Theorem rexmul2 32710

Description: If the result 𝐴 of an extended real multiplication is real, then its first factor 𝐵 is also real. See also rexmul 13191. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexmul2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rexmul2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
rexmul2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
rexmul2.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
rexmul2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
rexmul2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rexmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexmul2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
4	3	oveq1d 7368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶))
5		rexmul2.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		rexmul2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
7		xmulpnf2 13195	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
10	2, 4, 9	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 = +∞)
11		rexmul2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	renepnfd 11185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ +∞)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
14	13	neneqd 2930	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐴 = +∞)
15	10, 14	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = +∞)
16	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
18	17	oveq1d 7368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 ·e 𝐶) = (-∞ ·e 𝐶))
19		xmulmnf2 13197	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶) → (-∞ ·e 𝐶) = -∞)
20	5, 6, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-∞ ·e 𝐶) = -∞)
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ ·e 𝐶) = -∞)
22	16, 18, 21	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 = -∞)
23	11	renemnfd 11186	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
25	24	neneqd 2930	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
26	22, 25	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = -∞)
27		rexmul2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
28		elxr 13036	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
29	27, 28	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
30	15, 26, 29	ecase23d 1475	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  +∞cpnf 11165  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ·_e cxmu 13031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-xneg 13032  df-xmul 13034

This theorem is referenced by:  constrext2chnlem  33716