Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprval 34604
Description: Value of the representations of 𝑀 as the sum of 𝑆 nonnegative integers in a given set 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
reprval (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝑀,𝑐   𝑆,𝑎,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝑀(𝑎)

Proof of Theorem reprval
Dummy variables 𝑏 𝑚 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-repr 34603 . . 3 repr = (𝑠 ∈ ℕ0 ↦ (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏m (0..^𝑠)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐𝑎) = 𝑚}))
2 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → (0..^𝑠) = (0..^𝑆))
32oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝑏m (0..^𝑠)) = (𝑏m (0..^𝑆)))
42sumeq1d 15733 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐𝑎) = Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
54eqeq1d 2737 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐𝑎) = 𝑚 ↔ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚))
63, 5rabeqbidv 3452 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → {𝑐 ∈ (𝑏m (0..^𝑠)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐𝑎) = 𝑚} = {𝑐 ∈ (𝑏m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚})
76mpoeq3dv 7512 . . 3 (𝑠 = 𝑆 → (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏m (0..^𝑠)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐𝑎) = 𝑚}) = (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚}))
8 reprval.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
9 nnex 12270 . . . . . 6 ℕ ∈ V
109pwex 5386 . . . . 5 𝒫 ℕ ∈ V
11 zex 12620 . . . . 5 ℤ ∈ V
1210, 11mpoex 8103 . . . 4 (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚}) ∈ V
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚}) ∈ V)
141, 7, 8, 13fvmptd3 7039 . 2 (𝜑 → (repr‘𝑆) = (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚}))
15 simprl 771 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴𝑚 = 𝑀)) → 𝑏 = 𝐴)
1615oveq1d 7446 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴𝑚 = 𝑀)) → (𝑏m (0..^𝑆)) = (𝐴m (0..^𝑆)))
17 simprr 773 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴𝑚 = 𝑀)) → 𝑚 = 𝑀)
1817eqeq2d 2746 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴𝑚 = 𝑀)) → (Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚 ↔ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀))
1916, 18rabeqbidv 3452 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴𝑚 = 𝑀)) → {𝑐 ∈ (𝑏m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚} = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
209a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ∈ V)
21 reprval.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
2220, 21ssexd 5330 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
2322, 21elpwd 4611 . 2 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 ℕ)
24 reprval.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
25 ovex 7464 . . . 4 (𝐴m (0..^𝑆)) ∈ V
2625rabex 5345 . . 3 {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} ∈ V
2726a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} ∈ V)
2814, 19, 23, 24, 27ovmpod 7585 1 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963  𝒫 cpw 4605  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8865  0cc0 11153  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  ..^cfzo 13691  Σcsu 15719  reprcrepr 34602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-neg 11493  df-nn 12265  df-z 12612  df-seq 14040  df-sum 15720  df-repr 34603
This theorem is referenced by:  repr0  34605  reprf  34606  reprsum  34607  reprsuc  34609  reprfi  34610  reprss  34611  reprinrn  34612  reprlt  34613  reprgt  34615  reprinfz1  34616  reprpmtf1o  34620  reprdifc  34621  breprexplema  34624
  Copyright terms: Public domain W3C validator