Theorem subneg 11474

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11411	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7402	. . 3 ⊢ (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 − (0 − 𝐵))
3		0cn 11165	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		subsub 11455	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (0 − 𝐵)) = ((𝐴 − 0) + 𝐵))
5	3, 4	mp3an2 1469	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (0 − 𝐵)) = ((𝐴 − 0) + 𝐵))
6	2, 5	eqtrid 2808	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = ((𝐴 − 0) + 𝐵))
7		subid1 11445	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
8	7	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 0) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
10	6, 9	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  0cc0 11067   + caddc 11070   − cmin 11408  -cneg 11409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215  df-sub 11410  df-neg 11411

This theorem is referenced by:  negneg  11475  negdi  11482  neg2sub  11485  subnegi  11504  subnegd  11543  recextlem1  11811  fzshftral  13614  shftval4  15084  sqreulem  15378  sqreu  15379  fsumshftm  15799  fsumcube  16081  eftlub  16132  summodnegmod  16311  shft2rab  25558  atandm2  26930  atandm4  26932  acosneg  26940  atanneg  26960  atancj  26963  atanlogadd  26967  atanlogsublem  26968  atanlogsub  26969  efiatan2  26970  2efiatan  26971  tanatan  26972  atans2  26984  dvatan  26988  atantayl  26990  wilthlem1  27120  wilthlem3  27122  wilthimp  27124  ftalem7  27131  ppiub  27256  2sqlem11  27481  2sqblem  27483  cos2h  38071  tan2h  38072  ftc1anclem5  38157  2pwp1prm  48159