Theorem reprfi 34473

Description: Bounded representations are finite sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprfi.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
reprfi	⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) ∈ Fin)

Proof of Theorem reprfi

Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		reprval.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		reprval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	reprval 34467	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
5		reprfi.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fzofi 13986	. . . 4 ⊢ (0..^𝑆) ∈ Fin
7		mapfi 9383	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (0..^𝑆) ∈ Fin) → (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∈ Fin)
9		rabfi 9294	. . 3 ⊢ ((𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∈ Fin → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} ∈ Fin)
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} ∈ Fin)
11	4, 10	eqeltrd 2826	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3420   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8845  Fincfn 8964  0cc0 11147  ℕcn 12256  ℕ₀cn0 12516  ℤcz 12602  ..^cfzo 13673  Σcsu 15683  reprcrepr 34465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-seq 14014  df-sum 15684  df-repr 34466

This theorem is referenced by:  hashreprin  34477  reprfi2  34480  breprexplema  34487  breprexplemc  34489  breprexpnat  34491  circlemeth  34497