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Theorem tgoldbachgtde 33313
Description: Lemma for tgoldbachgtd 33315. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
tgoldbachgtda.o 𝑂 = {𝑧 ∈ β„€ ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
tgoldbachgtda.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑂)
tgoldbachgtda.0 (πœ‘ β†’ (10↑27) ≀ 𝑁)
tgoldbachgtda.h (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
tgoldbachgtda.k (πœ‘ β†’ 𝐾:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
tgoldbachgtda.1 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘š) ≀ (1.079955))
tgoldbachgtda.2 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘š) ≀ (1.414))
tgoldbachgtda.3 (πœ‘ β†’ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
Assertion
Ref Expression
tgoldbachgtde (πœ‘ β†’ 0 < Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
Distinct variable groups:   π‘š,𝐻,𝑛,π‘₯   π‘š,𝐾,𝑛,π‘₯   π‘š,𝑁,𝑛,π‘₯,𝑧   π‘š,𝑂,𝑛,𝑧   πœ‘,π‘š,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑂(π‘₯)

Proof of Theorem tgoldbachgtde
StepHypRef Expression
1 tgoldbachgtda.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {𝑧 ∈ β„€ ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
2 tgoldbachgtda.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑂)
3 tgoldbachgtda.0 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (10↑27) ≀ 𝑁)
41, 2, 3tgoldbachgnn 33312 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
54nnnn0d 12480 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6 3nn0 12438 . . . . . . . 8 3 ∈ β„•0
76a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 3 ∈ β„•0)
8 ssidd 3972 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„• βŠ† β„•)
95, 7, 8reprfi2 33276 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∈ Fin)
10 diffi 9130 . . . . . 6 ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∈ Fin β†’ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)) ∈ Fin)
119, 10syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)) ∈ Fin)
12 difssd 4097 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)) βŠ† (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
1312sselda 3949 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))) β†’ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
14 vmaf 26484 . . . . . . . . . 10 Ξ›:β„•βŸΆβ„
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„)
16 ssidd 3972 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ β„• βŠ† β„•)
175nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1817adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
196a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 3 ∈ β„•0)
20 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
2116, 18, 19, 20reprf 33265 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝑛:(0..^3)βŸΆβ„•)
22 c0ex 11156 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
2322tpid1 4734 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ {0, 1, 2}
24 fzo0to3tp 13665 . . . . . . . . . . . 12 (0..^3) = {0, 1, 2}
2523, 24eleqtrri 2837 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0..^3)
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 0 ∈ (0..^3))
2721, 26ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (π‘›β€˜0) ∈ β„•)
2815, 27ffvelcdmd 7041 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ ℝ)
29 tgoldbachgtda.h . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
30 rge0ssre 13380 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
31 fss 6690 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐻:β„•βŸΆβ„)
3229, 30, 31sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•βŸΆβ„)
3332adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝐻:β„•βŸΆβ„)
3433, 27ffvelcdmd 7041 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ ℝ)
3528, 34remulcld 11192 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) ∈ ℝ)
36 1ex 11158 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
3736tpid2 4736 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {0, 1, 2}
3837, 24eleqtrri 2837 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (0..^3)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 1 ∈ (0..^3))
4021, 39ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (π‘›β€˜1) ∈ β„•)
4115, 40ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) ∈ ℝ)
42 tgoldbachgtda.k . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐾:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
43 fss 6690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐾:β„•βŸΆβ„)
4442, 30, 43sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾:β„•βŸΆβ„)
4544adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝐾:β„•βŸΆβ„)
4645, 40ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ∈ ℝ)
4741, 46remulcld 11192 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) ∈ ℝ)
48 2ex 12237 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
4948tpid3 4739 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ {0, 1, 2}
5049, 24eleqtrri 2837 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (0..^3)
5150a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 2 ∈ (0..^3))
5221, 51ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (π‘›β€˜2) ∈ β„•)
5315, 52ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) ∈ ℝ)
5445, 52ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ∈ ℝ)
5553, 54remulcld 11192 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))) ∈ ℝ)
5647, 55remulcld 11192 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
5735, 56remulcld 11192 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ ℝ)
5813, 57syldan 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ ℝ)
5911, 58fsumrecl 15626 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ ℝ)
60 0nn0 12435 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
61 qssre 12891 . . . . . . . 8 β„š βŠ† ℝ
62 4nn0 12439 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ β„•0
63 2nn0 12437 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•0
64 nn0ssq 12889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„•0 βŠ† β„š
65 8nn0 12443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ β„•0
6664, 65sselii 3946 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ β„š
6762, 66dp2clq 31779 . . . . . . . . . . . . . 14 48 ∈ β„š
6863, 67dp2clq 31779 . . . . . . . . . . . . 13 248 ∈ β„š
6963, 68dp2clq 31779 . . . . . . . . . . . 12 2248 ∈ β„š
7062, 69dp2clq 31779 . . . . . . . . . . 11 42248 ∈ β„š
7160, 70dp2clq 31779 . . . . . . . . . 10 042248 ∈ β„š
7260, 71dp2clq 31779 . . . . . . . . 9 0042248 ∈ β„š
7360, 72dp2clq 31779 . . . . . . . 8 00042248 ∈ β„š
7461, 73sselii 3946 . . . . . . 7 00042248 ∈ ℝ
75 dpcl 31789 . . . . . . 7 ((0 ∈ β„•0 ∧ 00042248 ∈ ℝ) β†’ (0.00042248) ∈ ℝ)
7660, 74, 75mp2an 691 . . . . . 6 (0.00042248) ∈ ℝ
7776a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0.00042248) ∈ ℝ)
784nnred 12175 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
7978resqcld 14037 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁↑2) ∈ ℝ)
8077, 79remulcld 11192 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ∈ ℝ)
819, 57fsumrecl 15626 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ ℝ)
82 7nn0 12442 . . . . . . . . 9 7 ∈ β„•0
836, 67dp2clq 31779 . . . . . . . . . 10 348 ∈ β„š
8461, 83sselii 3946 . . . . . . . . 9 348 ∈ ℝ
85 dpcl 31789 . . . . . . . . 9 ((7 ∈ β„•0 ∧ 348 ∈ ℝ) β†’ (7.348) ∈ ℝ)
8682, 84, 85mp2an 691 . . . . . . . 8 (7.348) ∈ ℝ
8786a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (7.348) ∈ ℝ)
884nnrpd 12962 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
8988relogcld 25994 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
905nn0ge0d 12483 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑁)
9178, 90resqrtcld 15309 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜π‘) ∈ ℝ)
9288sqrtgt0d 15304 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (βˆšβ€˜π‘))
9392gt0ne0d 11726 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜π‘) β‰  0)
9489, 91, 93redivcld 11990 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / (βˆšβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
9587, 94remulcld 11192 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((7.348) Β· ((logβ€˜π‘) / (βˆšβ€˜π‘))) ∈ ℝ)
9695, 79remulcld 11192 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((7.348) Β· ((logβ€˜π‘) / (βˆšβ€˜π‘))) Β· (𝑁↑2)) ∈ ℝ)
97 tgoldbachgtda.1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘š) ≀ (1.079955))
98 tgoldbachgtda.2 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘š) ≀ (1.414))
991, 4, 3, 29, 42, 97, 98hgt750leme 33311 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ≀ (((7.348) Β· ((logβ€˜π‘) / (βˆšβ€˜π‘))) Β· (𝑁↑2)))
100 2z 12542 . . . . . . . 8 2 ∈ β„€
101100a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„€)
10288, 101rpexpcld 14157 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁↑2) ∈ ℝ+)
103 hgt750lem 33304 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (10↑27) ≀ 𝑁) β†’ ((7.348) Β· ((logβ€˜π‘) / (βˆšβ€˜π‘))) < (0.00042248))
1045, 3, 103syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((7.348) Β· ((logβ€˜π‘) / (βˆšβ€˜π‘))) < (0.00042248))
10595, 77, 102, 104ltmul1dd 13019 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((7.348) Β· ((logβ€˜π‘) / (βˆšβ€˜π‘))) Β· (𝑁↑2)) < ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)))
10659, 96, 80, 99, 105lelttrd 11320 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) < ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)))
107 tgoldbachgtda.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
10832, 44, 5circlemethhgt 33296 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) = ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
109107, 108breqtrrd 5138 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
11059, 80, 81, 106, 109ltletrd 11322 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) < Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
11159, 81posdifd 11749 . . 3 (πœ‘ β†’ (Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) < Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ↔ 0 < (Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))))
112110, 111mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ 0 < (Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))))))
113 inss2 4194 . . . . . . . 8 (𝑂 ∩ β„™) βŠ† β„™
114 prmssnn 16559 . . . . . . . 8 β„™ βŠ† β„•
115113, 114sstri 3958 . . . . . . 7 (𝑂 ∩ β„™) βŠ† β„•
116115a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑂 ∩ β„™) βŠ† β„•)
1178, 17, 7, 116reprss 33270 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁) βŠ† (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
1189, 117ssfid 9218 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁) ∈ Fin)
119117sselda 3949 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
12057recnd 11190 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ β„‚)
121119, 120syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ β„‚)
122118, 121fsumcl 15625 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ β„‚)
12359recnd 11190 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ β„‚)
124 disjdif 4436 . . . . 5 (((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁) ∩ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))) = βˆ…
125124a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁) ∩ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))) = βˆ…)
126 undif 4446 . . . . . 6 (((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁) βŠ† (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ↔ (((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁) βˆͺ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))) = (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
127117, 126sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁) βˆͺ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))) = (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
128127eqcomd 2743 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) = (((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁) βˆͺ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))))
129125, 128, 9, 120fsumsplit 15633 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) = (Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) + Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))))))
130122, 123, 129mvrraddd 11574 . 2 (πœ‘ β†’ (Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))))) = Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
131112, 130breqtrd 5136 1 (πœ‘ β†’ 0 < Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3410   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {ctp 4595   class class class wbr 5110  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  7c7 12220  8c8 12221  9c9 12222  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  cdc 12625  β„šcq 12880  (,)cioo 13271  [,)cico 13273  ..^cfzo 13574  β†‘cexp 13974  βˆšcsqrt 15125  Ξ£csu 15577  expce 15951  Ο€cpi 15956   βˆ₯ cdvds 16143  β„™cprime 16554  βˆ«citg 24998  logclog 25926  Ξ›cvma 26457  cdp2 31769  .cdp 31786  reprcrepr 33261  vtscvts 33288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-reg 9535  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138  ax-ros335 33298  ax-ros336 33299
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-r1 9707  df-rank 9708  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-s2 14744  df-s3 14745  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-prod 15796  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-tan 15961  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-pmtr 19231  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752  df-log 25928  df-cxp 25929  df-atan 26233  df-cht 26462  df-vma 26463  df-chp 26464  df-dp2 31770  df-dp 31787  df-repr 33262  df-vts 33289
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