MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modsubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modsubi 17011
Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
modsubi.1 𝑁 ∈ ℕ
modsubi.2 𝐴 ∈ ℕ
modsubi.3 𝐵 ∈ ℕ0
modsubi.4 𝑀 ∈ ℕ0
modsubi.6 (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modsubi.5 (𝑀 + 𝐵) = 𝐾
Assertion
Ref Expression
modsubi ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modsubi
StepHypRef Expression
1 modsubi.2 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ
21nnrei 12222 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
3 modsubi.5 . . . . 5 (𝑀 + 𝐵) = 𝐾
4 modsubi.4 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ0
5 modsubi.3 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
64, 5nn0addcli 12510 . . . . . 6 (𝑀 + 𝐵) ∈ ℕ0
76nn0rei 12484 . . . . 5 (𝑀 + 𝐵) ∈ ℝ
83, 7eqeltrri 2824 . . . 4 𝐾 ∈ ℝ
92, 8pm3.2i 470 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)
105nn0rei 12484 . . . . 5 𝐵 ∈ ℝ
1110renegcli 11522 . . . 4 -𝐵 ∈ ℝ
12 modsubi.1 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ
13 nnrp 12988 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 𝑁 ∈ ℝ+
1511, 14pm3.2i 470 . . 3 (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)
16 modsubi.6 . . 3 (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
17 modadd1 13876 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁))
189, 15, 16, 17mp3an 1457 . 2 ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁)
191nncni 12223 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
205nn0cni 12485 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
2119, 20negsubi 11539 . . 3 (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵)
2221oveq1i 7414 . 2 ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴𝐵) mod 𝑁)
238recni 11229 . . . . 5 𝐾 ∈ ℂ
2423, 20negsubi 11539 . . . 4 (𝐾 + -𝐵) = (𝐾𝐵)
254nn0cni 12485 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℂ
2623, 20, 25subadd2i 11549 . . . . 5 ((𝐾𝐵) = 𝑀 ↔ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾)
273, 26mpbir 230 . . . 4 (𝐾𝐵) = 𝑀
2824, 27eqtri 2754 . . 3 (𝐾 + -𝐵) = 𝑀
2928oveq1i 7414 . 2 ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
3018, 22, 293eqtr3i 2762 1 ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7404  cr 11108   + caddc 11112  cmin 11445  -cneg 11446  cn 12213  0cn0 12473  +crp 12977   mod cmo 13837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fl 13760  df-mod 13838
This theorem is referenced by:  1259lem5  17074  2503lem3  17078  4001lem4  17083
  Copyright terms: Public domain W3C validator