Theorem shftmbl 24231

Description: A shift of a measurable set is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
shftmbl	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} ∈ dom vol)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shftmbl

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3985	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ)
3		elpwi 4504	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑦 ⊆ ℝ)
4		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ dom vol)
5		ssrab2 3985	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ⊆ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ⊆ ℝ)
7		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝑦 ⊆ ℝ)
8		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	renegcld 11098	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → -𝐵 ∈ ℝ)
10		eqidd 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦})
11	7, 9, 10	ovolshft 24204	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑦) = (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}))
12		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)
13	11, 12	eqeltrrd 2854	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) ∈ ℝ)
14		mblsplit 24225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) ∈ ℝ) → (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) = ((vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)) + (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴))))
15	4, 6, 13, 14	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) = ((vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)) + (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴))))
16		inss1 4134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}) ⊆ 𝑦
17	16, 7	sstrid 3904	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}) ⊆ ℝ)
18		mblss 24224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
19	4, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
20		eqidd 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})
21	19, 8, 20	shft2rab 24201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}})
22	21	ineq2d 4118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴) = ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}}))
23		inrab 4210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})}
24		elin 3875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}) ↔ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}))
25	24	rabbii 3386	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})}
26	23, 25	eqtr4i 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})}
27	22, 26	eqtrdi 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})})
28	17, 9, 27	ovolshft 24204	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) = (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)))
29	7	ssdifssd 4049	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}) ⊆ ℝ)
30	21	difeq2d 4029	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴) = ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}}))
31		difrab 4212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ ¬ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})}
32		eldif 3869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}) ↔ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ ¬ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}))
33	32	rabbii 3386	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ ¬ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})}
34	31, 33	eqtr4i 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})}
35	30, 34	eqtrdi 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})})
36	29, 9, 35	ovolshft 24204	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) = (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴)))
37	28, 36	oveq12d 7169	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}))) = ((vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)) + (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴))))
38	15, 11, 37	3eqtr4d 2804	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}))))
39	38	expr 461	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ⊆ ℝ) → ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})))))
40	3, 39	sylan2 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})))))
41	40	ralrimiva 3114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})))))
42		ismbl 24219	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} ∈ dom vol ↔ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}))))))
43	2, 41, 42	sylanbrc 587	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} ∈ dom vol)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  {crab 3075   ∖ cdif 3856   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  𝒫 cpw 4495  dom cdm 5525  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℝcr 10567   + caddc 10571   − cmin 10901  -cneg 10902  vol*covol 24155  volcvol 24156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-sup 8932  df-inf 8933  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-rp 12424  df-ioo 12776  df-ico 12778  df-icc 12779  df-fz 12933  df-seq 13412  df-exp 13473  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636  df-ovol 24157  df-vol 24158

This theorem is referenced by:  vitalilem4  24304  vitalilem5  24305