MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subadd2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subadd2i 10664
Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 15-Dec-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
negidi.1 𝐴 ∈ ℂ
pncan3i.2 𝐵 ∈ ℂ
subadd.3 𝐶 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
subadd2i ((𝐴𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐶 + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem subadd2i
StepHypRef Expression
1 negidi.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 pncan3i.2 . 2 𝐵 ∈ ℂ
3 subadd.3 . 2 𝐶 ∈ ℂ
4 subadd2 10580 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐶 + 𝐵) = 𝐴))
51, 2, 3, 4mp3an 1578 1 ((𝐴𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐶 + 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197   = wceq 1637  wcel 2157  (class class class)co 6884  cc 10229   + caddc 10234  cmin 10561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-id 5232  df-po 5245  df-so 5246  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-ltxr 10374  df-sub 10563
This theorem is referenced by:  ixi  10951  nummac  11824  cos1bnd  15157  cos2bnd  15158  pockthi  15848  mod2xnegi  16012  modsubi  16013  prmo4  16066  prmo5  16067  prmo6  16068  sincos6thpi  24505  problem4  31906  quad3  31908  m3prm  42099  m7prm  42109  evengpop3  42279
  Copyright terms: Public domain W3C validator