Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2iocct 30858
Description: The dyadic rectangle set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
Assertion
Ref Expression
dya2iocct ran 𝑅 ≼ ω
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocct
StepHypRef Expression
1 dya2ioc.1 . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
2 znnen 15277 . . . . . 6 ℤ ≈ ℕ
3 nnct 13035 . . . . . 6 ℕ ≼ ω
4 endomtr 8253 . . . . . 6 ((ℤ ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ ω) → ℤ ≼ ω)
52, 3, 4mp2an 684 . . . . 5 ℤ ≼ ω
6 ovex 6910 . . . . . . 7 ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
76rgen2w 3106 . . . . . 6 𝑥 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
87mpt2cti 30011 . . . . 5 ((ℤ ≼ ω ∧ ℤ ≼ ω) → (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) ≼ ω)
95, 5, 8mp2an 684 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) ≼ ω
101, 9eqbrtri 4864 . . 3 𝐼 ≼ ω
11 rnct 9635 . . 3 (𝐼 ≼ ω → ran 𝐼 ≼ ω)
1210, 11ax-mp 5 . 2 ran 𝐼 ≼ ω
13 vex 3388 . . . . . 6 𝑢 ∈ V
14 vex 3388 . . . . . 6 𝑣 ∈ V
1513, 14xpex 7196 . . . . 5 (𝑢 × 𝑣) ∈ V
1615rgen2w 3106 . . . 4 𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼(𝑢 × 𝑣) ∈ V
1716mpt2cti 30011 . . 3 ((ran 𝐼 ≼ ω ∧ ran 𝐼 ≼ ω) → (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ≼ ω)
18 dya2ioc.2 . . . . 5 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
1918breq1i 4850 . . . 4 (𝑅 ≼ ω ↔ (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ≼ ω)
2019biimpri 220 . . 3 ((𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ≼ ω → 𝑅 ≼ ω)
21 rnct 9635 . . 3 (𝑅 ≼ ω → ran 𝑅 ≼ ω)
2217, 20, 213syl 18 . 2 ((ran 𝐼 ≼ ω ∧ ran 𝐼 ≼ ω) → ran 𝑅 ≼ ω)
2312, 12, 22mp2an 684 1 ran 𝑅 ≼ ω
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385   class class class wbr 4843   × cxp 5310  ran crn 5313  cfv 6101  (class class class)co 6878  cmpt2 6880  ωcom 7299  cen 8192  cdom 8193  1c1 10225   + caddc 10227   / cdiv 10976  cn 11312  2c2 11368  cz 11666  (,)cioo 12424  [,)cico 12426  cexp 13114  topGenctg 16413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-ac2 9573  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-oi 8657  df-card 9051  df-acn 9054  df-ac 9225  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem1  30863
  Copyright terms: Public domain W3C validator