Theorem nummac 12670

Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
nummac.8	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
nummac.9	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
nummac.10	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
nummac.11	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
nummac.12	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
nummac	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem nummac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 12430	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
3		numma.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12430	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		nummac.8	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 12430	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
7	4, 6	mulcli 11157	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
8		numma.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 12430	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
10		nummac.10	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 12430	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
12	7, 9, 11	addassi 11160	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺))
13		nummac.11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
14	12, 13	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸
15	7, 9	addcli 11156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ∈ ℂ
16	15, 11	addcli 11156	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) ∈ ℂ
17	14, 16	eqeltrri 2825	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ ℂ
18	2, 17, 11	subdii 11603	. . 3 ⊢ (𝑇 · (𝐸 − 𝐺)) = ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺))
19	18	oveq1i 7379	. 2 ⊢ ((𝑇 · (𝐸 − 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
20		numma.3	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
21		numma.5	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
22		numma.6	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
23		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
24	17, 11, 15	subadd2i 11486	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 − 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸)
25	14, 24	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (𝐸 − 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)
26	25	eqcomi 2738	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = (𝐸 − 𝐺)
27		nummac.12	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
28	1, 3, 20, 8, 21, 22, 23, 5, 26, 27	numma 12669	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · (𝐸 − 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
29	2, 17	mulcli 11157	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ
30	2, 11	mulcli 11157	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ
31		npcan 11406	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ) → (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸))
32	29, 30, 31	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸)
33	32	oveq1i 7379	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
34	29, 30	subcli 11474	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) ∈ ℂ
35		nummac.9	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
36	35	nn0cni 12430	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ ℂ
37	34, 30, 36	addassi 11160	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
38	33, 37	eqtr3i 2754	. 2 ⊢ ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
39	19, 28, 38	3eqtr4i 2762	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℂcc 11042   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381  ℕ₀cn0 12418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-nn 12163  df-n0 12419

This theorem is referenced by:  numma2c  12671  numaddc  12673  nummul1c  12674  decmac  12677