Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2iocct 34124
Description: The dyadic rectangle set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
Assertion
Ref Expression
dya2iocct ran 𝑅 ≼ ω
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocct
StepHypRef Expression
1 dya2ioc.1 . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
2 znnen 16206 . . . . . 6 ℤ ≈ ℕ
3 nnct 13992 . . . . . 6 ℕ ≼ ω
4 endomtr 9032 . . . . . 6 ((ℤ ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ ω) → ℤ ≼ ω)
52, 3, 4mp2an 690 . . . . 5 ℤ ≼ ω
6 ovex 7446 . . . . . . 7 ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
76rgen2w 3056 . . . . . 6 𝑥 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
87mpocti 32626 . . . . 5 ((ℤ ≼ ω ∧ ℤ ≼ ω) → (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) ≼ ω)
95, 5, 8mp2an 690 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) ≼ ω
101, 9eqbrtri 5164 . . 3 𝐼 ≼ ω
11 rnct 10556 . . 3 (𝐼 ≼ ω → ran 𝐼 ≼ ω)
1210, 11ax-mp 5 . 2 ran 𝐼 ≼ ω
13 vex 3466 . . . . . 6 𝑢 ∈ V
14 vex 3466 . . . . . 6 𝑣 ∈ V
1513, 14xpex 7750 . . . . 5 (𝑢 × 𝑣) ∈ V
1615rgen2w 3056 . . . 4 𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼(𝑢 × 𝑣) ∈ V
1716mpocti 32626 . . 3 ((ran 𝐼 ≼ ω ∧ ran 𝐼 ≼ ω) → (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ≼ ω)
18 dya2ioc.2 . . . . 5 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
1918breq1i 5150 . . . 4 (𝑅 ≼ ω ↔ (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ≼ ω)
2019biimpri 227 . . 3 ((𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ≼ ω → 𝑅 ≼ ω)
21 rnct 10556 . . 3 (𝑅 ≼ ω → ran 𝑅 ≼ ω)
2217, 20, 213syl 18 . 2 ((ran 𝐼 ≼ ω ∧ ran 𝐼 ≼ ω) → ran 𝑅 ≼ ω)
2312, 12, 22mp2an 690 1 ran 𝑅 ≼ ω
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462   class class class wbr 5143   × cxp 5670  ran crn 5673  cfv 6543  (class class class)co 7413  cmpo 7415  ωcom 7865  cen 8960  cdom 8961  1c1 11147   + caddc 11149   / cdiv 11909  cn 12255  2c2 12310  cz 12601  (,)cioo 13369  [,)cico 13371  cexp 14072  topGenctg 17444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-inf2 9674  ax-ac2 10494  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-oi 9543  df-card 9972  df-acn 9975  df-ac 10149  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12256  df-n0 12516  df-z 12602  df-uz 12866
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem1  34129
  Copyright terms: Public domain W3C validator