Theorem modsubi 17043

Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
modsubi.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
modsubi.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
modsubi.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
modsubi.4	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
modsubi.6	⊢ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modsubi.5	⊢ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾

Assertion

Ref	Expression
modsubi	⊢ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modsubi.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2	1	nnrei 12183	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		modsubi.5	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾
4		modsubi.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
5		modsubi.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6	4, 5	nn0addcli 12474	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 𝐵) ∈ ℕ0
7	6	nn0rei 12448	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 𝐵) ∈ ℝ
8	3, 7	eqeltrri 2833	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
9	2, 8	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)
10	5	nn0rei 12448	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
11	10	renegcli 11455	. . . 4 ⊢ -𝐵 ∈ ℝ
12		modsubi.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
13		nnrp 12954	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ+
15	11, 14	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)
16		modsubi.6	. . 3 ⊢ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
17		modadd1 13867	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁))
18	9, 15, 16, 17	mp3an 1464	. 2 ⊢ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁)
19	1	nncni 12184	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
20	5	nn0cni 12449	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
21	19, 20	negsubi 11472	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵)
22	21	oveq1i 7377	. 2 ⊢ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁)
23	8	recni 11159	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
24	23, 20	negsubi 11472	. . . 4 ⊢ (𝐾 + -𝐵) = (𝐾 − 𝐵)
25	4	nn0cni 12449	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
26	23, 20, 25	subadd2i 11482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 − 𝐵) = 𝑀 ↔ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾)
27	3, 26	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (𝐾 − 𝐵) = 𝑀
28	24, 27	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (𝐾 + -𝐵) = 𝑀
29	28	oveq1i 7377	. 2 ⊢ ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
30	18, 22, 29	3eqtr3i 2767	1 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   + caddc 11041   − cmin 11377  -cneg 11378  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℝ⁺crp 12942   mod cmo 13828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fl 13751  df-mod 13829

This theorem is referenced by:  1259lem5  17105  2503lem3  17109  4001lem4  17114