Theorem abrexctf 30227

Description: An image set of a countable set is countable, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptctf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
abrexctf	⊢ (𝐴 ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem abrexctf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2772	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	rnmpt 5667	. 2 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}
3		mptctf.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4	3	mptctf 30226	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
5		rnct 9743	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
7	2, 6	syl5eqbrr 4961	1 ⊢ (𝐴 ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507  {cab 2752  Ⅎwnfc 2910  ∃wrex 3083   class class class wbr 4925   ↦ cmpt 5004  ran crn 5404  ωcom 7394   ≼ cdom 8302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896  ax-ac2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-oi 8767  df-card 9160  df-acn 9163  df-ac 9334

This theorem is referenced by:  sigaclcuni  31051  measvunilem  31145