Theorem abrexctf 32657

Description: An image set of a countable set is countable, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptctf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
abrexctf	⊢ (𝐴 ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem abrexctf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	rnmpt 5948	. 2 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}
3		mptctf.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4	3	mptctf 32656	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
5		rnct 10546	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
7	2, 6	eqbrtrrid 5159	1 ⊢ (𝐴 ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  {cab 2712  Ⅎwnfc 2882  ∃wrex 3059   class class class wbr 5123   ↦ cmpt 5205  ran crn 5666  ωcom 7868   ≼ cdom 8964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-ac2 10484

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-oi 9531  df-card 9960  df-acn 9963  df-ac 10137

This theorem is referenced by:  sigaclcuni  34053  measvunilem  34147