Theorem modsubi 17049

Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
modsubi.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
modsubi.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
modsubi.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
modsubi.4	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
modsubi.6	⊢ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modsubi.5	⊢ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾

Assertion

Ref	Expression
modsubi	⊢ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modsubi.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2	1	nnrei 12196	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		modsubi.5	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾
4		modsubi.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
5		modsubi.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6	4, 5	nn0addcli 12485	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 𝐵) ∈ ℕ0
7	6	nn0rei 12459	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 𝐵) ∈ ℝ
8	3, 7	eqeltrri 2826	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
9	2, 8	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)
10	5	nn0rei 12459	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
11	10	renegcli 11489	. . . 4 ⊢ -𝐵 ∈ ℝ
12		modsubi.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
13		nnrp 12969	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ+
15	11, 14	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)
16		modsubi.6	. . 3 ⊢ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
17		modadd1 13876	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁))
18	9, 15, 16, 17	mp3an 1463	. 2 ⊢ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁)
19	1	nncni 12197	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
20	5	nn0cni 12460	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
21	19, 20	negsubi 11506	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵)
22	21	oveq1i 7399	. 2 ⊢ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁)
23	8	recni 11194	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
24	23, 20	negsubi 11506	. . . 4 ⊢ (𝐾 + -𝐵) = (𝐾 − 𝐵)
25	4	nn0cni 12460	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
26	23, 20, 25	subadd2i 11516	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 − 𝐵) = 𝑀 ↔ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾)
27	3, 26	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (𝐾 − 𝐵) = 𝑀
28	24, 27	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (𝐾 + -𝐵) = 𝑀
29	28	oveq1i 7399	. 2 ⊢ ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
30	18, 22, 29	3eqtr3i 2761	1 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7389  ℝcr 11073   + caddc 11077   − cmin 11411  -cneg 11412  ℕcn 12187  ℕ₀cn0 12448  ℝ⁺crp 12957   mod cmo 13837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fl 13760  df-mod 13838

This theorem is referenced by:  1259lem5  17111  2503lem3  17115  4001lem4  17120