622biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐𝑏) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑐𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁)))
3735, 36bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁))
3837notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ¬ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁))
3931, 38mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁)
4015, 23ltnled 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑁 < (𝑐𝑏) ↔ ¬ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁))
4139, 40mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 < (𝑐𝑏))
4223recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑏) ∈ ℂ)
43 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑏 → (𝑐𝑎) = (𝑐𝑏))
4443sumsn 15782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏 ∈ (0..^𝑆) ∧ (𝑐𝑏) ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐𝑎) = (𝑐𝑏))
4520, 42, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐𝑎) = (𝑐𝑏))
4628nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ ℕ0)
47 nn0ge0 12551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑐𝑎) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑐𝑎))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 0 ≤ (𝑐𝑎))
49 snssi 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 ∈ (0..^𝑆) → {𝑏} ⊆ (0..^𝑆))
5049ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → {𝑏} ⊆ (0..^𝑆))
5125, 29, 48, 50fsumless 15832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐𝑎) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
5245, 51eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑏) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
5315, 23, 30, 41, 52ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 < Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
5415, 53ltned 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ≠ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
5554necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ≠ 𝑁)
5655r19.29an 3158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ≠ 𝑁)
5756neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁)
5857adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁)
5912, 58pm2.65da 817 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → ¬ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁))
60 dfral2 3099 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁))
6159, 60sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → ∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁))
6243eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑐𝑎) ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)))
6362cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ (1...𝑁) ↔ ∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁))
6461, 63sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ (1...𝑁))
6511, 64jca 511 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → (𝑐 Fn (0..^𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ (1...𝑁)))
66 ffnfv 7139 . . . . . . . . 9 (𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁) ↔ (𝑐 Fn (0..^𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ (1...𝑁)))
6765, 66sylibr 234 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁))
689, 67jca 511 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → (𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁)))
69 fin 6788 . . . . . . 7 (𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↔ (𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁)))
7068, 69sylibr 234 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)))
71 ovex 7464 . . . . . . . 8 (1...𝑁) ∈ V
7271inex2 5318 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ∈ V
7372, 5elmap 8911 . . . . . 6 (𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)))
7470, 73sylibr 234 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → 𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)))
7574anasss 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁)) → 𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)))
7675rabss3d 4081 . . 3 (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁} ⊆ {𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁})
77 reprinfz1.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
783, 32, 77reprval 34625 . . 3 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁})
79 inss1 4237 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ 𝐴
8079a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ 𝐴)
8180, 3sstrd 3994 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ ℕ)
8281, 32, 77reprval 34625 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁) = {𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁})
8376, 78, 823sstr4d 4039 . 2 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) ⊆ ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))
843, 32, 77, 80reprss 34632 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
8583, 84eqssd 4001 1 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295  cle 11296  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  Σcsu 15722  reprcrepr 34623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-repr 34624
This theorem is referenced by:  reprfi2  34638  reprfz1  34639  hashrepr  34640
  Copyright terms: Public domain W3C validator