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Theorem tgoldbachgtde 33672
Description: Lemma for tgoldbachgtd 33674. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
tgoldbachgtda.o 𝑂 = {𝑧 ∈ β„€ ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
tgoldbachgtda.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑂)
tgoldbachgtda.0 (πœ‘ β†’ (10↑27) ≀ 𝑁)
tgoldbachgtda.h (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
tgoldbachgtda.k (πœ‘ β†’ 𝐾:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
tgoldbachgtda.1 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘š) ≀ (1.079955))
tgoldbachgtda.2 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘š) ≀ (1.414))
tgoldbachgtda.3 (πœ‘ β†’ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
Assertion
Ref Expression
tgoldbachgtde (πœ‘ β†’ 0 < Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
Distinct variable groups:   π‘š,𝐻,𝑛,π‘₯   π‘š,𝐾,𝑛,π‘₯   π‘š,𝑁,𝑛,π‘₯,𝑧   π‘š,𝑂,𝑛,𝑧   πœ‘,π‘š,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑂(π‘₯)

Proof of Theorem tgoldbachgtde
StepHypRef Expression
1 tgoldbachgtda.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {𝑧 ∈ β„€ ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
2 tgoldbachgtda.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑂)
3 tgoldbachgtda.0 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (10↑27) ≀ 𝑁)
41, 2, 3tgoldbachgnn 33671 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
54nnnn0d 12532 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6 3nn0 12490 . . . . . . . 8 3 ∈ β„•0
76a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 3 ∈ β„•0)
8 ssidd 4006 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„• βŠ† β„•)
95, 7, 8reprfi2 33635 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∈ Fin)
10 diffi 9179 . . . . . 6 ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∈ Fin β†’ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)) ∈ Fin)
119, 10syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)) ∈ Fin)
12 difssd 4133 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)) βŠ† (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
1312sselda 3983 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))) β†’ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
14 vmaf 26623 . . . . . . . . . 10 Ξ›:β„•βŸΆβ„
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„)
16 ssidd 4006 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ β„• βŠ† β„•)
175nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1817adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
196a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 3 ∈ β„•0)
20 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
2116, 18, 19, 20reprf 33624 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝑛:(0..^3)βŸΆβ„•)
22 c0ex 11208 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
2322tpid1 4773 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ {0, 1, 2}
24 fzo0to3tp 13718 . . . . . . . . . . . 12 (0..^3) = {0, 1, 2}
2523, 24eleqtrri 2833 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0..^3)
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 0 ∈ (0..^3))
2721, 26ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (π‘›β€˜0) ∈ β„•)
2815, 27ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ ℝ)
29 tgoldbachgtda.h . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
30 rge0ssre 13433 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
31 fss 6735 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐻:β„•βŸΆβ„)
3229, 30, 31sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•βŸΆβ„)
3332adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝐻:β„•βŸΆβ„)
3433, 27ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ ℝ)
3528, 34remulcld 11244 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) ∈ ℝ)
36 1ex 11210 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
3736tpid2 4775 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {0, 1, 2}
3837, 24eleqtrri 2833 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (0..^3)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 1 ∈ (0..^3))
4021, 39ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (π‘›β€˜1) ∈ β„•)
4115, 40ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) ∈ ℝ)
42 tgoldbachgtda.k . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐾:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
43 fss 6735 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐾:β„•βŸΆβ„)
4442, 30, 43sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾:β„•βŸΆβ„)
4544adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝐾:β„•βŸΆβ„)
4645, 40ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ∈ ℝ)
4741, 46remulcld 11244 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) ∈ ℝ)
48 2ex 12289 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
4948tpid3 4778 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ {0, 1, 2}
5049, 24eleqtrri 2833 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (0..^3)
5150a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 2 ∈ (0..^3))
5221, 51ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (π‘›β€˜2) ∈ β„•)
5315, 52ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) ∈ ℝ)
5445, 52ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ∈ ℝ)
5553, 54remulcld 11244 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))) ∈ ℝ)
5647, 55remulcld 11244 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
5735, 56remulcld 11244 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ ℝ)
5813, 57syldan 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ ℝ)
5911, 58fsumrecl 15680 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ ℝ)
60 0nn0 12487 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
61 qssre 12943 . . . . . . . 8 β„š βŠ† ℝ
62 4nn0 12491 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ β„•0
63 2nn0 12489 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•0
64 nn0ssq 12941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„•0 βŠ† β„š
65 8nn0 12495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ β„•0
6664, 65sselii 3980 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ β„š
6762, 66dp2clq 32047 . . . . . . . . . . . . . 14 48 ∈ β„š
6863, 67dp2clq 32047 . . . . . . . . . . . . 13 248 ∈ β„š
6963, 68dp2clq 32047 . . . . . . . . . . . 12 2248 ∈ β„š
7062, 69dp2clq 32047 . . . . . . . . . . 11 42248 ∈ β„š
7160, 70dp2clq 32047 . . . . . . . . . 10 042248 ∈ β„š
7260, 71dp2clq 32047 . . . . . . . . 9 0042248 ∈ β„š
7360, 72dp2clq 32047 . . . . . . . 8 00042248 ∈ β„š
7461, 73sselii 3980 . . . . . . 7 00042248 ∈ ℝ
75 dpcl 32057 . . . . . . 7 ((0 ∈ β„•0 ∧ 00042248 ∈ ℝ) β†’ (0.00042248) ∈ ℝ)
7660, 74, 75mp2an 691 . . . . . 6 (0.00042248) ∈ ℝ
7776a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0.00042248) ∈ ℝ)
784nnred 12227 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
7978resqcld 14090 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁↑2) ∈ ℝ)
8077, 79remulcld 11244 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ∈ ℝ)
819, 57fsumrecl 15680 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ ℝ)
82 7nn0 12494 . . . . . . . . 9 7 ∈ β„•0
836, 67dp2clq 32047 . . . . . . . . . 10 348 ∈ β„š
8461, 83sselii 3980 . . . . . . . . 9 348 ∈ ℝ
85 dpcl 32057 . . . . . . . . 9 ((7 ∈ β„•0 ∧ 348 ∈ ℝ) β†’ (7.348) ∈ ℝ)
8682, 84, 85mp2an 691 . . . . . . . 8 (7.348) ∈ ℝ
8786a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (7.348) ∈ ℝ)
884nnrpd 13014 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
8988relogcld 26131 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
905nn0ge0d 12535 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑁)
9178, 90resqrtcld 15364 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜π‘) ∈ ℝ)
9288sqrtgt0d 15359 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (βˆšβ€˜π‘))
9392gt0ne0d 11778 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜π‘) β‰  0)
9489, 91, 93redivcld 12042 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / (βˆšβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
9587, 94remulcld 11244 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((7.348) Β· ((logβ€˜π‘) / (βˆšβ€˜π‘))) ∈ ℝ)
9695, 79remulcld 11244 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((7.348) Β· ((logβ€˜π‘) / (βˆšβ€˜π‘))) Β· (𝑁↑2)) ∈ ℝ)
97 tgoldbachgtda.1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘š) ≀ (1.079955))
98 tgoldbachgtda.2 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘š) ≀ (1.414))
991, 4, 3, 29, 42, 97, 98hgt750leme 33670 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ≀ (((7.348) Β· ((logβ€˜π‘) / (βˆšβ€˜π‘))) Β· (𝑁↑2)))
100 2z 12594 . . . . . . . 8 2 ∈ β„€
101100a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„€)
10288, 101rpexpcld 14210 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁↑2) ∈ ℝ+)
103 hgt750lem 33663 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (10↑27) ≀ 𝑁) β†’ ((7.348) Β· ((logβ€˜π‘) / (βˆšβ€˜π‘))) < (0.00042248))
1045, 3, 103syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((7.348) Β· ((logβ€˜π‘) / (βˆšβ€˜π‘))) < (0.00042248))
10595, 77, 102, 104ltmul1dd 13071 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((7.348) Β· ((logβ€˜π‘) / (βˆšβ€˜π‘))) Β· (𝑁↑2)) < ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)))
10659, 96, 80, 99, 105lelttrd 11372 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) < ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)))
107 tgoldbachgtda.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
10832, 44, 5circlemethhgt 33655 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) = ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
109107, 108breqtrrd 5177 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
11059, 80, 81, 106, 109ltletrd 11374 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) < Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
11159, 81posdifd 11801 . . 3 (πœ‘ β†’ (Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) < Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ↔ 0 < (Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))))
112110, 111mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ 0 < (Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))))))
113 inss2 4230 . . . . . . . 8 (𝑂 ∩ β„™) βŠ† β„™
114 prmssnn 16613 . . . . . . . 8 β„™ βŠ† β„•
115113, 114sstri 3992 . . . . . . 7 (𝑂 ∩ β„™) βŠ† β„•
116115a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑂 ∩ β„™) βŠ† β„•)
1178, 17, 7, 116reprss 33629 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁) βŠ† (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
1189, 117ssfid 9267 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁) ∈ Fin)
119117sselda 3983 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
12057recnd 11242 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ β„‚)
121119, 120syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ β„‚)
122118, 121fsumcl 15679 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ β„‚)
12359recnd 11242 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ β„‚)
124 disjdif 4472 . . . . 5 (((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁) ∩ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))) = βˆ…
125124a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁) ∩ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))) = βˆ…)
126 undif 4482 . . . . . 6 (((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁) βŠ† (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ↔ (((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁) βˆͺ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))) = (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
127117, 126sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁) βˆͺ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))) = (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
128127eqcomd 2739 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) = (((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁) βˆͺ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))))
129125, 128, 9, 120fsumsplit 15687 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) = (Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) + Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))))))
130122, 123, 129mvrraddd 11626 . 2 (πœ‘ β†’ (Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))))) = Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
131112, 130breqtrd 5175 1 (πœ‘ β†’ 0 < Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {ctp 4633   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  7c7 12272  8c8 12273  9c9 12274  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  cdc 12677  β„šcq 12932  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  ..^cfzo 13627  β†‘cexp 14027  βˆšcsqrt 15180  Ξ£csu 15632  expce 16005  Ο€cpi 16010   βˆ₯ cdvds 16197  β„™cprime 16608  βˆ«citg 25135  logclog 26063  Ξ›cvma 26596  cdp2 32037  .cdp 32054  reprcrepr 33620  vtscvts 33647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-reg 9587  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-ros335 33657  ax-ros336 33658
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-r1 9759  df-rank 9760  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-ef 16011  df-e 16012  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-pmtr 19310  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ulm 25889  df-log 26065  df-cxp 26066  df-atan 26372  df-cht 26601  df-vma 26602  df-chp 26603  df-dp2 32038  df-dp 32055  df-repr 33621  df-vts 33648
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