MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modsubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modsubi 16406
Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
modsubi.1 𝑁 ∈ ℕ
modsubi.2 𝐴 ∈ ℕ
modsubi.3 𝐵 ∈ ℕ0
modsubi.4 𝑀 ∈ ℕ0
modsubi.6 (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modsubi.5 (𝑀 + 𝐵) = 𝐾
Assertion
Ref Expression
modsubi ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modsubi
StepHypRef Expression
1 modsubi.2 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ
21nnrei 11643 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
3 modsubi.5 . . . . 5 (𝑀 + 𝐵) = 𝐾
4 modsubi.4 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ0
5 modsubi.3 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
64, 5nn0addcli 11931 . . . . . 6 (𝑀 + 𝐵) ∈ ℕ0
76nn0rei 11905 . . . . 5 (𝑀 + 𝐵) ∈ ℝ
83, 7eqeltrri 2913 . . . 4 𝐾 ∈ ℝ
92, 8pm3.2i 474 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)
105nn0rei 11905 . . . . 5 𝐵 ∈ ℝ
1110renegcli 10945 . . . 4 -𝐵 ∈ ℝ
12 modsubi.1 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ
13 nnrp 12397 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 𝑁 ∈ ℝ+
1511, 14pm3.2i 474 . . 3 (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)
16 modsubi.6 . . 3 (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
17 modadd1 13280 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁))
189, 15, 16, 17mp3an 1458 . 2 ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁)
191nncni 11644 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
205nn0cni 11906 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
2119, 20negsubi 10962 . . 3 (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵)
2221oveq1i 7159 . 2 ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴𝐵) mod 𝑁)
238recni 10653 . . . . 5 𝐾 ∈ ℂ
2423, 20negsubi 10962 . . . 4 (𝐾 + -𝐵) = (𝐾𝐵)
254nn0cni 11906 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℂ
2623, 20, 25subadd2i 10972 . . . . 5 ((𝐾𝐵) = 𝑀 ↔ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾)
273, 26mpbir 234 . . . 4 (𝐾𝐵) = 𝑀
2824, 27eqtri 2847 . . 3 (𝐾 + -𝐵) = 𝑀
2928oveq1i 7159 . 2 ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
3018, 22, 293eqtr3i 2855 1 ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7149  cr 10534   + caddc 10538  cmin 10868  -cneg 10869  cn 11634  0cn0 11894  +crp 12386   mod cmo 13241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fl 13166  df-mod 13242
This theorem is referenced by:  1259lem5  16468  2503lem3  16472  4001lem4  16477
  Copyright terms: Public domain W3C validator