Theorem m7prm 47553

Description: The seventh Mersenne number M₇ = 127 is a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m7prm	⊢ ((2↑7) − 1) ∈ ℙ

Proof of Theorem m7prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12549	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		2nn0 12550	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12755	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
4		8nn0 12556	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		2exp7 17131	. . 3 ⊢ (2↑7) = ;;128
6		2p1e3 12415	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
8	1, 2, 6, 7	decsuc 12771	. . 3 ⊢ (;12 + 1) = ;13
9		7p1e8 12422	. . . 4 ⊢ (7 + 1) = 8
10		8cn 12370	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11220	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		7cn 12367	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
13	10, 11, 12	subadd2i 11604	. . . 4 ⊢ ((8 − 1) = 7 ↔ (7 + 1) = 8)
14	9, 13	mpbir 231	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
15	3, 4, 1, 5, 8, 14	decsubi 12803	. 2 ⊢ ((2↑7) − 1) = ;;127
16		127prm 47552	. 2 ⊢ ;;127 ∈ ℙ
17	15, 16	eqeltri 2837	1 ⊢ ((2↑7) − 1) ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7438  1c1 11163   + caddc 11165   − cmin 11499  2c2 12328  3c3 12329  7c7 12333  8c8 12334  ;cdc 12740  ↑cexp 14108  ℙcprime 16714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-pre-sup 11240

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-sup 9489  df-inf 9490  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-div 11928  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-9 12343  df-n0 12534  df-z 12621  df-dec 12741  df-uz 12886  df-rp 13042  df-fz 13554  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-dvds 16297  df-prm 16715

This theorem is referenced by: (None)