Theorem modsubi 17002

Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
modsubi.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
modsubi.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
modsubi.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
modsubi.4	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
modsubi.6	⊢ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modsubi.5	⊢ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾

Assertion

Ref	Expression
modsubi	⊢ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modsubi.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2	1	nnrei 12155	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		modsubi.5	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾
4		modsubi.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
5		modsubi.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6	4, 5	nn0addcli 12439	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 𝐵) ∈ ℕ0
7	6	nn0rei 12413	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 𝐵) ∈ ℝ
8	3, 7	eqeltrri 2825	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
9	2, 8	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)
10	5	nn0rei 12413	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
11	10	renegcli 11443	. . . 4 ⊢ -𝐵 ∈ ℝ
12		modsubi.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
13		nnrp 12923	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ+
15	11, 14	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)
16		modsubi.6	. . 3 ⊢ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
17		modadd1 13830	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁))
18	9, 15, 16, 17	mp3an 1463	. 2 ⊢ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁)
19	1	nncni 12156	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
20	5	nn0cni 12414	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
21	19, 20	negsubi 11460	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵)
22	21	oveq1i 7363	. 2 ⊢ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁)
23	8	recni 11148	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
24	23, 20	negsubi 11460	. . . 4 ⊢ (𝐾 + -𝐵) = (𝐾 − 𝐵)
25	4	nn0cni 12414	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
26	23, 20, 25	subadd2i 11470	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 − 𝐵) = 𝑀 ↔ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾)
27	3, 26	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (𝐾 − 𝐵) = 𝑀
28	24, 27	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (𝐾 + -𝐵) = 𝑀
29	28	oveq1i 7363	. 2 ⊢ ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
30	18, 22, 29	3eqtr3i 2760	1 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℝcr 11027   + caddc 11031   − cmin 11365  -cneg 11366  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ℝ⁺crp 12911   mod cmo 13791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fl 13714  df-mod 13792

This theorem is referenced by:  1259lem5  17064  2503lem3  17068  4001lem4  17073