MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modsubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modsubi 16267
Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
modsubi.1 𝑁 ∈ ℕ
modsubi.2 𝐴 ∈ ℕ
modsubi.3 𝐵 ∈ ℕ0
modsubi.4 𝑀 ∈ ℕ0
modsubi.6 (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modsubi.5 (𝑀 + 𝐵) = 𝐾
Assertion
Ref Expression
modsubi ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modsubi
StepHypRef Expression
1 modsubi.2 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ
21nnrei 11451 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
3 modsubi.5 . . . . 5 (𝑀 + 𝐵) = 𝐾
4 modsubi.4 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ0
5 modsubi.3 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
64, 5nn0addcli 11749 . . . . . 6 (𝑀 + 𝐵) ∈ ℕ0
76nn0rei 11722 . . . . 5 (𝑀 + 𝐵) ∈ ℝ
83, 7eqeltrri 2863 . . . 4 𝐾 ∈ ℝ
92, 8pm3.2i 463 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)
105nn0rei 11722 . . . . 5 𝐵 ∈ ℝ
1110renegcli 10750 . . . 4 -𝐵 ∈ ℝ
12 modsubi.1 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ
13 nnrp 12220 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 𝑁 ∈ ℝ+
1511, 14pm3.2i 463 . . 3 (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)
16 modsubi.6 . . 3 (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
17 modadd1 13094 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁))
189, 15, 16, 17mp3an 1440 . 2 ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁)
191nncni 11452 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
205nn0cni 11723 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
2119, 20negsubi 10767 . . 3 (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵)
2221oveq1i 6988 . 2 ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴𝐵) mod 𝑁)
238recni 10456 . . . . 5 𝐾 ∈ ℂ
2423, 20negsubi 10767 . . . 4 (𝐾 + -𝐵) = (𝐾𝐵)
254nn0cni 11723 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℂ
2623, 20, 25subadd2i 10777 . . . . 5 ((𝐾𝐵) = 𝑀 ↔ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾)
273, 26mpbir 223 . . . 4 (𝐾𝐵) = 𝑀
2824, 27eqtri 2802 . . 3 (𝐾 + -𝐵) = 𝑀
2928oveq1i 6988 . 2 ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
3018, 22, 293eqtr3i 2810 1 ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  (class class class)co 6978  cr 10336   + caddc 10340  cmin 10672  -cneg 10673  cn 11441  0cn0 11710  +crp 12207   mod cmo 13055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-sup 8703  df-inf 8704  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-fl 12980  df-mod 13056
This theorem is referenced by:  1259lem5  16327  2503lem3  16331  4001lem4  16336
  Copyright terms: Public domain W3C validator