Theorem shftmbl 25573

Description: A shift of a measurable set is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
shftmbl	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} ∈ dom vol)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shftmbl

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4080	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ)
3		elpwi 4607	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑦 ⊆ ℝ)
4		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ dom vol)
5		ssrab2 4080	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ⊆ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ⊆ ℝ)
7		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝑦 ⊆ ℝ)
8		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	renegcld 11690	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → -𝐵 ∈ ℝ)
10		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦})
11	7, 9, 10	ovolshft 25546	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑦) = (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}))
12		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)
13	11, 12	eqeltrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) ∈ ℝ)
14		mblsplit 25567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) ∈ ℝ) → (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) = ((vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)) + (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴))))
15	4, 6, 13, 14	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) = ((vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)) + (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴))))
16		inss1 4237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}) ⊆ 𝑦
17	16, 7	sstrid 3995	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}) ⊆ ℝ)
18		mblss 25566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
19	4, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
20		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})
21	19, 8, 20	shft2rab 25543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}})
22	21	ineq2d 4220	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴) = ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}}))
23		inrab 4316	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})}
24		elin 3967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}) ↔ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}))
25	24	rabbii 3442	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})}
26	23, 25	eqtr4i 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})}
27	22, 26	eqtrdi 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})})
28	17, 9, 27	ovolshft 25546	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) = (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)))
29	7	ssdifssd 4147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}) ⊆ ℝ)
30	21	difeq2d 4126	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴) = ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}}))
31		difrab 4318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ ¬ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})}
32		eldif 3961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}) ↔ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ ¬ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}))
33	32	rabbii 3442	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ ¬ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})}
34	31, 33	eqtr4i 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})}
35	30, 34	eqtrdi 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})})
36	29, 9, 35	ovolshft 25546	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) = (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴)))
37	28, 36	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}))) = ((vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)) + (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴))))
38	15, 11, 37	3eqtr4d 2787	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}))))
39	38	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ⊆ ℝ) → ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})))))
40	3, 39	sylan2 593	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})))))
41	40	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})))))
42		ismbl 25561	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} ∈ dom vol ↔ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴}))))))
43	2, 41, 42	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 − 𝐵) ∈ 𝐴} ∈ dom vol)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  {crab 3436   ∖ cdif 3948   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154   + caddc 11158   − cmin 11492  -cneg 11493  vol*covol 25497  volcvol 25498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-ovol 25499  df-vol 25500

This theorem is referenced by:  vitalilem4  25646  vitalilem5  25647