Theorem slemul2d 28067

Description: Multiplication of both sides of surreal less-than or equal by a positive number. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltmul12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltmul12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltmul12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltmul12d.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
slemul2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐴) ≤s (𝐶 ·s 𝐵)))

Proof of Theorem slemul2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltmul12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		sltmul12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		sltmul12d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		sltmul12d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	sltmul2d 28065	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 <s 𝐴 ↔ (𝐶 ·s 𝐵) <s (𝐶 ·s 𝐴)))
6	5	notbid 318	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐶 ·s 𝐵) <s (𝐶 ·s 𝐴)))
7		slenlt 27645	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
8	2, 1, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
9	3, 2	mulscld 28028	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s 𝐴) ∈ No )
10	3, 1	mulscld 28028	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s 𝐵) ∈ No )
11		slenlt 27645	. . 3 ⊢ (((𝐶 ·s 𝐴) ∈ No ∧ (𝐶 ·s 𝐵) ∈ No ) → ((𝐶 ·s 𝐴) ≤s (𝐶 ·s 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ·s 𝐵) <s (𝐶 ·s 𝐴)))
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s 𝐴) ≤s (𝐶 ·s 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ·s 𝐵) <s (𝐶 ·s 𝐴)))
13	6, 8, 12	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐴) ≤s (𝐶 ·s 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5088  (class class class)co 7340   No csur 27532   <s cslt 27533   ≤s csle 27637   0_s c0s 27720   ·_s cmuls 27999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-1o 8379  df-2o 8380  df-nadd 8575  df-no 27535  df-slt 27536  df-bday 27537  df-sle 27638  df-sslt 27675  df-scut 27677  df-0s 27722  df-made 27742  df-old 27743  df-left 27745  df-right 27746  df-norec 27835  df-norec2 27846  df-adds 27857  df-negs 27917  df-subs 27918  df-muls 28000

This theorem is referenced by:  pw2ge0divsd  28323