Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprval 31529
Description: Value of the representations of 𝑀 as the sum of 𝑆 nonnegative integers in a given set 𝐴 (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
reprval (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝑀,𝑐   𝑆,𝑎,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝑀(𝑎)

Proof of Theorem reprval
Dummy variables 𝑏 𝑚 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-repr 31528 . . 3 repr = (𝑠 ∈ ℕ0 ↦ (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏𝑚 (0..^𝑠)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐𝑎) = 𝑚}))
2 oveq2 6986 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → (0..^𝑠) = (0..^𝑆))
32oveq2d 6994 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝑏𝑚 (0..^𝑠)) = (𝑏𝑚 (0..^𝑆)))
42sumeq1d 14921 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐𝑎) = Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
54eqeq1d 2780 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐𝑎) = 𝑚 ↔ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚))
63, 5rabeqbidv 3408 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → {𝑐 ∈ (𝑏𝑚 (0..^𝑠)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐𝑎) = 𝑚} = {𝑐 ∈ (𝑏𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚})
76mpoeq3dv 7053 . . 3 (𝑠 = 𝑆 → (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏𝑚 (0..^𝑠)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑠)(𝑐𝑎) = 𝑚}) = (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚}))
8 reprval.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
9 nnex 11448 . . . . . 6 ℕ ∈ V
109pwex 5135 . . . . 5 𝒫 ℕ ∈ V
11 zex 11805 . . . . 5 ℤ ∈ V
1210, 11mpoex 7587 . . . 4 (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚}) ∈ V
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚}) ∈ V)
141, 7, 8, 13fvmptd3 6619 . 2 (𝜑 → (repr‘𝑆) = (𝑏 ∈ 𝒫 ℕ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ {𝑐 ∈ (𝑏𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚}))
15 simprl 758 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴𝑚 = 𝑀)) → 𝑏 = 𝐴)
1615oveq1d 6993 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴𝑚 = 𝑀)) → (𝑏𝑚 (0..^𝑆)) = (𝐴𝑚 (0..^𝑆)))
17 simprr 760 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴𝑚 = 𝑀)) → 𝑚 = 𝑀)
1817eqeq2d 2788 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴𝑚 = 𝑀)) → (Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚 ↔ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀))
1916, 18rabeqbidv 3408 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏 = 𝐴𝑚 = 𝑀)) → {𝑐 ∈ (𝑏𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑚} = {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
209a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ∈ V)
21 reprval.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
2220, 21ssexd 5085 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
2322, 21elpwd 4432 . 2 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 ℕ)
24 reprval.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
25 ovex 7010 . . . 4 (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∈ V
2625rabex 5092 . . 3 {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} ∈ V
2726a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} ∈ V)
2814, 19, 23, 24, 27ovmpod 7120 1 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  {crab 3092  Vcvv 3415  wss 3831  𝒫 cpw 4423  cfv 6190  (class class class)co 6978  cmpo 6980  𝑚 cmap 8208  0cc0 10337  cn 11441  0cn0 11710  cz 11796  ..^cfzo 12852  Σcsu 14906  reprcrepr 31527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-addcl 10397
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-neg 10675  df-nn 11442  df-z 11797  df-seq 13188  df-sum 14907  df-repr 31528
This theorem is referenced by:  repr0  31530  reprf  31531  reprsum  31532  reprsuc  31534  reprfi  31535  reprss  31536  reprinrn  31537  reprlt  31538  reprgt  31540  reprinfz1  31541  reprpmtf1o  31545  reprdifc  31546  breprexplema  31549
  Copyright terms: Public domain W3C validator