Theorem nummac 12650

Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
nummac.8	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
nummac.9	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
nummac.10	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
nummac.11	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
nummac.12	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
nummac	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem nummac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 12411	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
3		numma.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12411	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		nummac.8	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 12411	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
7	4, 6	mulcli 11137	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
8		numma.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 12411	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
10		nummac.10	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 12411	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
12	7, 9, 11	addassi 11140	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺))
13		nummac.11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
14	12, 13	eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸
15	7, 9	addcli 11136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ∈ ℂ
16	15, 11	addcli 11136	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) ∈ ℂ
17	14, 16	eqeltrri 2831	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ ℂ
18	2, 17, 11	subdii 11584	. . 3 ⊢ (𝑇 · (𝐸 − 𝐺)) = ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺))
19	18	oveq1i 7366	. 2 ⊢ ((𝑇 · (𝐸 − 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
20		numma.3	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
21		numma.5	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
22		numma.6	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
23		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
24	17, 11, 15	subadd2i 11467	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 − 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸)
25	14, 24	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (𝐸 − 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)
26	25	eqcomi 2743	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = (𝐸 − 𝐺)
27		nummac.12	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
28	1, 3, 20, 8, 21, 22, 23, 5, 26, 27	numma 12649	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · (𝐸 − 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
29	2, 17	mulcli 11137	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ
30	2, 11	mulcli 11137	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ
31		npcan 11387	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ) → (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸))
32	29, 30, 31	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸)
33	32	oveq1i 7366	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
34	29, 30	subcli 11455	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) ∈ ℂ
35		nummac.9	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
36	35	nn0cni 12411	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ ℂ
37	34, 30, 36	addassi 11140	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
38	33, 37	eqtr3i 2759	. 2 ⊢ ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
39	19, 28, 38	3eqtr4i 2767	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  ℂcc 11022   + caddc 11027   · cmul 11029   − cmin 11362  ℕ₀cn0 12399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-sub 11364  df-nn 12144  df-n0 12400

This theorem is referenced by:  numma2c  12651  numaddc  12653  nummul1c  12654  decmac  12657