Theorem m7prm 45052

Description: The seventh Mersenne number M₇ = 127 is a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m7prm	⊢ ((2↑7) − 1) ∈ ℙ

Proof of Theorem m7prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12249	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		2nn0 12250	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
4		8nn0 12256	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		2exp7 16789	. . 3 ⊢ (2↑7) = ;;128
6		2p1e3 12115	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
8	1, 2, 6, 7	decsuc 12468	. . 3 ⊢ (;12 + 1) = ;13
9		7p1e8 12122	. . . 4 ⊢ (7 + 1) = 8
10		8cn 12070	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		ax-1cn 10929	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		7cn 12067	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
13	10, 11, 12	subadd2i 11309	. . . 4 ⊢ ((8 − 1) = 7 ↔ (7 + 1) = 8)
14	9, 13	mpbir 230	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
15	3, 4, 1, 5, 8, 14	decsubi 12500	. 2 ⊢ ((2↑7) − 1) = ;;127
16		127prm 45051	. 2 ⊢ ;;127 ∈ ℙ
17	15, 16	eqeltri 2835	1 ⊢ ((2↑7) − 1) ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205  2c2 12028  3c3 12029  7c7 12033  8c8 12034  ;cdc 12437  ↑cexp 13782  ℙcprime 16376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377

This theorem is referenced by: (None)