Theorem rexmul2 32732

Description: If the result 𝐴 of an extended real multiplication is real, then its first factor 𝐵 is also real. See also rexmul 13167. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexmul2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rexmul2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
rexmul2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
rexmul2.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
rexmul2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
rexmul2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rexmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexmul2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
4	3	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶))
5		rexmul2.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		rexmul2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
7		xmulpnf2 13171	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
10	2, 4, 9	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 = +∞)
11		rexmul2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	renepnfd 11160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ +∞)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
14	13	neneqd 2933	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐴 = +∞)
15	10, 14	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = +∞)
16	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
18	17	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 ·e 𝐶) = (-∞ ·e 𝐶))
19		xmulmnf2 13173	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶) → (-∞ ·e 𝐶) = -∞)
20	5, 6, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-∞ ·e 𝐶) = -∞)
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ ·e 𝐶) = -∞)
22	16, 18, 21	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 = -∞)
23	11	renemnfd 11161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
25	24	neneqd 2933	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
26	22, 25	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = -∞)
27		rexmul2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
28		elxr 13012	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
29	27, 28	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
30	15, 26, 29	ecase23d 1475	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℝcr 11002  0cc0 11003  +∞cpnf 11140  -∞cmnf 11141  ℝ^*cxr 11142   < clt 11143   ·_e cxmu 13007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-xneg 13008  df-xmul 13010

This theorem is referenced by:  constrext2chnlem  33758