Theorem m7prm 47545

Description: The seventh Mersenne number M₇ = 127 is a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m7prm	⊢ ((2↑7) − 1) ∈ ℙ

Proof of Theorem m7prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12525	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		2nn0 12526	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12731	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
4		8nn0 12532	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		2exp7 17107	. . 3 ⊢ (2↑7) = ;;128
6		2p1e3 12390	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
7		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
8	1, 2, 6, 7	decsuc 12747	. . 3 ⊢ (;12 + 1) = ;13
9		7p1e8 12397	. . . 4 ⊢ (7 + 1) = 8
10		8cn 12345	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11195	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		7cn 12342	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
13	10, 11, 12	subadd2i 11579	. . . 4 ⊢ ((8 − 1) = 7 ↔ (7 + 1) = 8)
14	9, 13	mpbir 231	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
15	3, 4, 1, 5, 8, 14	decsubi 12779	. 2 ⊢ ((2↑7) − 1) = ;;127
16		127prm 47544	. 2 ⊢ ;;127 ∈ ℙ
17	15, 16	eqeltri 2829	1 ⊢ ((2↑7) − 1) ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7413  1c1 11138   + caddc 11140   − cmin 11474  2c2 12303  3c3 12304  7c7 12308  8c8 12309  ;cdc 12716  ↑cexp 14084  ℙcprime 16690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-rp 13017  df-fz 13530  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-dvds 16273  df-prm 16691

This theorem is referenced by: (None)