MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shftmbl 25387
Description: A shift of a measurable set is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
shftmbl ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴} ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shftmbl
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4077 . . 3 {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
21a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ)
3 elpwi 4609 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑦 ⊆ ℝ)
4 simpll 764 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ dom vol)
5 ssrab2 4077 . . . . . . . 8 {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ⊆ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ⊆ ℝ)
7 simprl 768 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝑦 ⊆ ℝ)
8 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
98renegcld 11648 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → -𝐵 ∈ ℝ)
10 eqidd 2732 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦})
117, 9, 10ovolshft 25360 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑦) = (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}))
12 simprr 770 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)
1311, 12eqeltrrd 2833 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) ∈ ℝ)
14 mblsplit 25381 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) ∈ ℝ) → (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) = ((vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)) + (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴))))
154, 6, 13, 14syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) = ((vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)) + (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴))))
16 inss1 4228 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}) ⊆ 𝑦
1716, 7sstrid 3993 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}) ⊆ ℝ)
18 mblss 25380 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
194, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
20 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})
2119, 8, 20shft2rab 25357 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}})
2221ineq2d 4212 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴) = ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}}))
23 inrab 4306 . . . . . . . . . 10 ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})}
24 elin 3964 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}) ↔ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}))
2524rabbii 3437 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})}
2623, 25eqtr4i 2762 . . . . . . . . 9 ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})}
2722, 26eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})})
2817, 9, 27ovolshft 25360 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})) = (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)))
297ssdifssd 4142 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}) ⊆ ℝ)
3021difeq2d 4122 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴) = ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}}))
31 difrab 4308 . . . . . . . . . 10 ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ ¬ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})}
32 eldif 3958 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}) ↔ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ ¬ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}))
3332rabbii 3437 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ ¬ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})}
3431, 33eqtr4i 2762 . . . . . . . . 9 ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})}
3530, 34eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})})
3629, 9, 35ovolshft 25360 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})) = (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴)))
3728, 36oveq12d 7430 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}))) = ((vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)) + (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴))))
3815, 11, 373eqtr4d 2781 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}))))
3938expr 456 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ⊆ ℝ) → ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})))))
403, 39sylan2 592 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})))))
4140ralrimiva 3145 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})))))
42 ismbl 25375 . 2 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴} ∈ dom vol ↔ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}))))))
432, 41, 42sylanbrc 582 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴} ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  {crab 3431  cdif 3945  cin 3947  wss 3948  𝒫 cpw 4602  dom cdm 5676  cfv 6543  (class class class)co 7412  cr 11115   + caddc 11119  cmin 11451  -cneg 11452  vol*covol 25311  volcvol 25312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-ioo 13335  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-ovol 25313  df-vol 25314
This theorem is referenced by:  vitalilem4  25460  vitalilem5  25461
  Copyright terms: Public domain W3C validator