Theorem slemul2d 28215

Description: Multiplication of both sides of surreal less-than or equal by a positive number. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltmul12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltmul12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltmul12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltmul12d.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
slemul2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐴) ≤s (𝐶 ·s 𝐵)))

Proof of Theorem slemul2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltmul12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		sltmul12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		sltmul12d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		sltmul12d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	sltmul2d 28213	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 <s 𝐴 ↔ (𝐶 ·s 𝐵) <s (𝐶 ·s 𝐴)))
6	5	notbid 318	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐶 ·s 𝐵) <s (𝐶 ·s 𝐴)))
7		slenlt 27812	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
8	2, 1, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
9	3, 2	mulscld 28176	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s 𝐴) ∈ No )
10	3, 1	mulscld 28176	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s 𝐵) ∈ No )
11		slenlt 27812	. . 3 ⊢ (((𝐶 ·s 𝐴) ∈ No ∧ (𝐶 ·s 𝐵) ∈ No ) → ((𝐶 ·s 𝐴) ≤s (𝐶 ·s 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ·s 𝐵) <s (𝐶 ·s 𝐴)))
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s 𝐴) ≤s (𝐶 ·s 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ·s 𝐵) <s (𝐶 ·s 𝐴)))
13	6, 8, 12	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐴) ≤s (𝐶 ·s 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431   No csur 27699   <s cslt 27700   ≤s csle 27804   0_s c0s 27882   ·_s cmuls 28147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-1o 8505  df-2o 8506  df-nadd 8703  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sle 27805  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-0s 27884  df-made 27901  df-old 27902  df-left 27904  df-right 27905  df-norec 27986  df-norec2 27997  df-adds 28008  df-negs 28068  df-subs 28069  df-muls 28148

This theorem is referenced by: (None)