Theorem reprinfz1 34758

Description: For the representation of 𝑁, it is sufficient to consider nonnegative integers up to 𝑁. Remark of [Nathanson] p. 123 (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprinfz1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
reprinfz1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprinfz1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
reprinfz1	⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))

Proof of Theorem reprinfz1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
3		reprinfz1.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
4	2, 3	ssexd 5268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
5		ovex 7391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^𝑆) ∈ V
6		elmapg 8778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
7	4, 5, 6	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
8	7	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
10		elmapfn 8804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) → 𝑐 Fn (0..^𝑆))
11	10	ad2antlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐 Fn (0..^𝑆))
12		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁)
13		reprinfz1.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 12465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
15	14	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
16	3	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
17		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
18	7	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
19	17, 18	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
20		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ (0..^𝑆))
21	19, 20	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ∈ 𝐴)
22	16, 21	sseldd 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ∈ ℕ)
23	22	nnred 12162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ∈ ℝ)
24		fzofi 13899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0..^𝑆) ∈ Fin
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
26	3	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
27	19	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ 𝐴)
28	26, 27	sseldd 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℕ)
29	28	nnred 12162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
30	25, 29	fsumrecl 15659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
32	13	nn0zd 12515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
33	32	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		fznn 13510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑐‘𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁)))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑐‘𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁)))
36	22	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑐‘𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁)))
37	35, 36	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁))
38	37	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ¬ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁))
39	31, 38	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁)
40	15, 23	ltnled 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑁 < (𝑐‘𝑏) ↔ ¬ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁))
41	39, 40	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 < (𝑐‘𝑏))
42	23	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ∈ ℂ)
43		fveq2 6833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑐‘𝑎) = (𝑐‘𝑏))
44	43	sumsn 15671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^𝑆) ∧ (𝑐‘𝑏) ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐‘𝑎) = (𝑐‘𝑏))
45	20, 42, 44	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐‘𝑎) = (𝑐‘𝑏))
46	28	nnnn0d 12464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℕ0)
47		nn0ge0 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑐‘𝑎) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑐‘𝑎))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 0 ≤ (𝑐‘𝑎))
49		snssi 4763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ∈ (0..^𝑆) → {𝑏} ⊆ (0..^𝑆))
50	49	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → {𝑏} ⊆ (0..^𝑆))
51	25, 29, 48, 50	fsumless 15721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐‘𝑎) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
52	45, 51	eqbrtrrd 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
53	15, 23, 30, 41, 52	ltletrd 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 < Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
54	15, 53	ltned 11271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ≠ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
55	54	necomd 2986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≠ 𝑁)
56	55	r19.29an 3139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≠ 𝑁)
57	56	neneqd 2936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁)
58	57	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁)
59	12, 58	pm2.65da 817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → ¬ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
60		dfral2 3086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
61	59, 60	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → ∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
62	43	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)))
63	62	cbvralvw 3213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁) ↔ ∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
64	61, 63	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁))
65	11, 64	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → (𝑐 Fn (0..^𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁)))
66		ffnfv 7064	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁) ↔ (𝑐 Fn (0..^𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁)))
67	65, 66	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁))
68	9, 67	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → (𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴 ∧ 𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁)))
69		fin 6713	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↔ (𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴 ∧ 𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁)))
70	68, 69	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)))
71		ovex 7391	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
72	71	inex2 5262	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ∈ V
73	72, 5	elmap 8811	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)))
74	70, 73	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)))
75	74	anasss 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁)) → 𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)))
76	75	rabss3d 4032	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁} ⊆ {𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁})
77		reprinfz1.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
78	3, 32, 77	reprval 34746	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁})
79		inss1 4188	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ 𝐴
80	79	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ 𝐴)
81	80, 3	sstrd 3943	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ ℕ)
82	81, 32, 77	reprval 34746	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁) = {𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁})
83	76, 78, 82	3sstr4d 3988	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) ⊆ ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))
84	3, 32, 77, 80	reprss 34753	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
85	83, 84	eqssd 3950	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  {crab 3398  Vcvv 3439   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900  {csn 4579   class class class wbr 5097   Fn wfn 6486  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8765  Fincfn 8885  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℕcn 12147  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  ...cfz 13425  ..^cfzo 13572  Σcsu 15611  reprcrepr 34744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-ico 13269  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-repr 34745

This theorem is referenced by:  reprfi2  34759  reprfz1  34760  hashrepr  34761