Theorem rexmul2 32667

Description: If the result 𝐴 of an extended real multiplication is real, then its first factor 𝐵 is also real. See also rexmul 13280. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexmul2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rexmul2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
rexmul2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
rexmul2.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
rexmul2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
rexmul2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rexmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexmul2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
4	3	oveq1d 7415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶))
5		rexmul2.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		rexmul2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
7		xmulpnf2 13284	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
10	2, 4, 9	3eqtrd 2773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 = +∞)
11		rexmul2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	renepnfd 11279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ +∞)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
14	13	neneqd 2936	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐴 = +∞)
15	10, 14	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = +∞)
16	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 = (𝐵 ·e 𝐶))
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
18	17	oveq1d 7415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 ·e 𝐶) = (-∞ ·e 𝐶))
19		xmulmnf2 13286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶) → (-∞ ·e 𝐶) = -∞)
20	5, 6, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-∞ ·e 𝐶) = -∞)
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ ·e 𝐶) = -∞)
22	16, 18, 21	3eqtrd 2773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 = -∞)
23	11	renemnfd 11280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
25	24	neneqd 2936	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
26	22, 25	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = -∞)
27		rexmul2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
28		elxr 13125	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
29	27, 28	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
30	15, 26, 29	ecase23d 1474	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   class class class wbr 5117  (class class class)co 7400  ℝcr 11121  0cc0 11122  +∞cpnf 11259  -∞cmnf 11260  ℝ^*cxr 11261   < clt 11262   ·_e cxmu 13120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8714  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-xneg 13121  df-xmul 13123

This theorem is referenced by:  constrext2chnlem  33719