Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashreprin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashreprin 33701
Description: Express a sum of representations over an intersection using a product of the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
reprval.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
reprval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
hashreprin.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
hashreprin.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•)
Assertion
Ref Expression
hashreprin (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀)) = Σ𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝑀,𝑐   𝑆,π‘Ž,𝑐   πœ‘,𝑐   𝐴,π‘Ž   𝐡,π‘Ž,𝑐   𝑀,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž

Proof of Theorem hashreprin
StepHypRef Expression
1 hashreprin.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•)
2 reprval.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 reprval.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
4 hashreprin.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
51, 2, 3, 4reprfi 33697 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∈ Fin)
6 inss2 4229 . . . . . 6 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡
76a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡)
81, 2, 3, 7reprss 33698 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀) βŠ† (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀))
95, 8ssfid 9269 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∈ Fin)
10 1cnd 11211 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
11 fsumconst 15738 . . 3 ((((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀)1 = ((β™―β€˜((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀)) Β· 1))
129, 10, 11syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀)1 = ((β™―β€˜((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀)) Β· 1))
1310ralrimivw 3150 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀)1 ∈ β„‚)
145olcd 872 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∈ Fin))
15 sumss2 15674 . . . 4 (((((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀) βŠ† (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∧ βˆ€π‘ ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀)1 ∈ β„‚) ∧ ((𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∈ Fin)) β†’ Σ𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀)1 = Σ𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)if(𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀), 1, 0))
168, 13, 14, 15syl21anc 836 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀)1 = Σ𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)if(𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀), 1, 0))
171, 2, 3reprinrn 33699 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ ((𝐡 ∩ 𝐴)(reprβ€˜π‘†)𝑀) ↔ (𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∧ ran 𝑐 βŠ† 𝐴)))
18 incom 4201 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐡)
1918oveq1i 7421 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∩ 𝐴)(reprβ€˜π‘†)𝑀) = ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀)
2019eleq2i 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ ((𝐡 ∩ 𝐴)(reprβ€˜π‘†)𝑀) ↔ 𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀))
2120bibi1i 338 . . . . . . . . 9 ((𝑐 ∈ ((𝐡 ∩ 𝐴)(reprβ€˜π‘†)𝑀) ↔ (𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∧ ran 𝑐 βŠ† 𝐴)) ↔ (𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀) ↔ (𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∧ ran 𝑐 βŠ† 𝐴)))
2221imbi2i 335 . . . . . . . 8 ((πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ ((𝐡 ∩ 𝐴)(reprβ€˜π‘†)𝑀) ↔ (𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∧ ran 𝑐 βŠ† 𝐴))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀) ↔ (𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∧ ran 𝑐 βŠ† 𝐴))))
2317, 22mpbi 229 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀) ↔ (𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∧ ran 𝑐 βŠ† 𝐴)))
2423baibd 540 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ (𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀) ↔ ran 𝑐 βŠ† 𝐴))
2524ifbid 4551 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ if(𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀), 1, 0) = if(ran 𝑐 βŠ† 𝐴, 1, 0))
26 nnex 12220 . . . . . . . . 9 β„• ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
2827ralrimivw 3150 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)β„• ∈ V)
2928r19.21bi 3248 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ β„• ∈ V)
30 fzofi 13941 . . . . . . 7 (0..^𝑆) ∈ Fin
3130a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ (0..^𝑆) ∈ Fin)
32 reprval.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
3332adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
341adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ 𝐡 βŠ† β„•)
352adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
363adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
37 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ 𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀))
3834, 35, 36, 37reprf 33693 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ 𝑐:(0..^𝑆)⟢𝐡)
3938, 34fssd 6735 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ 𝑐:(0..^𝑆)βŸΆβ„•)
4029, 31, 33, 39prodindf 33090 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) = if(ran 𝑐 βŠ† 𝐴, 1, 0))
4125, 40eqtr4d 2775 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ if(𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀), 1, 0) = βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
4241sumeq2dv 15651 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)if(𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀), 1, 0) = Σ𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
4316, 42eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑐 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀)1 = Σ𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
44 hashcl 14318 . . . . 5 (((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀)) ∈ β„•0)
459, 44syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀)) ∈ β„•0)
4645nn0cnd 12536 . . 3 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀)) ∈ β„‚)
4746mulridd 11233 . 2 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀)) Β· 1) = (β™―β€˜((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀)))
4812, 43, 473eqtr3rd 2781 1 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((𝐴 ∩ 𝐡)(reprβ€˜π‘†)𝑀)) = Σ𝑐 ∈ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  β„•cn 12214  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  ..^cfzo 13629  β™―chash 14292  Ξ£csu 15634  βˆcprod 15851  πŸ­cind 33077  reprcrepr 33689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-prod 15852  df-ind 33078  df-repr 33690
This theorem is referenced by:  hashrepr  33706  breprexpnat  33715
  Copyright terms: Public domain W3C validator