Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprfi 31541
Description: Bounded representations are finite sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
reprfi.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
reprfi (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) ∈ Fin)

Proof of Theorem reprfi
Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reprval.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
2 reprval.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 reprval.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
41, 2, 3reprval 31535 . 2 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
5 reprfi.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 fzofi 13157 . . . 4 (0..^𝑆) ∈ Fin
7 mapfi 8615 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (0..^𝑆) ∈ Fin) → (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∈ Fin)
85, 6, 7sylancl 577 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∈ Fin)
9 rabfi 8538 . . 3 ((𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∈ Fin → {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} ∈ Fin)
108, 9syl 17 . 2 (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} ∈ Fin)
114, 10eqeltrd 2866 1 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1507  wcel 2050  {crab 3092  wss 3829  cfv 6188  (class class class)co 6976  𝑚 cmap 8206  Fincfn 8306  0cc0 10335  cn 11439  0cn0 11707  cz 11793  ..^cfzo 12849  Σcsu 14903  reprcrepr 31533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-sum 14904  df-repr 31534
This theorem is referenced by:  hashreprin  31545  reprfi2  31548  breprexplema  31555  breprexplemc  31557  breprexpnat  31559  circlemeth  31565
  Copyright terms: Public domain W3C validator