Theorem dya2iocct 34457

Description: The dyadic rectangle set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
dya2iocct	⊢ ran 𝑅 ≼ ω

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dya2ioc.1	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
2		znnen 16149	. . . . . 6 ⊢ ℤ ≈ ℕ
3		nnct 13916	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≼ ω
4		endomtr 8961	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ ω) → ℤ ≼ ω)
5	2, 3, 4	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ ℤ ≼ ω
6		ovex 7401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
7	6	rgen2w 3057	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
8	7	mpocti 32803	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ≼ ω ∧ ℤ ≼ ω) → (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) ≼ ω)
9	5, 5, 8	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) ≼ ω
10	1, 9	eqbrtri 5121	. . 3 ⊢ 𝐼 ≼ ω
11		rnct 10447	. . 3 ⊢ (𝐼 ≼ ω → ran 𝐼 ≼ ω)
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran 𝐼 ≼ ω
13		vex 3446	. . . . . 6 ⊢ 𝑢 ∈ V
14		vex 3446	. . . . . 6 ⊢ 𝑣 ∈ V
15	13, 14	xpex 7708	. . . . 5 ⊢ (𝑢 × 𝑣) ∈ V
16	15	rgen2w 3057	. . . 4 ⊢ ∀𝑢 ∈ ran 𝐼∀𝑣 ∈ ran 𝐼(𝑢 × 𝑣) ∈ V
17	16	mpocti 32803	. . 3 ⊢ ((ran 𝐼 ≼ ω ∧ ran 𝐼 ≼ ω) → (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ≼ ω)
18		dya2ioc.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
19	18	breq1i 5107	. . . 4 ⊢ (𝑅 ≼ ω ↔ (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ≼ ω)
20	19	biimpri 228	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ≼ ω → 𝑅 ≼ ω)
21		rnct 10447	. . 3 ⊢ (𝑅 ≼ ω → ran 𝑅 ≼ ω)
22	17, 20, 21	3syl 18	. 2 ⊢ ((ran 𝐼 ≼ ω ∧ ran 𝐼 ≼ ω) → ran 𝑅 ≼ ω)
23	12, 12, 22	mp2an 693	1 ⊢ ran 𝑅 ≼ ω

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   class class class wbr 5100   × cxp 5630  ran crn 5633  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  ωcom 7818   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893  1c1 11039   + caddc 11041   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  ℤcz 12500  (,)cioo 13273  [,)cico 13275  ↑cexp 13996  topGenctg 17369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem1  34462