Theorem subneg 11471

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11408	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7398	. . 3 ⊢ (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 − (0 − 𝐵))
3		0cn 11166	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		subsub 11452	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (0 − 𝐵)) = ((𝐴 − 0) + 𝐵))
5	3, 4	mp3an2 1451	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (0 − 𝐵)) = ((𝐴 − 0) + 𝐵))
6	2, 5	eqtrid 2776	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = ((𝐴 − 0) + 𝐵))
7		subid1 11442	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7402	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 0) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
10	6, 9	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   + caddc 11071   − cmin 11405  -cneg 11406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  negneg  11472  negdi  11479  neg2sub  11482  subnegi  11501  subnegd  11540  recextlem1  11808  fzshftral  13576  shftval4  15043  sqreulem  15326  sqreu  15327  fsumshftm  15747  fsumcube  16026  eftlub  16077  summodnegmod  16256  shft2rab  25409  atandm2  26787  atandm4  26789  acosneg  26797  atanneg  26817  atancj  26820  atanlogadd  26824  atanlogsublem  26825  atanlogsub  26826  efiatan2  26827  2efiatan  26828  tanatan  26829  atans2  26841  dvatan  26845  atantayl  26847  wilthlem1  26978  wilthlem3  26980  wilthimp  26982  ftalem7  26989  ppiub  27115  2sqlem11  27340  2sqblem  27342  cos2h  37605  tan2h  37606  ftc1anclem5  37691  2pwp1prm  47590