Theorem dya2iocct 34958

Description: The dyadic rectangle set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
dya2iocct	⊢ ran 𝑅 ≼ ω

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥, 𝑣, 𝑢, 𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥, 𝑣, 𝑢, 𝑛)

Proof of Theorem dya2iocct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dya2ioc.1	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
2		znnen 16385	. . . . . 6 ⊢ ℤ ≈ ℕ
3		nnct 14127	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≼ ω
4		endomtr 9042	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ ω) → ℤ ≼ ω)
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ℤ ≼ ω
6		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
7	6	rgen2w 3081	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
8	7	mpocti 33354	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ≼ ω ∧ ℤ ≼ ω) → (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) ≼ ω)
9	5, 5, 8	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) ≼ ω
10	1, 9	eqbrtri 5125	. . 3 ⊢ 𝐼 ≼ ω
11		rnct 10607	. . 3 ⊢ (𝐼 ≼ ω → ran 𝐼 ≼ ω)
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran 𝐼 ≼ ω
13		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑢 ∈ V
14		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑣 ∈ V
15	13, 14	xpex 7767	. . . . 5 ⊢ (𝑢 × 𝑣) ∈ V
16	15	rgen2w 3081	. . . 4 ⊢ ∀𝑢 ∈ ran 𝐼∀𝑣 ∈ ran 𝐼(𝑢 × 𝑣) ∈ V
17	16	mpocti 33354	. . 3 ⊢ ((ran 𝐼 ≼ ω ∧ ran 𝐼 ≼ ω) → (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ≼ ω)
18		dya2ioc.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
19	18	breq1i 5109	. . . 4 ⊢ (𝑅 ≼ ω ↔ (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ≼ ω)
20	19	biimpri 231	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ≼ ω → 𝑅 ≼ ω)
21		rnct 10607	. . 3 ⊢ (𝑅 ≼ ω → ran 𝑅 ≼ ω)
22	17, 20, 21	3syl 19	. 2 ⊢ ((ran 𝐼 ≼ ω ∧ ran 𝐼 ≼ ω) → ran 𝑅 ≼ ω)
23	12, 12, 22	mp2an 705	1 ⊢ ran 𝑅 ≼ ω

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   class class class wbr 5102   × cxp 5648  ran crn 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ωcom 7877   ≈ cen 8973   ≼ cdom 8974  1c1 11204   + caddc 11206   / cdiv 11976  ℕcn 12338  2c2 12400  ℤcz 12696  (,)cioo 13479  [,)cico 13481  ↑cexp 14207  topGenctg 17613

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-oadd 8483  df-omul 8484  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-oi 9507  df-card 10023  df-acn 10026  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969

This theorem is used by:  sxbrsigalem1  34963