Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprval 34625
Description: Value of the representations of 𝑀 as the sum of 𝑆 nonnegative integers in a given set 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
reprval (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝑀,𝑐   𝑆,𝑎,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝑀(𝑎)

Proof of Theorem reprval
Dummy variables 𝑏 𝑚 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-repr 34624 . . 3 repr = (𝑠 ∈ ℕ0 ↦ (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏m (0..^𝑠)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐𝑎) = 𝑚}))
2 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → (0..^𝑠) = (0..^𝑆))
32oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝑏m (0..^𝑠)) = (𝑏m (0..^𝑆)))
42sumeq1d 15736 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐𝑎) = Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
54eqeq1d 2739 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐𝑎) = 𝑚 ↔ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚))
63, 5rabeqbidv 3455 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → {𝑐 ∈ (𝑏m (0..^𝑠)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐𝑎) = 𝑚} = {𝑐 ∈ (𝑏m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚})
76mpoeq3dv 7512 . . 3 (𝑠 = 𝑆 → (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏m (0..^𝑠)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐𝑎) = 𝑚}) = (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚}))
8 reprval.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
9 nnex 12272 . . . . . 6 ℕ ∈ V
109pwex 5380 . . . . 5 𝒫 ℕ ∈ V
11 zex 12622 . . . . 5 ℤ ∈ V
1210, 11mpoex 8104 . . . 4 (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚}) ∈ V
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚}) ∈ V)
141, 7, 8, 13fvmptd3 7039 . 2 (𝜑 → (repr‘𝑆) = (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚}))
15 simprl 771 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴𝑚 = 𝑀)) → 𝑏 = 𝐴)
1615oveq1d 7446 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴𝑚 = 𝑀)) → (𝑏m (0..^𝑆)) = (𝐴m (0..^𝑆)))
17 simprr 773 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴𝑚 = 𝑀)) → 𝑚 = 𝑀)
1817eqeq2d 2748 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴𝑚 = 𝑀)) → (Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚 ↔ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀))
1916, 18rabeqbidv 3455 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴𝑚 = 𝑀)) → {𝑐 ∈ (𝑏m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚} = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
209a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ∈ V)
21 reprval.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
2220, 21ssexd 5324 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
2322, 21elpwd 4606 . 2 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 ℕ)
24 reprval.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
25 ovex 7464 . . . 4 (𝐴m (0..^𝑆)) ∈ V
2625rabex 5339 . . 3 {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} ∈ V
2726a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} ∈ V)
2814, 19, 23, 24, 27ovmpod 7585 1 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951  𝒫 cpw 4600  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8866  0cc0 11155  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  ..^cfzo 13694  Σcsu 15722  reprcrepr 34623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-neg 11495  df-nn 12267  df-z 12614  df-seq 14043  df-sum 15723  df-repr 34624
This theorem is referenced by:  repr0  34626  reprf  34627  reprsum  34628  reprsuc  34630  reprfi  34631  reprss  34632  reprinrn  34633  reprlt  34634  reprgt  34636  reprinfz1  34637  reprpmtf1o  34641  reprdifc  34642  breprexplema  34645
  Copyright terms: Public domain W3C validator