Theorem sltmul2d 28103

Description: Multiplication of both sides of surreal less-than by a positive number. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltmul12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltmul12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltmul12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltmul12d.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sltmul2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐴) <s (𝐶 ·s 𝐵)))

Proof of Theorem sltmul2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltmul12d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		sltmul12d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
3		sltmul12d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		sltmul12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5		sltmul2 28102	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ No ∧ 0s <s 𝐶) ∧ 𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐴) <s (𝐶 ·s 𝐵)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl211anc 1377	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐴) <s (𝐶 ·s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5117  (class class class)co 7400   No csur 27589   <s cslt 27590   0_s c0s 27772   ·_s cmuls 28037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-ot 4608  df-uni 4882  df-int 4921  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-1o 8475  df-2o 8476  df-nadd 8673  df-no 27592  df-slt 27593  df-bday 27594  df-sle 27695  df-sslt 27731  df-scut 27733  df-0s 27774  df-made 27791  df-old 27792  df-left 27794  df-right 27795  df-norec 27876  df-norec2 27887  df-adds 27898  df-negs 27958  df-subs 27959  df-muls 28038

This theorem is referenced by:  sltmul1d  28104  slemul2d  28105  sltmul12ad  28114  sltdivmulwd  28129  precsexlem9  28144  precsexlem10  28145  halfcut  28321