Proof of Theorem tgoldbachgtde
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | tgoldbachgtda.o |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} |
| 2 | | tgoldbachgtda.n |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂) |
| 3 | | tgoldbachgtda.0 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁) |
| 4 | 1, 2, 3 | tgoldbachgnn 34674 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
| 5 | 4 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 6 | | 3nn0 12544 |
. . . . . . . 8
⊢ 3 ∈
ℕ0 |
| 7 | 6 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℕ0) |
| 8 | | ssidd 4007 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ℕ ⊆
ℕ) |
| 9 | 5, 7, 8 | reprfi2 34638 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 →
(ℕ(repr‘3)𝑁)
∈ Fin) |
| 10 | | diffi 9215 |
. . . . . 6
⊢
((ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin →
((ℕ(repr‘3)𝑁)
∖ ((𝑂 ∩
ℙ)(repr‘3)𝑁))
∈ Fin) |
| 11 | 9, 10 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 →
((ℕ(repr‘3)𝑁)
∖ ((𝑂 ∩
ℙ)(repr‘3)𝑁))
∈ Fin) |
| 12 | | difssd 4137 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
((ℕ(repr‘3)𝑁)
∖ ((𝑂 ∩
ℙ)(repr‘3)𝑁))
⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁)) |
| 13 | 12 | sselda 3983 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) |
| 14 | | vmaf 27162 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Λ:ℕ⟶ℝ |
| 15 | 14 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) →
Λ:ℕ⟶ℝ) |
| 16 | | ssidd 4007 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆
ℕ) |
| 17 | 5 | nn0zd 12639 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 18 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 19 | 6 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈
ℕ0) |
| 20 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) |
| 21 | 16, 18, 19, 20 | reprf 34627 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ) |
| 22 | | c0ex 11255 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 0 ∈
V |
| 23 | 22 | tpid1 4768 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 0 ∈
{0, 1, 2} |
| 24 | | fzo0to3tp 13791 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (0..^3) =
{0, 1, 2} |
| 25 | 23, 24 | eleqtrri 2840 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 0 ∈
(0..^3) |
| 26 | 25 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 0 ∈
(0..^3)) |
| 27 | 21, 26 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘0) ∈ ℕ) |
| 28 | 15, 27 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈
ℝ) |
| 29 | | tgoldbachgtda.h |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞)) |
| 30 | | rge0ssre 13496 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℝ |
| 31 | | fss 6752 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞)
∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐻:ℕ⟶ℝ) |
| 32 | 29, 30, 31 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ℝ) |
| 33 | 32 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝐻:ℕ⟶ℝ) |
| 34 | 33, 27 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ) |
| 35 | 28, 34 | remulcld 11291 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) →
((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) ∈ ℝ) |
| 36 | | 1ex 11257 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 ∈
V |
| 37 | 36 | tpid2 4770 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 1 ∈
{0, 1, 2} |
| 38 | 37, 24 | eleqtrri 2840 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 1 ∈
(0..^3) |
| 39 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 1 ∈
(0..^3)) |
| 40 | 21, 39 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘1) ∈ ℕ) |
| 41 | 15, 40 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈
ℝ) |
| 42 | | tgoldbachgtda.k |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞)) |
| 43 | | fss 6752 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞)
∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐾:ℕ⟶ℝ) |
| 44 | 42, 30, 43 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶ℝ) |
| 45 | 44 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝐾:ℕ⟶ℝ) |
| 46 | 45, 40 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ) |
| 47 | 41, 46 | remulcld 11291 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) →
((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ) |
| 48 | | 2ex 12343 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 2 ∈
V |
| 49 | 48 | tpid3 4773 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 2 ∈
{0, 1, 2} |
| 50 | 49, 24 | eleqtrri 2840 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 2 ∈
(0..^3) |
| 51 | 50 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 2 ∈
(0..^3)) |
| 52 | 21, 51 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘2) ∈ ℕ) |
| 53 | 15, 52 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈
ℝ) |
| 54 | 45, 52 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ) |
| 55 | 53, 54 | remulcld 11291 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) →
((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ) |
| 56 | 47, 55 | remulcld 11291 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) →
(((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ) |
| 57 | 35, 56 | remulcld 11291 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) →
(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈
ℝ) |
| 58 | 13, 57 | syldan 591 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) →
(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈
ℝ) |
| 59 | 11, 58 | fsumrecl 15770 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈
ℝ) |
| 60 | | 0nn0 12541 |
. . . . . . 7
⊢ 0 ∈
ℕ0 |
| 61 | | qssre 13001 |
. . . . . . . 8
⊢ ℚ
⊆ ℝ |
| 62 | | 4nn0 12545 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 4 ∈
ℕ0 |
| 63 | | 2nn0 12543 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
| 64 | | nn0ssq 12999 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
ℕ0 ⊆ ℚ |
| 65 | | 8nn0 12549 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 8 ∈
ℕ0 |
| 66 | 64, 65 | sselii 3980 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 8 ∈
ℚ |
| 67 | 62, 66 | dp2clq 32863 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ _48 ∈ ℚ |
| 68 | 63, 67 | dp2clq 32863 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ _2_48 ∈ ℚ |
| 69 | 63, 68 | dp2clq 32863 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ _2_2_48
∈ ℚ |
| 70 | 62, 69 | dp2clq 32863 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ _4_2_2_48
∈ ℚ |
| 71 | 60, 70 | dp2clq 32863 |
. . . . . . . . . 10
⊢ _0_4_2_2_48
∈ ℚ |
| 72 | 60, 71 | dp2clq 32863 |
. . . . . . . . 9
⊢ _0_0_4_2_2_48
∈ ℚ |
| 73 | 60, 72 | dp2clq 32863 |
. . . . . . . 8
⊢ _0_0_0_4_2_2_48
∈ ℚ |
| 74 | 61, 73 | sselii 3980 |
. . . . . . 7
⊢ _0_0_0_4_2_2_48
∈ ℝ |
| 75 | | dpcl 32873 |
. . . . . . 7
⊢ ((0
∈ ℕ0 ∧ _0_0_0_4_2_2_48
∈ ℝ) → (0._0_0_0_4_2_2_48)
∈ ℝ) |
| 76 | 60, 74, 75 | mp2an 692 |
. . . . . 6
⊢ (0._0_0_0_4_2_2_48)
∈ ℝ |
| 77 | 76 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (0._0_0_0_4_2_2_48)
∈ ℝ) |
| 78 | 4 | nnred 12281 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 79 | 78 | resqcld 14165 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℝ) |
| 80 | 77, 79 | remulcld 11291 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((0._0_0_0_4_2_2_48)
· (𝑁↑2)) ∈
ℝ) |
| 81 | 9, 57 | fsumrecl 15770 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈
ℝ) |
| 82 | | 7nn0 12548 |
. . . . . . . . 9
⊢ 7 ∈
ℕ0 |
| 83 | 6, 67 | dp2clq 32863 |
. . . . . . . . . 10
⊢ _3_48 ∈ ℚ |
| 84 | 61, 83 | sselii 3980 |
. . . . . . . . 9
⊢ _3_48 ∈ ℝ |
| 85 | | dpcl 32873 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((7
∈ ℕ0 ∧ _3_48
∈ ℝ) → (7._3_48) ∈ ℝ) |
| 86 | 82, 84, 85 | mp2an 692 |
. . . . . . . 8
⊢ (7._3_48) ∈ ℝ |
| 87 | 86 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (7._3_48)
∈ ℝ) |
| 88 | 4 | nnrpd 13075 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℝ+) |
| 89 | 88 | relogcld 26665 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈
ℝ) |
| 90 | 5 | nn0ge0d 12590 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁) |
| 91 | 78, 90 | resqrtcld 15456 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈
ℝ) |
| 92 | 88 | sqrtgt0d 15451 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 <
(√‘𝑁)) |
| 93 | 92 | gt0ne0d 11827 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ≠ 0) |
| 94 | 89, 91, 93 | redivcld 12095 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈
ℝ) |
| 95 | 87, 94 | remulcld 11291 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((7._3_48)
· ((log‘𝑁) /
(√‘𝑁))) ∈
ℝ) |
| 96 | 95, 79 | remulcld 11291 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((7._3_48)
· ((log‘𝑁) /
(√‘𝑁)))
· (𝑁↑2)) ∈
ℝ) |
| 97 | | tgoldbachgtda.1 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55)) |
| 98 | | tgoldbachgtda.2 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ≤ (1._4_14)) |
| 99 | 1, 4, 3, 29, 42, 97, 98 | hgt750leme 34673 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((7._3_48)
· ((log‘𝑁) /
(√‘𝑁)))
· (𝑁↑2))) |
| 100 | | 2z 12649 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℤ |
| 101 | 100 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℤ) |
| 102 | 88, 101 | rpexpcld 14286 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈
ℝ+) |
| 103 | | hgt750lem 34666 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ (;10↑;27) ≤ 𝑁) → ((7._3_48)
· ((log‘𝑁) /
(√‘𝑁))) <
(0._0_0_0_4_2_2_48)) |
| 104 | 5, 3, 103 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((7._3_48)
· ((log‘𝑁) /
(√‘𝑁))) <
(0._0_0_0_4_2_2_48)) |
| 105 | 95, 77, 102, 104 | ltmul1dd 13132 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((7._3_48)
· ((log‘𝑁) /
(√‘𝑁)))
· (𝑁↑2)) <
((0._0_0_0_4_2_2_48)
· (𝑁↑2))) |
| 106 | 59, 96, 80, 99, 105 | lelttrd 11419 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) < ((0._0_0_0_4_2_2_48)
· (𝑁↑2))) |
| 107 | | tgoldbachgtda.3 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((0._0_0_0_4_2_2_48)
· (𝑁↑2)) ≤
∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f
· 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i ·
(2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥) |
| 108 | 32, 44, 5 | circlemethhgt 34658 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ
∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f
· 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i ·
(2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥) |
| 109 | 107, 108 | breqtrrd 5171 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((0._0_0_0_4_2_2_48)
· (𝑁↑2)) ≤
Σ𝑛 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))) |
| 110 | 59, 80, 81, 106, 109 | ltletrd 11421 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) < Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))) |
| 111 | 59, 81 | posdifd 11850 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) < Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ↔ 0 < (Σ𝑛 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) − Σ𝑛 ∈
((ℕ(repr‘3)𝑁)
∖ ((𝑂 ∩
ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))))) |
| 112 | 110, 111 | mpbid 232 |
. 2
⊢ (𝜑 → 0 < (Σ𝑛 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) − Σ𝑛 ∈
((ℕ(repr‘3)𝑁)
∖ ((𝑂 ∩
ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))) |
| 113 | | inss2 4238 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑂 ∩ ℙ) ⊆
ℙ |
| 114 | | prmssnn 16713 |
. . . . . . . 8
⊢ ℙ
⊆ ℕ |
| 115 | 113, 114 | sstri 3993 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑂 ∩ ℙ) ⊆
ℕ |
| 116 | 115 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑂 ∩ ℙ) ⊆
ℕ) |
| 117 | 8, 17, 7, 116 | reprss 34632 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ⊆
(ℕ(repr‘3)𝑁)) |
| 118 | 9, 117 | ssfid 9301 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∈ Fin) |
| 119 | 117 | sselda 3983 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) |
| 120 | 57 | recnd 11289 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) →
(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈
ℂ) |
| 121 | 119, 120 | syldan 591 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) →
(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈
ℂ) |
| 122 | 118, 121 | fsumcl 15769 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈
ℂ) |
| 123 | 59 | recnd 11289 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈
ℂ) |
| 124 | | disjdif 4472 |
. . . . 5
⊢ (((𝑂 ∩
ℙ)(repr‘3)𝑁)
∩ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) = ∅ |
| 125 | 124 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∩
((ℕ(repr‘3)𝑁)
∖ ((𝑂 ∩
ℙ)(repr‘3)𝑁)))
= ∅) |
| 126 | | undif 4482 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑂 ∩
ℙ)(repr‘3)𝑁)
⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁) ↔ (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∪
((ℕ(repr‘3)𝑁)
∖ ((𝑂 ∩
ℙ)(repr‘3)𝑁)))
= (ℕ(repr‘3)𝑁)) |
| 127 | 117, 126 | sylib 218 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∪
((ℕ(repr‘3)𝑁)
∖ ((𝑂 ∩
ℙ)(repr‘3)𝑁)))
= (ℕ(repr‘3)𝑁)) |
| 128 | 127 | eqcomd 2743 |
. . . 4
⊢ (𝜑 →
(ℕ(repr‘3)𝑁) =
(((𝑂 ∩
ℙ)(repr‘3)𝑁)
∪ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))) |
| 129 | 125, 128,
9, 120 | fsumsplit 15777 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) + Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))) |
| 130 | 122, 123,
129 | mvrraddd 11675 |
. 2
⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) − Σ𝑛 ∈
((ℕ(repr‘3)𝑁)
∖ ((𝑂 ∩
ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))) = Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))) |
| 131 | 112, 130 | breqtrd 5169 |
1
⊢ (𝜑 → 0 < Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))) |