Theorem m7prm 47724

Description: The seventh Mersenne number M₇ = 127 is a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m7prm	⊢ ((2↑7) − 1) ∈ ℙ

Proof of Theorem m7prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12404	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		2nn0 12405	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12609	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
4		8nn0 12411	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		2exp7 17001	. . 3 ⊢ (2↑7) = ;;128
6		2p1e3 12269	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
7		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
8	1, 2, 6, 7	decsuc 12625	. . 3 ⊢ (;12 + 1) = ;13
9		7p1e8 12276	. . . 4 ⊢ (7 + 1) = 8
10		8cn 12229	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11071	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		7cn 12226	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
13	10, 11, 12	subadd2i 11456	. . . 4 ⊢ ((8 − 1) = 7 ↔ (7 + 1) = 8)
14	9, 13	mpbir 231	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
15	3, 4, 1, 5, 8, 14	decsubi 12657	. 2 ⊢ ((2↑7) − 1) = ;;127
16		127prm 47723	. 2 ⊢ ;;127 ∈ ℙ
17	15, 16	eqeltri 2829	1 ⊢ ((2↑7) − 1) ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  1c1 11014   + caddc 11016   − cmin 11351  2c2 12187  3c3 12188  7c7 12192  8c8 12193  ;cdc 12594  ↑cexp 13970  ℙcprime 16584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-seq 13911  df-exp 13971  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-dvds 16166  df-prm 16585

This theorem is referenced by: (None)