Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprinfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprinfz1 33703
Description: For the representation of 𝑁, it is sufficient to consider nonnegative integers up to 𝑁. Remark of [Nathanson] p. 123 (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprinfz1.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
reprinfz1.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
reprinfz1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
Assertion
Ref Expression
reprinfz1 (πœ‘ β†’ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑁) = ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(reprβ€˜π‘†)𝑁))

Proof of Theorem reprinfz1
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 12220 . . . . . . . . . . . . 13 β„• ∈ V
21a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
3 reprinfz1.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
42, 3ssexd 5324 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
5 ovex 7444 . . . . . . . . . . 11 (0..^𝑆) ∈ V
6 elmapg 8835 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) β†’ (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟢𝐴))
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟢𝐴))
87biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) β†’ 𝑐:(0..^𝑆)⟢𝐴)
98adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁) β†’ 𝑐:(0..^𝑆)⟢𝐴)
10 elmapfn 8861 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) β†’ 𝑐 Fn (0..^𝑆))
1110ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁) β†’ 𝑐 Fn (0..^𝑆))
12 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (0..^𝑆) Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁)
13 reprinfz1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1413nn0red 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1514ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
163ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
17 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
187ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟢𝐴))
1917, 18mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑐:(0..^𝑆)⟢𝐴)
20 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑏 ∈ (0..^𝑆))
2119, 20ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘) ∈ 𝐴)
2216, 21sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘) ∈ β„•)
2322nnred 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘) ∈ ℝ)
24 fzofi 13941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0..^𝑆) ∈ Fin
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ (0..^𝑆) ∈ Fin)
263ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
2719ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ 𝐴)
2826, 27sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ β„•)
2928nnred 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
3025, 29fsumrecl 15682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
31 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁))
3213nn0zd 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3332ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
34 fznn 13571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁) ↔ ((π‘β€˜π‘) ∈ β„• ∧ (π‘β€˜π‘) ≀ 𝑁)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁) ↔ ((π‘β€˜π‘) ∈ β„• ∧ (π‘β€˜π‘) ≀ 𝑁)))
3622biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘β€˜π‘) ≀ 𝑁 ↔ ((π‘β€˜π‘) ∈ β„• ∧ (π‘β€˜π‘) ≀ 𝑁)))
3735, 36bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁) ↔ (π‘β€˜π‘) ≀ 𝑁))
3837notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ (Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁) ↔ Β¬ (π‘β€˜π‘) ≀ 𝑁))
3931, 38mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ Β¬ (π‘β€˜π‘) ≀ 𝑁)
4015, 23ltnled 11363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑁 < (π‘β€˜π‘) ↔ Β¬ (π‘β€˜π‘) ≀ 𝑁))
4139, 40mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑁 < (π‘β€˜π‘))
4223recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘) ∈ β„‚)
43 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘β€˜π‘Ž) = (π‘β€˜π‘))
4443sumsn 15694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏 ∈ (0..^𝑆) ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {𝑏} (π‘β€˜π‘Ž) = (π‘β€˜π‘))
4520, 42, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {𝑏} (π‘β€˜π‘Ž) = (π‘β€˜π‘))
4628nnnn0d 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ β„•0)
47 nn0ge0 12499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘β€˜π‘Ž) ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘Ž))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘Ž))
49 snssi 4811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 ∈ (0..^𝑆) β†’ {𝑏} βŠ† (0..^𝑆))
5049ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ {𝑏} βŠ† (0..^𝑆))
5125, 29, 48, 50fsumless 15744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {𝑏} (π‘β€˜π‘Ž) ≀ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž))
5245, 51eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘) ≀ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž))
5315, 23, 30, 41, 52ltletrd 11376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑁 < Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž))
5415, 53ltned 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑁 β‰  Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž))
5554necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑆)) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) β‰  𝑁)
5655r19.29an 3158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (0..^𝑆) Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) β‰  𝑁)
5756neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (0..^𝑆) Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ Β¬ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁)
5857adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (0..^𝑆) Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)) β†’ Β¬ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁)
5912, 58pm2.65da 815 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁) β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ (0..^𝑆) Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁))
60 dfral2 3099 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘ ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁) ↔ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ (0..^𝑆) Β¬ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁))
6159, 60sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁) β†’ βˆ€π‘ ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁))
6243eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘β€˜π‘Ž) ∈ (1...𝑁) ↔ (π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁)))
6362cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) ∈ (1...𝑁) ↔ βˆ€π‘ ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘) ∈ (1...𝑁))
6461, 63sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) ∈ (1...𝑁))
6511, 64jca 512 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁) β†’ (𝑐 Fn (0..^𝑆) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) ∈ (1...𝑁)))
66 ffnfv 7120 . . . . . . . . 9 (𝑐:(0..^𝑆)⟢(1...𝑁) ↔ (𝑐 Fn (0..^𝑆) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) ∈ (1...𝑁)))
6765, 66sylibr 233 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁) β†’ 𝑐:(0..^𝑆)⟢(1...𝑁))
689, 67jca 512 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁) β†’ (𝑐:(0..^𝑆)⟢𝐴 ∧ 𝑐:(0..^𝑆)⟢(1...𝑁)))
69 fin 6771 . . . . . . 7 (𝑐:(0..^𝑆)⟢(𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↔ (𝑐:(0..^𝑆)⟢𝐴 ∧ 𝑐:(0..^𝑆)⟢(1...𝑁)))
7068, 69sylibr 233 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁) β†’ 𝑐:(0..^𝑆)⟢(𝐴 ∩ (1...𝑁)))
71 ovex 7444 . . . . . . . 8 (1...𝑁) ∈ V
7271inex2 5318 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (1...𝑁)) ∈ V
7372, 5elmap 8867 . . . . . 6 (𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟢(𝐴 ∩ (1...𝑁)))
7470, 73sylibr 233 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁) β†’ 𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)))
7574anasss 467 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁)) β†’ 𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)))
7675rabss3d 4079 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁} βŠ† {𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁})
77 reprinfz1.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
783, 32, 77reprval 33691 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑁) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁})
79 inss1 4228 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (1...𝑁)) βŠ† 𝐴
8079a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (1...𝑁)) βŠ† 𝐴)
8180, 3sstrd 3992 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (1...𝑁)) βŠ† β„•)
8281, 32, 77reprval 33691 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(reprβ€˜π‘†)𝑁) = {𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ (1...𝑁)) ↑m (0..^𝑆)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑁})
8376, 78, 823sstr4d 4029 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑁) βŠ† ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(reprβ€˜π‘†)𝑁))
843, 32, 77, 80reprss 33698 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(reprβ€˜π‘†)𝑁) βŠ† (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑁))
8583, 84eqssd 3999 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑁) = ((𝐴 ∩ (1...𝑁))(reprβ€˜π‘†)𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11250   ≀ cle 11251  β„•cn 12214  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  ...cfz 13486  ..^cfzo 13629  Ξ£csu 15634  reprcrepr 33689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-repr 33690
This theorem is referenced by:  reprfi2  33704  reprfz1  33705  hashrepr  33706
  Copyright terms: Public domain W3C validator