Theorem nummac 12694

Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
nummac.8	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
nummac.9	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
nummac.10	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
nummac.11	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
nummac.12	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
nummac	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem nummac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 12454	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
3		numma.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		nummac.8	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 12454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
7	4, 6	mulcli 11181	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
8		numma.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 12454	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
10		nummac.10	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 12454	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
12	7, 9, 11	addassi 11184	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺))
13		nummac.11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
14	12, 13	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸
15	7, 9	addcli 11180	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ∈ ℂ
16	15, 11	addcli 11180	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) ∈ ℂ
17	14, 16	eqeltrri 2825	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ ℂ
18	2, 17, 11	subdii 11627	. . 3 ⊢ (𝑇 · (𝐸 − 𝐺)) = ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺))
19	18	oveq1i 7397	. 2 ⊢ ((𝑇 · (𝐸 − 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
20		numma.3	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
21		numma.5	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
22		numma.6	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
23		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
24	17, 11, 15	subadd2i 11510	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 − 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸)
25	14, 24	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (𝐸 − 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)
26	25	eqcomi 2738	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = (𝐸 − 𝐺)
27		nummac.12	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
28	1, 3, 20, 8, 21, 22, 23, 5, 26, 27	numma 12693	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · (𝐸 − 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
29	2, 17	mulcli 11181	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ
30	2, 11	mulcli 11181	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ
31		npcan 11430	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ) → (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸))
32	29, 30, 31	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸)
33	32	oveq1i 7397	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
34	29, 30	subcli 11498	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) ∈ ℂ
35		nummac.9	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
36	35	nn0cni 12454	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ ℂ
37	34, 30, 36	addassi 11184	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
38	33, 37	eqtr3i 2754	. 2 ⊢ ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
39	19, 28, 38	3eqtr4i 2762	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  ℕ₀cn0 12442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-nn 12187  df-n0 12443

This theorem is referenced by:  numma2c  12695  numaddc  12697  nummul1c  12698  decmac  12701