Theorem modsubi 17050

Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
modsubi.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
modsubi.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
modsubi.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
modsubi.4	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
modsubi.6	⊢ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modsubi.5	⊢ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾

Assertion

Ref	Expression
modsubi	⊢ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modsubi.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2	1	nnrei 12202	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		modsubi.5	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾
4		modsubi.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
5		modsubi.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6	4, 5	nn0addcli 12486	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 𝐵) ∈ ℕ0
7	6	nn0rei 12460	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 𝐵) ∈ ℝ
8	3, 7	eqeltrri 2826	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
9	2, 8	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)
10	5	nn0rei 12460	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
11	10	renegcli 11490	. . . 4 ⊢ -𝐵 ∈ ℝ
12		modsubi.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
13		nnrp 12970	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ+
15	11, 14	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)
16		modsubi.6	. . 3 ⊢ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
17		modadd1 13877	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁))
18	9, 15, 16, 17	mp3an 1463	. 2 ⊢ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁)
19	1	nncni 12203	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
20	5	nn0cni 12461	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
21	19, 20	negsubi 11507	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵)
22	21	oveq1i 7400	. 2 ⊢ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁)
23	8	recni 11195	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
24	23, 20	negsubi 11507	. . . 4 ⊢ (𝐾 + -𝐵) = (𝐾 − 𝐵)
25	4	nn0cni 12461	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
26	23, 20, 25	subadd2i 11517	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 − 𝐵) = 𝑀 ↔ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾)
27	3, 26	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (𝐾 − 𝐵) = 𝑀
28	24, 27	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (𝐾 + -𝐵) = 𝑀
29	28	oveq1i 7400	. 2 ⊢ ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
30	18, 22, 29	3eqtr3i 2761	1 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℝcr 11074   + caddc 11078   − cmin 11412  -cneg 11413  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ℝ⁺crp 12958   mod cmo 13838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fl 13761  df-mod 13839

This theorem is referenced by:  1259lem5  17112  2503lem3  17116  4001lem4  17121