Theorem slemul1d 28221

Description: Multiplication of both sides of surreal less-than or equal by a positive number. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltmul12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltmul12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltmul12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltmul12d.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
slemul1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem slemul1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltmul12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		sltmul12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		sltmul12d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		sltmul12d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	sltmul1d 28219	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 <s 𝐴 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))
6	5	notbid 318	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))
7		slenlt 27817	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
8	2, 1, 7	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
9	2, 3	mulscld 28181	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
10	1, 3	mulscld 28181	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No )
11		slenlt 27817	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·s 𝐶) ∈ No ∧ (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No ) → ((𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))
12	9, 10, 11	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))
13	6, 8, 12	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7450   No csur 27704   <s cslt 27705   ≤s csle 27809   0_s c0s 27887   ·_s cmuls 28152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-1o 8524  df-2o 8525  df-nadd 8724  df-no 27707  df-slt 27708  df-bday 27709  df-sle 27810  df-sslt 27846  df-scut 27848  df-0s 27889  df-made 27906  df-old 27907  df-left 27909  df-right 27910  df-norec 27991  df-norec2 28002  df-adds 28013  df-negs 28073  df-subs 28074  df-muls 28153

This theorem is referenced by:  mulscan2dlem  28224  slemul1ad  28228