Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprinfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprinfz1 34479
Description: For the representation of 𝑁, it is sufficient to consider nonnegative integers up to 𝑁. Remark of [Nathanson] p. 123 (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprinfz1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
reprinfz1.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
reprinfz1.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
Assertion
Ref Expression
reprinfz1 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))

Proof of Theorem reprinfz1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 12262 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ∈ V
21a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℕ ∈ V)
3 reprinfz1.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
42, 3ssexd 5320 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ V)
5 ovex 7447 . . . . . . . . . . 11 (0..^𝑆) ∈ V
6 elmapg 8858 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) → (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
74, 5, 6sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
87biimpa 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
98adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
10 elmapfn 8884 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) → 𝑐 Fn (0..^𝑆))
1110ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → 𝑐 Fn (0..^𝑆))
12 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁)
13 reprinfz1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1413nn0red 12577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1514ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
163ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
17 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)))
187ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
1917, 18mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
20 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ (0..^𝑆))
2119, 20ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑏) ∈ 𝐴)
2216, 21sseldd 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑏) ∈ ℕ)
2322nnred 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑏) ∈ ℝ)
24 fzofi 13986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0..^𝑆) ∈ Fin
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
263ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
2719ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ 𝐴)
2826, 27sseldd 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ ℕ)
2928nnred 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ ℝ)
3025, 29fsumrecl 15731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ ℝ)
31 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁))
3213nn0zd 12628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3332ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
34 fznn 13615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑐𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑐𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁)))
3622biantrurd 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐𝑏) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑐𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁)))
3735, 36bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁))
3837notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ¬ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁))
3931, 38mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁)
4015, 23ltnled 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑁 < (𝑐𝑏) ↔ ¬ (𝑐𝑏) ≤ 𝑁))
4139, 40mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 < (𝑐𝑏))
4223recnd 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑏) ∈ ℂ)
43 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑏 → (𝑐𝑎) = (𝑐𝑏))
4443sumsn 15743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏 ∈ (0..^𝑆) ∧ (𝑐𝑏) ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐𝑎) = (𝑐𝑏))
4520, 42, 44syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐𝑎) = (𝑐𝑏))
4628nnnn0d 12576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ ℕ0)
47 nn0ge0 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑐𝑎) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑐𝑎))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 0 ≤ (𝑐𝑎))
49 snssi 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 ∈ (0..^𝑆) → {𝑏} ⊆ (0..^𝑆))
5049ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → {𝑏} ⊆ (0..^𝑆))
5125, 29, 48, 50fsumless 15793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐𝑎) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
5245, 51eqbrtrrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑏) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
5315, 23, 30, 41, 52ltletrd 11413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 < Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
5415, 53ltned 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ≠ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
5554necomd 2986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ≠ 𝑁)
5655r19.29an 3148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ≠ 𝑁)
5756neneqd 2935 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁)
5857adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁)
5912, 58pm2.65da 815 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → ¬ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁))
60 dfral2 3089 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁))
6159, 60sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → ∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁))
6243eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑐𝑎) ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁)))
6362cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ (1...𝑁) ↔ ∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑏) ∈ (1...𝑁))
6461, 63sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ (1...𝑁))
6511, 64jca 510 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → (𝑐 Fn (0..^𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ (1...𝑁)))
66 ffnfv 7123 . . . . . . . . 9 (𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁) ↔ (𝑐 Fn (0..^𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ (1...𝑁)))
6765, 66sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁))
689, 67jca 510 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → (𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁)))
69 fin 6772 . . . . . . 7 (𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↔ (𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁)))
7068, 69sylibr 233 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)))
71 ovex 7447 . . . . . . . 8 (1...𝑁) ∈ V
7271inex2 5314 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ∈ V
7372, 5elmap 8890 . . . . . 6 (𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)))
7470, 73sylibr 233 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁) → 𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)))
7574anasss 465 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁)) → 𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)))
7675rabss3d 4076 . . 3 (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁} ⊆ {𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁})
77 reprinfz1.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
783, 32, 77reprval 34467 . . 3 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁})
79 inss1 4228 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ 𝐴
8079a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ 𝐴)
8180, 3sstrd 3990 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ ℕ)
8281, 32, 77reprval 34467 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁) = {𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑁})
8376, 78, 823sstr4d 4027 . 2 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) ⊆ ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))
843, 32, 77, 80reprss 34474 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
8583, 84eqssd 3997 1 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  {crab 3420  Vcvv 3463  cin 3946  wss 3947  {csn 4624   class class class wbr 5144   Fn wfn 6539  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7414  m cmap 8845  Fincfn 8964  cc 11145  cr 11146  0cc0 11147  1c1 11148   < clt 11287  cle 11288  cn 12256  0cn0 12516  cz 12602  ...cfz 13530  ..^cfzo 13673  Σcsu 15683  reprcrepr 34465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-inf2 9675  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9476  df-oi 9544  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-rp 13021  df-ico 13376  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-seq 14014  df-exp 14074  df-hash 14341  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-clim 15483  df-sum 15684  df-repr 34466
This theorem is referenced by:  reprfi2  34480  reprfz1  34481  hashrepr  34482
  Copyright terms: Public domain W3C validator