Mathbox for Filip Cernatescu < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  problem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem problem4 32971
 Description: Practice problem 4. Clues: pm3.2i 474 eqcomi 2833 eqtri 2847 subaddrii 10973 recni 10653 7re 11727 6re 11724 ax-1cn 10593 df-7 11702 ax-mp 5 oveq1i 7159 3cn 11715 2cn 11709 df-3 11698 mulid2i 10644 subdiri 11088 mp3an 1458 mulcli 10646 subadd23 10896 oveq2i 7160 oveq12i 7161 3t2e6 11800 mulcomi 10647 subcli 10960 biimpri 231 subadd2i 10972. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
problem4.1 𝐴 ∈ ℂ
problem4.2 𝐵 ∈ ℂ
problem4.3 (𝐴 + 𝐵) = 3
problem4.4 ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7
Assertion
Ref Expression
problem4 (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)

Proof of Theorem problem4
StepHypRef Expression
1 7re 11727 . . . . . . 7 7 ∈ ℝ
21recni 10653 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
3 6re 11724 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
43recni 10653 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
5 ax-1cn 10593 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
6 df-7 11702 . . . . . . 7 7 = (6 + 1)
76eqcomi 2833 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
82, 4, 5, 7subaddrii 10973 . . . . 5 (7 − 6) = 1
98eqcomi 2833 . . . 4 1 = (7 − 6)
10 3cn 11715 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
11 2cn 11709 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
12 df-3 11698 . . . . . . . . . . . . . 14 3 = (2 + 1)
1312eqcomi 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 1) = 3
1410, 11, 5, 13subaddrii 10973 . . . . . . . . . . . 12 (3 − 2) = 1
1514oveq1i 7159 . . . . . . . . . . 11 ((3 − 2) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
16 problem4.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ ℂ
1716mulid2i 10644 . . . . . . . . . . 11 (1 · 𝐴) = 𝐴
1815, 17eqtri 2847 . . . . . . . . . 10 ((3 − 2) · 𝐴) = 𝐴
1918eqcomi 2833 . . . . . . . . 9 𝐴 = ((3 − 2) · 𝐴)
2010, 11, 16subdiri 11088 . . . . . . . . 9 ((3 − 2) · 𝐴) = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
2119, 20eqtri 2847 . . . . . . . 8 𝐴 = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
2221oveq1i 7159 . . . . . . 7 (𝐴 + 6) = (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6)
2310, 16mulcli 10646 . . . . . . . . 9 (3 · 𝐴) ∈ ℂ
2411, 16mulcli 10646 . . . . . . . . 9 (2 · 𝐴) ∈ ℂ
25 subadd23 10896 . . . . . . . . 9 (((3 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ) → (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))))
2623, 24, 4, 25mp3an 1458 . . . . . . . 8 (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
27 3t2e6 11800 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 2) = 6
2816, 11mulcomi 10647 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴)
2927, 28oveq12i 7161 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (6 − (2 · 𝐴))
3029eqcomi 2833 . . . . . . . . . . . 12 (6 − (2 · 𝐴)) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
3110, 16, 11subdiri 11088 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 − 𝐴) · 2) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
3231eqcomi 2833 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = ((3 − 𝐴) · 2)
3310, 16subcli 10960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 − 𝐴) ∈ ℂ
3411, 33mulcomi 10647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · (3 − 𝐴)) = ((3 − 𝐴) · 2)
3534eqcomi 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · (3 − 𝐴))
36 problem4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵 ∈ ℂ
37 problem4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 + 𝐵) = 3
3810, 16, 36, 37subaddrii 10973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 − 𝐴) = 𝐵
3938eqcomi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (3 − 𝐴)
4039oveq2i 7160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 𝐵) = (2 · (3 − 𝐴))
4140eqcomi 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (3 − 𝐴)) = (2 · 𝐵)
4235, 41eqtri 2847 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · 𝐵)
4332, 42eqtri 2847 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (2 · 𝐵)
4430, 43eqtri 2847 . . . . . . . . . . 11 (6 − (2 · 𝐴)) = (2 · 𝐵)
4544eqcomi 2833 . . . . . . . . . 10 (2 · 𝐵) = (6 − (2 · 𝐴))
4645oveq2i 7160 . . . . . . . . 9 ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
4746eqcomi 2833 . . . . . . . 8 ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
4826, 47eqtri 2847 . . . . . . 7 (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
4922, 48eqtri 2847 . . . . . 6 (𝐴 + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
50 problem4.4 . . . . . 6 ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7
5149, 50eqtri 2847 . . . . 5 (𝐴 + 6) = 7
522, 4, 16subadd2i 10972 . . . . . 6 ((7 − 6) = 𝐴 ↔ (𝐴 + 6) = 7)
5352biimpri 231 . . . . 5 ((𝐴 + 6) = 7 → (7 − 6) = 𝐴)
5451, 53ax-mp 5 . . . 4 (7 − 6) = 𝐴
559, 54eqtri 2847 . . 3 1 = 𝐴
5655eqcomi 2833 . 2 𝐴 = 1
5756oveq2i 7160 . . . 4 (3 − 𝐴) = (3 − 1)
5810, 5, 11subadd2i 10972 . . . . . 6 ((3 − 1) = 2 ↔ (2 + 1) = 3)
5958biimpri 231 . . . . 5 ((2 + 1) = 3 → (3 − 1) = 2)
6013, 59ax-mp 5 . . . 4 (3 − 1) = 2
6157, 60eqtri 2847 . . 3 (3 − 𝐴) = 2
6239, 61eqtri 2847 . 2 𝐵 = 2
6356, 62pm3.2i 474 1 (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  (class class class)co 7149  ℂcc 10533  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540   − cmin 10868  2c2 11689  3c3 11690  6c6 11693  7c7 11694 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-ltxr 10678  df-sub 10870  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator