Theorem reprval 34458

Description: Value of the representations of 𝑀 as the sum of 𝑆 nonnegative integers in a given set 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reprval	⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝑀,𝑐   𝑆,𝑎,𝑐   𝜑,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝑀(𝑎)

Proof of Theorem reprval

Dummy variables 𝑏 𝑚 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-repr 34457	. . 3 ⊢ repr = (𝑠 ∈ ℕ0 ↦ (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏 ↑m (0..^𝑠)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐‘𝑎) = 𝑚}))
2		oveq2 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (0..^𝑠) = (0..^𝑆))
3	2	oveq2d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑏 ↑m (0..^𝑠)) = (𝑏 ↑m (0..^𝑆)))
4	2	sumeq1d 15707	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐‘𝑎) = Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
5	4	eqeq1d 2728	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐‘𝑎) = 𝑚 ↔ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑚))
6	3, 5	rabeqbidv 3437	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → {𝑐 ∈ (𝑏 ↑m (0..^𝑠)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐‘𝑎) = 𝑚} = {𝑐 ∈ (𝑏 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑚})
7	6	mpoeq3dv 7506	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏 ↑m (0..^𝑠)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐‘𝑎) = 𝑚}) = (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑚}))
8		reprval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
9		nnex 12272	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
10	9	pwex 5386	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ℕ ∈ V
11		zex 12621	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
12	10, 11	mpoex 8095	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑚}) ∈ V
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑚}) ∈ V)
14	1, 7, 8, 13	fvmptd3 7034	. 2 ⊢ (𝜑 → (repr‘𝑆) = (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑚}))
15		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑀)) → 𝑏 = 𝐴)
16	15	oveq1d 7441	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑀)) → (𝑏 ↑m (0..^𝑆)) = (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
17		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑀)) → 𝑚 = 𝑀)
18	17	eqeq2d 2737	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑀)) → (Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑚 ↔ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀))
19	16, 18	rabeqbidv 3437	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑀)) → {𝑐 ∈ (𝑏 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑚} = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
20	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
21		reprval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
22	20, 21	ssexd 5331	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
23	22, 21	elpwd 4613	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 ℕ)
24		reprval.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
25		ovex 7459	. . . 4 ⊢ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∈ V
26	25	rabex 5341	. . 3 ⊢ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} ∈ V
27	26	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} ∈ V)
28	14, 19, 23, 24, 27	ovmpod 7580	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3419  Vcvv 3462   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4607  ‘cfv 6556  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428   ↑_m cmap 8857  0cc0 11160  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12612  ..^cfzo 13683  Σcsu 15692  reprcrepr 34456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-addcl 11220

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-neg 11499  df-nn 12267  df-z 12613  df-seq 14024  df-sum 15693  df-repr 34457

This theorem is referenced by:  repr0  34459  reprf  34460  reprsum  34461  reprsuc  34463  reprfi  34464  reprss  34465  reprinrn  34466  reprlt  34467  reprgt  34469  reprinfz1  34470  reprpmtf1o  34474  reprdifc  34475  breprexplema  34478