Theorem slemul1d 28137

Description: Multiplication of both sides of surreal less-than or equal by a positive number. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltmul12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltmul12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltmul12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltmul12d.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
slemul1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem slemul1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltmul12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		sltmul12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		sltmul12d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		sltmul12d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	sltmul1d 28135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 <s 𝐴 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))
6	5	notbid 318	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))
7		slenlt 27733	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
8	2, 1, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
9	2, 3	mulscld 28097	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
10	1, 3	mulscld 28097	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No )
11		slenlt 27733	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·s 𝐶) ∈ No ∧ (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No ) → ((𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))
13	6, 8, 12	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5123  (class class class)co 7413   No csur 27620   <s cslt 27621   ≤s csle 27725   0_s c0s 27803   ·_s cmuls 28068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-1o 8488  df-2o 8489  df-nadd 8686  df-no 27623  df-slt 27624  df-bday 27625  df-sle 27726  df-sslt 27762  df-scut 27764  df-0s 27805  df-made 27822  df-old 27823  df-left 27825  df-right 27826  df-norec 27907  df-norec2 27918  df-adds 27929  df-negs 27989  df-subs 27990  df-muls 28069

This theorem is referenced by:  mulscan2dlem  28140  slemul1ad  28144