Theorem rexmul2 33136

Description: If the result 𝐴 of an extended real multiplication is real, then its first factor 𝐵 is also real. See also rexmul 13315. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexmul2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rexmul2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
rexmul2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
rexmul2.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
rexmul2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
rexmul2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rexmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexmul2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))
3		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
4	3	oveq1d 7438	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶))
5		rexmul2.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		rexmul2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
7		xmulpnf2 13319	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
8	5, 6, 7	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
10	2, 4, 9	3eqtrd 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 = +∞)
11		rexmul2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	renepnfd 11278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ +∞)
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
14	13	neneqd 2966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐴 = +∞)
15	10, 14	pm2.65da 829	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = +∞)
16	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))
17		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
18	17	oveq1d 7438	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 ·e 𝐶) = (-∞ ·e 𝐶))
19		xmulmnf2 13321	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶) → (-∞ ·e 𝐶) = -∞)
20	5, 6, 19	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-∞ ·e 𝐶) = -∞)
21	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ ·e 𝐶) = -∞)
22	16, 18, 21	3eqtrd 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 = -∞)
23	11	renemnfd 11279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)
24	23	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
25	24	neneqd 2966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
26	22, 25	pm2.65da 829	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = -∞)
27		rexmul2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
28		elxr 13159	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
29	27, 28	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
30	15, 26, 29	ecase23d 1503	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118  +∞cpnf 11258  -∞cmnf 11259  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261   ·_e cxmu 13154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-xneg 13155  df-xmul 13157

This theorem is used by:  constrext2chnlem  34171