Theorem reprinfz1 32502

Description: For the representation of 𝑁, it is sufficient to consider nonnegative integers up to 𝑁. Remark of [Nathanson] p. 123 (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprinfz1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
reprinfz1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprinfz1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
reprinfz1	⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))

Proof of Theorem reprinfz1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 11909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
3		reprinfz1.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
4	2, 3	ssexd 5243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
5		ovex 7288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^𝑆) ∈ V
6		elmapg 8586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
7	4, 5, 6	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
8	7	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
10		elmapfn 8611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) → 𝑐 Fn (0..^𝑆))
11	10	ad2antlr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐 Fn (0..^𝑆))
12		simplr 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁)
13		reprinfz1.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
15	14	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
16	3	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
17		simpllr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
18	7	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
19	17, 18	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
20		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ (0..^𝑆))
21	19, 20	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ∈ 𝐴)
22	16, 21	sseldd 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ∈ ℕ)
23	22	nnred 11918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ∈ ℝ)
24		fzofi 13622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0..^𝑆) ∈ Fin
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
26	3	ad4antr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
27	19	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ 𝐴)
28	26, 27	sseldd 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℕ)
29	28	nnred 11918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
30	25, 29	fsumrecl 15374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
32	13	nn0zd 12353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
33	32	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		fznn 13253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑐‘𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁)))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑐‘𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁)))
36	22	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑐‘𝑏) ∈ ℕ ∧ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁)))
37	35, 36	bitr4d 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁))
38	37	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ¬ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁))
39	31, 38	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁)
40	15, 23	ltnled 11052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑁 < (𝑐‘𝑏) ↔ ¬ (𝑐‘𝑏) ≤ 𝑁))
41	39, 40	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 < (𝑐‘𝑏))
42	23	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ∈ ℂ)
43		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑐‘𝑎) = (𝑐‘𝑏))
44	43	sumsn 15386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^𝑆) ∧ (𝑐‘𝑏) ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐‘𝑎) = (𝑐‘𝑏))
45	20, 42, 44	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐‘𝑎) = (𝑐‘𝑏))
46	28	nnnn0d 12223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℕ0)
47		nn0ge0 12188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑐‘𝑎) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑐‘𝑎))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 0 ≤ (𝑐‘𝑎))
49		snssi 4738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ∈ (0..^𝑆) → {𝑏} ⊆ (0..^𝑆))
50	49	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → {𝑏} ⊆ (0..^𝑆))
51	25, 29, 48, 50	fsumless 15436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ {𝑏} (𝑐‘𝑎) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
52	45, 51	eqbrtrrd 5094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → (𝑐‘𝑏) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
53	15, 23, 30, 41, 52	ltletrd 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 < Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
54	15, 53	ltned 11041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ≠ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
55	54	necomd 2998	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≠ 𝑁)
56	55	r19.29an 3216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≠ 𝑁)
57	56	neneqd 2947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁)
58	57	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) ∧ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁)
59	12, 58	pm2.65da 813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → ¬ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
60		dfral2 3164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (0..^𝑆) ¬ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
61	59, 60	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → ∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
62	43	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁)))
63	62	cbvralvw 3372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁) ↔ ∀𝑏 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑏) ∈ (1...𝑁))
64	61, 63	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁))
65	11, 64	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → (𝑐 Fn (0..^𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁)))
66		ffnfv 6974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁) ↔ (𝑐 Fn (0..^𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁)))
67	65, 66	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁))
68	9, 67	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → (𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴 ∧ 𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁)))
69		fin 6638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↔ (𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴 ∧ 𝑐:(0..^𝑆)⟶(1...𝑁)))
70	68, 69	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)))
71		ovex 7288	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
72	71	inex2 5237	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ∈ V
73	72, 5	elmap 8617	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶(𝐴 ∩ (1...𝑁)))
74	70, 73	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁) → 𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)))
75	74	anasss 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁)) → 𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)))
76	75	rabss3d 30762	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁} ⊆ {𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁})
77		reprinfz1.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
78	3, 32, 77	reprval 32490	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁})
79		inss1 4159	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ 𝐴
80	79	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ 𝐴)
81	80, 3	sstrd 3927	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ⊆ ℕ)
82	81, 32, 77	reprval 32490	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁) = {𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑁})
83	76, 78, 82	3sstr4d 3964	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) ⊆ ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))
84	3, 32, 77, 80	reprss 32497	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁) ⊆ (𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
85	83, 84	eqssd 3934	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑁) = ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4558   class class class wbr 5070   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  Σcsu 15325  reprcrepr 32488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ico 13014  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-repr 32489

This theorem is referenced by:  reprfi2  32503  reprfz1  32504  hashrepr  32505