MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nummac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nummac 12721
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers ๐‘€ and ๐‘ against a fixed multiplicand ๐‘ƒ (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
numma.2 ๐ด โˆˆ โ„•0
numma.3 ๐ต โˆˆ โ„•0
numma.4 ๐ถ โˆˆ โ„•0
numma.5 ๐ท โˆˆ โ„•0
numma.6 ๐‘€ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
numma.7 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
nummac.8 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
nummac.9 ๐น โˆˆ โ„•0
nummac.10 ๐บ โˆˆ โ„•0
nummac.11 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + (๐ถ + ๐บ)) = ๐ธ
nummac.12 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท) = ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น)
Assertion
Ref Expression
nummac ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)

Proof of Theorem nummac
StepHypRef Expression
1 numma.1 . . . . 5 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
21nn0cni 12483 . . . 4 ๐‘‡ โˆˆ โ„‚
3 numma.2 . . . . . . . . 9 ๐ด โˆˆ โ„•0
43nn0cni 12483 . . . . . . . 8 ๐ด โˆˆ โ„‚
5 nummac.8 . . . . . . . . 9 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
65nn0cni 12483 . . . . . . . 8 ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚
74, 6mulcli 11220 . . . . . . 7 (๐ด ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚
8 numma.4 . . . . . . . 8 ๐ถ โˆˆ โ„•0
98nn0cni 12483 . . . . . . 7 ๐ถ โˆˆ โ„‚
10 nummac.10 . . . . . . . 8 ๐บ โˆˆ โ„•0
1110nn0cni 12483 . . . . . . 7 ๐บ โˆˆ โ„‚
127, 9, 11addassi 11223 . . . . . 6 (((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) + ๐บ) = ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + (๐ถ + ๐บ))
13 nummac.11 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + (๐ถ + ๐บ)) = ๐ธ
1412, 13eqtri 2752 . . . . 5 (((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) + ๐บ) = ๐ธ
157, 9addcli 11219 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) โˆˆ โ„‚
1615, 11addcli 11219 . . . . 5 (((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) + ๐บ) โˆˆ โ„‚
1714, 16eqeltrri 2822 . . . 4 ๐ธ โˆˆ โ„‚
182, 17, 11subdii 11662 . . 3 (๐‘‡ ยท (๐ธ โˆ’ ๐บ)) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐บ))
1918oveq1i 7412 . 2 ((๐‘‡ ยท (๐ธ โˆ’ ๐บ)) + ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น)) = (((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐บ)) + ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น))
20 numma.3 . . 3 ๐ต โˆˆ โ„•0
21 numma.5 . . 3 ๐ท โˆˆ โ„•0
22 numma.6 . . 3 ๐‘€ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
23 numma.7 . . 3 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
2417, 11, 15subadd2i 11547 . . . . 5 ((๐ธ โˆ’ ๐บ) = ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) โ†” (((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) + ๐บ) = ๐ธ)
2514, 24mpbir 230 . . . 4 (๐ธ โˆ’ ๐บ) = ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)
2625eqcomi 2733 . . 3 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) = (๐ธ โˆ’ ๐บ)
27 nummac.12 . . 3 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท) = ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น)
281, 3, 20, 8, 21, 22, 23, 5, 26, 27numma 12720 . 2 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท (๐ธ โˆ’ ๐บ)) + ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น))
292, 17mulcli 11220 . . . . 5 (๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚
302, 11mulcli 11220 . . . . 5 (๐‘‡ ยท ๐บ) โˆˆ โ„‚
31 npcan 11468 . . . . 5 (((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ ยท ๐บ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐บ)) + (๐‘‡ ยท ๐บ)) = (๐‘‡ ยท ๐ธ))
3229, 30, 31mp2an 689 . . . 4 (((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐บ)) + (๐‘‡ ยท ๐บ)) = (๐‘‡ ยท ๐ธ)
3332oveq1i 7412 . . 3 ((((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐บ)) + (๐‘‡ ยท ๐บ)) + ๐น) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)
3429, 30subcli 11535 . . . 4 ((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐บ)) โˆˆ โ„‚
35 nummac.9 . . . . 5 ๐น โˆˆ โ„•0
3635nn0cni 12483 . . . 4 ๐น โˆˆ โ„‚
3734, 30, 36addassi 11223 . . 3 ((((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐บ)) + (๐‘‡ ยท ๐บ)) + ๐น) = (((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐บ)) + ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น))
3833, 37eqtr3i 2754 . 2 ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น) = (((๐‘‡ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐บ)) + ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น))
3919, 28, 383eqtr4i 2762 1 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105   + caddc 11110   ยท cmul 11112   โˆ’ cmin 11443  โ„•0cn0 12471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-nn 12212  df-n0 12472
This theorem is referenced by:  numma2c  12722  numaddc  12724  nummul1c  12725  decmac  12728
  Copyright terms: Public domain W3C validator