Theorem shftmbl 25507

Description: A shift of a measurable set is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
shftmbl	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} ∈ dom vol)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shftmbl

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4034	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ)
3		elpwi 4563	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑦 ⊆ ℝ)
4		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ dom vol)
5		ssrab2 4034	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ⊆ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ⊆ ℝ)
7		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝑦 ⊆ ℝ)
8		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	renegcld 11576	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → -𝐵 ∈ ℝ)
10		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦})
11	7, 9, 10	ovolshft 25480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑦) = (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}))
12		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)
13	11, 12	eqeltrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) ∈ ℝ)
14		mblsplit 25501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) ∈ ℝ) → (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) = ((vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)) + (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴))))
15	4, 6, 13, 14	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) = ((vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)) + (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴))))
16		inss1 4191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}) ⊆ 𝑦
17	16, 7	sstrid 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}) ⊆ ℝ)
18		mblss 25500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
19	4, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
20		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})
21	19, 8, 20	shft2rab 25477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}})
22	21	ineq2d 4174	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴) = ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}}))
23		inrab 4270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})}
24		elin 3919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}) ↔ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}))
25	24	rabbii 3406	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})}
26	23, 25	eqtr4i 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})}
27	22, 26	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})})
28	17, 9, 27	ovolshft 25480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) = (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)))
29	7	ssdifssd 4101	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}) ⊆ ℝ)
30	21	difeq2d 4080	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴) = ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}}))
31		difrab 4272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ ¬ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})}
32		eldif 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}) ↔ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ ¬ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}))
33	32	rabbii 3406	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ ¬ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})}
34	31, 33	eqtr4i 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})}
35	30, 34	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})})
36	29, 9, 35	ovolshft 25480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) = (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴)))
37	28, 36	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}))) = ((vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)) + (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴))))
38	15, 11, 37	3eqtr4d 2782	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}))))
39	38	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ⊆ ℝ) → ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})))))
40	3, 39	sylan2 594	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})))))
41	40	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})))))
42		ismbl 25495	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} ∈ dom vol ↔ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}))))))
43	2, 41, 42	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} ∈ dom vol)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3401   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037   + caddc 11041   − cmin 11376  -cneg 11377  vol*covol 25431  volcvol 25432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-ovol 25433  df-vol 25434

This theorem is referenced by:  vitalilem4  25580  vitalilem5  25581