MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slemul1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slemul1d 27538
Description: Multiplication of both sides of surreal less-than or equal by a positive number. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
sltmul12d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
sltmul12d.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
sltmul12d.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
sltmul12d.4 (๐œ‘ โ†’ 0s <s ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
slemul1d (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰คs ๐ต โ†” (๐ด ยทs ๐ถ) โ‰คs (๐ต ยทs ๐ถ)))

Proof of Theorem slemul1d
StepHypRef Expression
1 sltmul12d.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
2 sltmul12d.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
3 sltmul12d.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
4 sltmul12d.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0s <s ๐ถ)
51, 2, 3, 4sltmul1d 27536 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต <s ๐ด โ†” (๐ต ยทs ๐ถ) <s (๐ด ยทs ๐ถ)))
65notbid 317 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐ต <s ๐ด โ†” ยฌ (๐ต ยทs ๐ถ) <s (๐ด ยทs ๐ถ)))
7 slenlt 27182 . . 3 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โ†’ (๐ด โ‰คs ๐ต โ†” ยฌ ๐ต <s ๐ด))
82, 1, 7syl2anc 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰คs ๐ต โ†” ยฌ ๐ต <s ๐ด))
92, 3mulscld 27504 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โˆˆ No )
101, 3mulscld 27504 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทs ๐ถ) โˆˆ No )
11 slenlt 27182 . . 3 (((๐ด ยทs ๐ถ) โˆˆ No โˆง (๐ต ยทs ๐ถ) โˆˆ No ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ถ) โ‰คs (๐ต ยทs ๐ถ) โ†” ยฌ (๐ต ยทs ๐ถ) <s (๐ด ยทs ๐ถ)))
129, 10, 11syl2anc 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ถ) โ‰คs (๐ต ยทs ๐ถ) โ†” ยฌ (๐ต ยทs ๐ถ) <s (๐ด ยทs ๐ถ)))
136, 8, 123bitr4d 310 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰คs ๐ต โ†” (๐ด ยทs ๐ถ) โ‰คs (๐ต ยทs ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5141  (class class class)co 7393   No csur 27070   <s cslt 27071   โ‰คs csle 27174   0s c0s 27249   ยทs cmuls 27476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-ot 4631  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-1o 8448  df-2o 8449  df-nadd 8648  df-no 27073  df-slt 27074  df-bday 27075  df-sle 27175  df-sslt 27209  df-scut 27211  df-0s 27251  df-made 27265  df-old 27266  df-left 27268  df-right 27269  df-norec 27338  df-norec2 27349  df-adds 27360  df-negs 27412  df-subs 27413  df-muls 27477
This theorem is referenced by:  mulscan2dlem  27539
  Copyright terms: Public domain W3C validator