MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nummac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nummac 12142
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
nummac.8 𝑃 ∈ ℕ0
nummac.9 𝐹 ∈ ℕ0
nummac.10 𝐺 ∈ ℕ0
nummac.11 ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
nummac.12 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
Assertion
Ref Expression
nummac ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem nummac
StepHypRef Expression
1 numma.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ0
21nn0cni 11908 . . . 4 𝑇 ∈ ℂ
3 numma.2 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℕ0
43nn0cni 11908 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℂ
5 nummac.8 . . . . . . . . 9 𝑃 ∈ ℕ0
65nn0cni 11908 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ ℂ
74, 6mulcli 10648 . . . . . . 7 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
8 numma.4 . . . . . . . 8 𝐶 ∈ ℕ0
98nn0cni 11908 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℂ
10 nummac.10 . . . . . . . 8 𝐺 ∈ ℕ0
1110nn0cni 11908 . . . . . . 7 𝐺 ∈ ℂ
127, 9, 11addassi 10651 . . . . . 6 (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺))
13 nummac.11 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
1412, 13eqtri 2847 . . . . 5 (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸
157, 9addcli 10647 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ∈ ℂ
1615, 11addcli 10647 . . . . 5 (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) ∈ ℂ
1714, 16eqeltrri 2913 . . . 4 𝐸 ∈ ℂ
182, 17, 11subdii 11089 . . 3 (𝑇 · (𝐸𝐺)) = ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺))
1918oveq1i 7161 . 2 ((𝑇 · (𝐸𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
20 numma.3 . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
21 numma.5 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
22 numma.6 . . 3 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
23 numma.7 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
2417, 11, 15subadd2i 10974 . . . . 5 ((𝐸𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸)
2514, 24mpbir 234 . . . 4 (𝐸𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)
2625eqcomi 2833 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = (𝐸𝐺)
27 nummac.12 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
281, 3, 20, 8, 21, 22, 23, 5, 26, 27numma 12141 . 2 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · (𝐸𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
292, 17mulcli 10648 . . . . 5 (𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ
302, 11mulcli 10648 . . . . 5 (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ
31 npcan 10895 . . . . 5 (((𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ) → (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸))
3229, 30, 31mp2an 691 . . . 4 (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸)
3332oveq1i 7161 . . 3 ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
3429, 30subcli 10962 . . . 4 ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) ∈ ℂ
35 nummac.9 . . . . 5 𝐹 ∈ ℕ0
3635nn0cni 11908 . . . 4 𝐹 ∈ ℂ
3734, 30, 36addassi 10651 . . 3 ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
3833, 37eqtr3i 2849 . 2 ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
3919, 28, 383eqtr4i 2857 1 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7151  cc 10535   + caddc 10540   · cmul 10542  cmin 10870  0cn0 11896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872  df-nn 11637  df-n0 11897
This theorem is referenced by:  numma2c  12143  numaddc  12145  nummul1c  12146  decmac  12149
  Copyright terms: Public domain W3C validator