Theorem reprfi 34773

Description: Bounded representations are finite sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprfi.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
reprfi	⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) ∈ Fin)

Proof of Theorem reprfi

Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		reprval.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		reprval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	reprval 34767	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
5		reprfi.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fzofi 13897	. . . 4 ⊢ (0..^𝑆) ∈ Fin
7		mapfi 9248	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (0..^𝑆) ∈ Fin) → (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∈ Fin)
9		rabfi 9171	. . 3 ⊢ ((𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∈ Fin → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} ∈ Fin)
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} ∈ Fin)
11	4, 10	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  0cc0 11026  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ..^cfzo 13570  Σcsu 15609  reprcrepr 34765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-sum 15610  df-repr 34766

This theorem is referenced by:  hashreprin  34777  reprfi2  34780  breprexplema  34787  breprexplemc  34789  breprexpnat  34791  circlemeth  34797