Theorem rexmul2 33233

Description: If the result 𝐴 of an extended real multiplication is real, then its first factor 𝐵 is also real. See also rexmul 13327. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexmul2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rexmul2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
rexmul2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
rexmul2.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
rexmul2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
rexmul2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rexmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexmul2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))
3		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
4	3	oveq1d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶))
5		rexmul2.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		rexmul2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
7		xmulpnf2 13331	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
8	5, 6, 7	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
10	2, 4, 9	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 = +∞)
11		rexmul2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	renepnfd 11288	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ +∞)
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
14	13	neneqd 2962	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐴 = +∞)
15	10, 14	pm2.65da 829	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = +∞)
16	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))
17		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
18	17	oveq1d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 ·e 𝐶) = (-∞ ·e 𝐶))
19		xmulmnf2 13333	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶) → (-∞ ·e 𝐶) = -∞)
20	5, 6, 19	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-∞ ·e 𝐶) = -∞)
21	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ ·e 𝐶) = -∞)
22	16, 18, 21	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 = -∞)
23	11	renemnfd 11289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)
24	23	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
25	24	neneqd 2962	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
26	22, 25	pm2.65da 829	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = -∞)
27		rexmul2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
28		elxr 13171	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
29	27, 28	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
30	15, 26, 29	ecase23d 1503	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128  +∞cpnf 11268  -∞cmnf 11269  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271   ·_e cxmu 13166

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-xneg 13167  df-xmul 13169

This theorem is used by:  constrext2chnlem  34268