Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbachgtde Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgoldbachgtde 31060
Description: Lemma for tgoldbachgtd 31062. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
tgoldbachgtda.o 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgtda.n (𝜑𝑁𝑂)
tgoldbachgtda.0 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
tgoldbachgtda.h (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
tgoldbachgtda.k (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
tgoldbachgtda.1 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ (1.079955))
tgoldbachgtda.2 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ (1.414))
tgoldbachgtda.3 (𝜑 → ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
Assertion
Ref Expression
tgoldbachgtde (𝜑 → 0 < Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐻,𝑛,𝑥   𝑚,𝐾,𝑛,𝑥   𝑚,𝑁,𝑛,𝑥,𝑧   𝑚,𝑂,𝑛,𝑧   𝜑,𝑚,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem tgoldbachgtde
StepHypRef Expression
1 tgoldbachgtda.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2 tgoldbachgtda.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁𝑂)
3 tgoldbachgtda.0 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
41, 2, 3tgoldbachgnn 31059 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnnn0d 11613 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 3nn0 11573 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
8 ssidd 3818 . . . . . . 7 (𝜑 → ℕ ⊆ ℕ)
95, 7, 8reprfi2 31023 . . . . . 6 (𝜑 → (ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin)
10 diffi 8428 . . . . . 6 ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin → ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ∈ Fin)
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ∈ Fin)
12 difssd 3934 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁))
1312sselda 3795 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
14 vmaf 25055 . . . . . . . . . 10 Λ:ℕ⟶ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
16 ssidd 3818 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆ ℕ)
175nn0zd 11742 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1817adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
196a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈ ℕ0)
20 simpr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
2116, 18, 19, 20reprf 31012 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
22 c0ex 10316 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
2322tpid1 4491 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ {0, 1, 2}
24 fzo0to3tp 12774 . . . . . . . . . . . 12 (0..^3) = {0, 1, 2}
2523, 24eleqtrri 2883 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0..^3)
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 0 ∈ (0..^3))
2721, 26ffvelrnd 6579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
2815, 27ffvelrnd 6579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
29 tgoldbachgtda.h . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
30 rge0ssre 12496 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
31 fss 6266 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
3229, 30, 31sylancl 576 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻:ℕ⟶ℝ)
3332adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
3433, 27ffvelrnd 6579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
3528, 34remulcld 10352 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) ∈ ℝ)
36 1ex 10318 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
3736tpid2 4492 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {0, 1, 2}
3837, 24eleqtrri 2883 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (0..^3)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 1 ∈ (0..^3))
4021, 39ffvelrnd 6579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
4115, 40ffvelrnd 6579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
42 tgoldbachgtda.k . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
43 fss 6266 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
4442, 30, 43sylancl 576 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾:ℕ⟶ℝ)
4544adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
4645, 40ffvelrnd 6579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
4741, 46remulcld 10352 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ)
48 2ex 11372 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
4948tpid3 4494 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ {0, 1, 2}
5049, 24eleqtrri 2883 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (0..^3)
5150a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 2 ∈ (0..^3))
5221, 51ffvelrnd 6579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
5315, 52ffvelrnd 6579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
5445, 52ffvelrnd 6579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
5553, 54remulcld 10352 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
5647, 55remulcld 10352 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
5735, 56remulcld 10352 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
5813, 57syldan 581 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
5911, 58fsumrecl 14684 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
60 0nn0 11570 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
61 qssre 12013 . . . . . . . 8 ℚ ⊆ ℝ
62 4nn0 11574 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ0
63 2nn0 11572 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
64 nn0ssq 12011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ⊆ ℚ
65 8nn0 11578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℕ0
6664, 65sselii 3792 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℚ
6762, 66dp2clq 29911 . . . . . . . . . . . . . 14 48 ∈ ℚ
6863, 67dp2clq 29911 . . . . . . . . . . . . 13 248 ∈ ℚ
6963, 68dp2clq 29911 . . . . . . . . . . . 12 2248 ∈ ℚ
7062, 69dp2clq 29911 . . . . . . . . . . 11 42248 ∈ ℚ
7160, 70dp2clq 29911 . . . . . . . . . 10 042248 ∈ ℚ
7260, 71dp2clq 29911 . . . . . . . . 9 0042248 ∈ ℚ
7360, 72dp2clq 29911 . . . . . . . 8 00042248 ∈ ℚ
7461, 73sselii 3792 . . . . . . 7 00042248 ∈ ℝ
75 dpcl 29921 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℕ000042248 ∈ ℝ) → (0.00042248) ∈ ℝ)
7660, 74, 75mp2an 675 . . . . . 6 (0.00042248) ∈ ℝ
7776a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0.00042248) ∈ ℝ)
784nnred 11317 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
7978resqcld 13254 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℝ)
8077, 79remulcld 10352 . . . 4 (𝜑 → ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ∈ ℝ)
819, 57fsumrecl 14684 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
82 7nn0 11577 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ0
836, 67dp2clq 29911 . . . . . . . . . 10 348 ∈ ℚ
8461, 83sselii 3792 . . . . . . . . 9 348 ∈ ℝ
85 dpcl 29921 . . . . . . . . 9 ((7 ∈ ℕ0348 ∈ ℝ) → (7.348) ∈ ℝ)
8682, 84, 85mp2an 675 . . . . . . . 8 (7.348) ∈ ℝ
8786a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (7.348) ∈ ℝ)
884nnrpd 12080 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
8988relogcld 24579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
905nn0ge0d 11616 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
9178, 90resqrtcld 14375 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
9288sqrtgt0d 14370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (√‘𝑁))
9392gt0ne0d 10874 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘𝑁) ≠ 0)
9489, 91, 93redivcld 11135 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
9587, 94remulcld 10352 . . . . . 6 (𝜑 → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) ∈ ℝ)
9695, 79remulcld 10352 . . . . 5 (𝜑 → (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)) ∈ ℝ)
97 tgoldbachgtda.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ (1.079955))
98 tgoldbachgtda.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ (1.414))
991, 4, 3, 29, 42, 97, 98hgt750leme 31058 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)))
100 2z 11671 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
101100a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
10288, 101rpexpcld 13251 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℝ+)
103 hgt750lem 31051 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) < (0.00042248))
1045, 3, 103syl2anc 575 . . . . . 6 (𝜑 → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) < (0.00042248))
10595, 77, 102, 104ltmul1dd 12137 . . . . 5 (𝜑 → (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)) < ((0.00042248) · (𝑁↑2)))
10659, 96, 80, 99, 105lelttrd 10477 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) < ((0.00042248) · (𝑁↑2)))
107 tgoldbachgtda.3 . . . . 5 (𝜑 → ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
10832, 44, 5circlemethhgt 31043 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
109107, 108breqtrrd 4868 . . . 4 (𝜑 → ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
11059, 80, 81, 106, 109ltletrd 10479 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) < Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
11159, 81posdifd 10896 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) < Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ↔ 0 < (Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) − Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))))
112110, 111mpbid 223 . 2 (𝜑 → 0 < (Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) − Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))))
113 inss2 4027 . . . . . . . 8 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℙ
114 prmssnn 15604 . . . . . . . 8 ℙ ⊆ ℕ
115113, 114sstri 3804 . . . . . . 7 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ
116115a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
1178, 17, 7, 116reprss 31017 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁))
1189, 117ssfid 8419 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∈ Fin)
119117sselda 3795 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
12057recnd 10350 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℂ)
121119, 120syldan 581 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℂ)
122118, 121fsumcl 14683 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℂ)
12359recnd 10350 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℂ)
124 disjdif 4233 . . . . 5 (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∩ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) = ∅
125124a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∩ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) = ∅)
126 undif 4242 . . . . . 6 (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁) ↔ (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∪ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) = (ℕ(repr‘3)𝑁))
127117, 126sylib 209 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∪ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) = (ℕ(repr‘3)𝑁))
128127eqcomd 2811 . . . 4 (𝜑 → (ℕ(repr‘3)𝑁) = (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∪ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))))
129125, 128, 9, 120fsumsplit 14690 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) + Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))))
130122, 123, 129mvrraddd 10727 . 2 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) − Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))) = Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
131112, 130breqtrd 4866 1 (𝜑 → 0 < Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2158  {crab 3099  cdif 3763  cun 3764  cin 3765  wss 3766  c0 4113  {ctp 4371   class class class wbr 4840  wf 6094  cfv 6098  (class class class)co 6871  𝑓 cof 7122  Fincfn 8189  cc 10216  cr 10217  0cc0 10218  1c1 10219  ici 10220   · cmul 10223  +∞cpnf 10353   < clt 10356  cle 10357  cmin 10548  -cneg 10549   / cdiv 10966  cn 11302  2c2 11352  3c3 11353  4c4 11354  5c5 11355  7c7 11357  8c8 11358  9c9 11359  0cn0 11555  cz 11639  cdc 11755  cq 12003  (,)cioo 12389  [,)cico 12391  ..^cfzo 12685  cexp 13079  csqrt 14192  Σcsu 14635  expce 15008  πcpi 15013  cdvds 15199  cprime 15599  citg 23595  logclog 24511  Λcvma 25028  cdp2 29901  .cdp 29918  reprcrepr 31008  vtscvts 31035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-rep 4960  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-reg 8733  ax-inf2 8782  ax-cc 9539  ax-ac2 9567  ax-cnex 10274  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294  ax-pre-mulgt0 10295  ax-pre-sup 10296  ax-addf 10297  ax-mulf 10298  ax-ros335 31045  ax-ros336 31046
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-symdif 4039  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-disj 4809  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-tr 4943  df-id 5216  df-eprel 5221  df-po 5229  df-so 5230  df-fr 5267  df-se 5268  df-we 5269  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-pred 5890  df-ord 5936  df-on 5937  df-lim 5938  df-suc 5939  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-isom 6107  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-of 7124  df-ofr 7125  df-om 7293  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-supp 7527  df-wrecs 7639  df-recs 7701  df-rdg 7739  df-1o 7793  df-2o 7794  df-oadd 7797  df-omul 7798  df-er 7976  df-map 8091  df-pm 8092  df-ixp 8143  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-fin 8193  df-fsupp 8512  df-fi 8553  df-sup 8584  df-inf 8585  df-oi 8651  df-r1 8871  df-rank 8872  df-card 9045  df-acn 9048  df-ac 9219  df-cda 9272  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-xr 10360  df-ltxr 10361  df-le 10362  df-sub 10550  df-neg 10551  df-div 10967  df-nn 11303  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-xnn0 11626  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-fl 12813  df-mod 12889  df-seq 13021  df-exp 13080  df-fac 13277  df-bc 13306  df-hash 13334  df-word 13506  df-concat 13508  df-s1 13509  df-s2 13813  df-s3 13814  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-prod 14853  df-ef 15014  df-e 15015  df-sin 15016  df-cos 15017  df-tan 15018  df-pi 15019  df-dvds 15200  df-gcd 15432  df-prm 15600  df-pc 15755  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17947  df-pmtr 18059  df-cmn 18392  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-met 19944  df-bl 19945  df-mopn 19946  df-fbas 19947  df-fg 19948  df-cnfld 19951  df-top 20908  df-topon 20925  df-topsp 20947  df-bases 20960  df-cld 21033  df-ntr 21034  df-cls 21035  df-nei 21112  df-lp 21150  df-perf 21151  df-cn 21241  df-cnp 21242  df-haus 21329  df-cmp 21400  df-tx 21575  df-hmeo 21768  df-fil 21859  df-fm 21951  df-flim 21952  df-flf 21953  df-xms 22334  df-ms 22335  df-tms 22336  df-cncf 22890  df-ovol 23441  df-vol 23442  df-mbf 23596  df-itg1 23597  df-itg2 23598  df-ibl 23599  df-itg 23600  df-0p 23647  df-limc 23840  df-dv 23841  df-ulm 24341  df-log 24513  df-cxp 24514  df-atan 24804  df-cht 25033  df-vma 25034  df-chp 25035  df-dp2 29902  df-dp 29919  df-repr 31009  df-vts 31036
This theorem is referenced by:  tgoldbachgtda  31061
  Copyright terms: Public domain W3C validator