Theorem m7prm 46940

Description: The seventh Mersenne number M₇ = 127 is a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m7prm	⊢ ((2↑7) − 1) ∈ ℙ

Proof of Theorem m7prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12518	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		2nn0 12519	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12722	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
4		8nn0 12525	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		2exp7 17056	. . 3 ⊢ (2↑7) = ;;128
6		2p1e3 12384	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
7		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
8	1, 2, 6, 7	decsuc 12738	. . 3 ⊢ (;12 + 1) = ;13
9		7p1e8 12391	. . . 4 ⊢ (7 + 1) = 8
10		8cn 12339	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11196	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		7cn 12336	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
13	10, 11, 12	subadd2i 11578	. . . 4 ⊢ ((8 − 1) = 7 ↔ (7 + 1) = 8)
14	9, 13	mpbir 230	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
15	3, 4, 1, 5, 8, 14	decsubi 12770	. 2 ⊢ ((2↑7) − 1) = ;;127
16		127prm 46939	. 2 ⊢ ;;127 ∈ ℙ
17	15, 16	eqeltri 2825	1 ⊢ ((2↑7) − 1) ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420  1c1 11139   + caddc 11141   − cmin 11474  2c2 12297  3c3 12298  7c7 12302  8c8 12303  ;cdc 12707  ↑cexp 14058  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-prm 16642

This theorem is referenced by: (None)