MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nummac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nummac 12753
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers ๐‘€ and ๐‘ against a fixed multiplicand ๐‘ƒ (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
numma.2 ๐ด โˆˆ โ„•0
numma.3 ๐ต โˆˆ โ„•0
numma.4 ๐ถ โˆˆ โ„•0
numma.5 ๐ท โˆˆ โ„•0
numma.6 ๐‘€ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
numma.7 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
nummac.8 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
nummac.9 ๐น โˆˆ โ„•0
nummac.10 ๐บ โˆˆ โ„•0
nummac.11 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + (๐ถ + ๐บ)) = ๐ธ
nummac.12 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท) = ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น)
Assertion
Ref Expression
nummac ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)

Proof of Theorem nummac
StepHypRef Expression
1 numma.1 . . . . 5 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
21nn0cni 12515 . . . 4 ๐‘‡ โˆˆ โ„‚
3 numma.2 . . . . . . . . 9 ๐ด โˆˆ โ„•0
43nn0cni 12515 . . . . . . . 8 ๐ด โˆˆ โ„‚
5 nummac.8 . . . . . . . . 9 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
65nn0cni 12515 . . . . . . . 8 ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚
74, 6mulcli 11252 . . . . . . 7 (๐ด ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚
8 numma.4 . . . . . . . 8 ๐ถ โˆˆ โ„•0
98nn0cni 12515 . . . . . . 7 ๐ถ โˆˆ โ„‚
10 nummac.10 . . . . . . . 8 ๐บ โˆˆ โ„•0
1110nn0cni 12515 . . . . . . 7 ๐บ โˆˆ โ„‚
127, 9, 11addassi 11255 . . . . . 6 (((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) + ๐บ) = ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + (๐ถ + ๐บ))
13 nummac.11 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + (๐ถ + ๐บ)) = ๐ธ
1412, 13eqtri 2756 . . . . 5 (((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) + ๐บ) = ๐ธ
157, 9addcli 11251 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) โˆˆ โ„‚
1615, 11addcli 11251 . . . . 5 (((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) + ๐บ) โˆˆ โ„‚
1714, 16eqeltrri 2826 . . . 4 ๐ธ โˆˆ โ„‚
182, 17, 11subdii 11694 . . 3 (๐‘‡ ยท (๐ธ โˆ’ ๐บ)) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐บ))
1918oveq1i 7430 . 2 ((๐‘‡ ยท (๐ธ โˆ’ ๐บ)) + ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น)) = (((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐บ)) + ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น))
20 numma.3 . . 3 ๐ต โˆˆ โ„•0
21 numma.5 . . 3 ๐ท โˆˆ โ„•0
22 numma.6 . . 3 ๐‘€ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
23 numma.7 . . 3 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
2417, 11, 15subadd2i 11579 . . . . 5 ((๐ธ โˆ’ ๐บ) = ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) โ†” (((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) + ๐บ) = ๐ธ)
2514, 24mpbir 230 . . . 4 (๐ธ โˆ’ ๐บ) = ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)
2625eqcomi 2737 . . 3 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) = (๐ธ โˆ’ ๐บ)
27 nummac.12 . . 3 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท) = ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น)
281, 3, 20, 8, 21, 22, 23, 5, 26, 27numma 12752 . 2 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท (๐ธ โˆ’ ๐บ)) + ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น))
292, 17mulcli 11252 . . . . 5 (๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚
302, 11mulcli 11252 . . . . 5 (๐‘‡ ยท ๐บ) โˆˆ โ„‚
31 npcan 11500 . . . . 5 (((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ ยท ๐บ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐บ)) + (๐‘‡ ยท ๐บ)) = (๐‘‡ ยท ๐ธ))
3229, 30, 31mp2an 691 . . . 4 (((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐บ)) + (๐‘‡ ยท ๐บ)) = (๐‘‡ ยท ๐ธ)
3332oveq1i 7430 . . 3 ((((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐บ)) + (๐‘‡ ยท ๐บ)) + ๐น) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)
3429, 30subcli 11567 . . . 4 ((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐บ)) โˆˆ โ„‚
35 nummac.9 . . . . 5 ๐น โˆˆ โ„•0
3635nn0cni 12515 . . . 4 ๐น โˆˆ โ„‚
3734, 30, 36addassi 11255 . . 3 ((((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐บ)) + (๐‘‡ ยท ๐บ)) + ๐น) = (((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐บ)) + ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น))
3833, 37eqtr3i 2758 . 2 ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น) = (((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐บ)) + ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น))
3919, 28, 383eqtr4i 2766 1 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137   + caddc 11142   ยท cmul 11144   โˆ’ cmin 11475  โ„•0cn0 12503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-sub 11477  df-nn 12244  df-n0 12504
This theorem is referenced by:  numma2c  12754  numaddc  12756  nummul1c  12757  decmac  12760
  Copyright terms: Public domain W3C validator