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Theorem problem4 35636
Description: Practice problem 4. Clues: pm3.2i 470 eqcomi 2749 eqtri 2768 subaddrii 11625 recni 11304 7re 12386 6re 12383 ax-1cn 11242 df-7 12361 ax-mp 5 oveq1i 7458 3cn 12374 2cn 12368 df-3 12357 mullidi 11295 subdiri 11740 mp3an 1461 mulcli 11297 subadd23 11548 oveq2i 7459 oveq12i 7460 3t2e6 12459 mulcomi 11298 subcli 11612 biimpri 228 subadd2i 11624. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
problem4.1 𝐴 ∈ ℂ
problem4.2 𝐵 ∈ ℂ
problem4.3 (𝐴 + 𝐵) = 3
problem4.4 ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7
Assertion
Ref Expression
problem4 (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)

Proof of Theorem problem4
StepHypRef Expression
1 7re 12386 . . . . . . 7 7 ∈ ℝ
21recni 11304 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
3 6re 12383 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
43recni 11304 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
5 ax-1cn 11242 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
6 df-7 12361 . . . . . . 7 7 = (6 + 1)
76eqcomi 2749 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
82, 4, 5, 7subaddrii 11625 . . . . 5 (7 − 6) = 1
98eqcomi 2749 . . . 4 1 = (7 − 6)
10 3cn 12374 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
11 2cn 12368 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
12 df-3 12357 . . . . . . . . . . . . . 14 3 = (2 + 1)
1312eqcomi 2749 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 1) = 3
1410, 11, 5, 13subaddrii 11625 . . . . . . . . . . . 12 (3 − 2) = 1
1514oveq1i 7458 . . . . . . . . . . 11 ((3 − 2) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
16 problem4.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ ℂ
1716mullidi 11295 . . . . . . . . . . 11 (1 · 𝐴) = 𝐴
1815, 17eqtri 2768 . . . . . . . . . 10 ((3 − 2) · 𝐴) = 𝐴
1918eqcomi 2749 . . . . . . . . 9 𝐴 = ((3 − 2) · 𝐴)
2010, 11, 16subdiri 11740 . . . . . . . . 9 ((3 − 2) · 𝐴) = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
2119, 20eqtri 2768 . . . . . . . 8 𝐴 = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
2221oveq1i 7458 . . . . . . 7 (𝐴 + 6) = (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6)
2310, 16mulcli 11297 . . . . . . . . 9 (3 · 𝐴) ∈ ℂ
2411, 16mulcli 11297 . . . . . . . . 9 (2 · 𝐴) ∈ ℂ
25 subadd23 11548 . . . . . . . . 9 (((3 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ) → (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))))
2623, 24, 4, 25mp3an 1461 . . . . . . . 8 (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
27 3t2e6 12459 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 2) = 6
2816, 11mulcomi 11298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴)
2927, 28oveq12i 7460 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (6 − (2 · 𝐴))
3029eqcomi 2749 . . . . . . . . . . . 12 (6 − (2 · 𝐴)) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
3110, 16, 11subdiri 11740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 − 𝐴) · 2) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
3231eqcomi 2749 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = ((3 − 𝐴) · 2)
3310, 16subcli 11612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 − 𝐴) ∈ ℂ
3411, 33mulcomi 11298 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · (3 − 𝐴)) = ((3 − 𝐴) · 2)
3534eqcomi 2749 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · (3 − 𝐴))
36 problem4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵 ∈ ℂ
37 problem4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 + 𝐵) = 3
3810, 16, 36, 37subaddrii 11625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 − 𝐴) = 𝐵
3938eqcomi 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (3 − 𝐴)
4039oveq2i 7459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 𝐵) = (2 · (3 − 𝐴))
4140eqcomi 2749 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (3 − 𝐴)) = (2 · 𝐵)
4235, 41eqtri 2768 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · 𝐵)
4332, 42eqtri 2768 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (2 · 𝐵)
4430, 43eqtri 2768 . . . . . . . . . . 11 (6 − (2 · 𝐴)) = (2 · 𝐵)
4544eqcomi 2749 . . . . . . . . . 10 (2 · 𝐵) = (6 − (2 · 𝐴))
4645oveq2i 7459 . . . . . . . . 9 ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
4746eqcomi 2749 . . . . . . . 8 ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
4826, 47eqtri 2768 . . . . . . 7 (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
4922, 48eqtri 2768 . . . . . 6 (𝐴 + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
50 problem4.4 . . . . . 6 ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7
5149, 50eqtri 2768 . . . . 5 (𝐴 + 6) = 7
522, 4, 16subadd2i 11624 . . . . . 6 ((7 − 6) = 𝐴 ↔ (𝐴 + 6) = 7)
5352biimpri 228 . . . . 5 ((𝐴 + 6) = 7 → (7 − 6) = 𝐴)
5451, 53ax-mp 5 . . . 4 (7 − 6) = 𝐴
559, 54eqtri 2768 . . 3 1 = 𝐴
5655eqcomi 2749 . 2 𝐴 = 1
5756oveq2i 7459 . . . 4 (3 − 𝐴) = (3 − 1)
5810, 5, 11subadd2i 11624 . . . . . 6 ((3 − 1) = 2 ↔ (2 + 1) = 3)
5958biimpri 228 . . . . 5 ((2 + 1) = 3 → (3 − 1) = 2)
6013, 59ax-mp 5 . . . 4 (3 − 1) = 2
6157, 60eqtri 2768 . . 3 (3 − 𝐴) = 2
6239, 61eqtri 2768 . 2 𝐵 = 2
6356, 62pm3.2i 470 1 (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  (class class class)co 7448  cc 11182  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  cmin 11520  2c2 12348  3c3 12349  6c6 12352  7c7 12353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361
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