Theorem problem4 36433

Description: Practice problem 4. Clues: pm3.2i 476 eqcomi 2770 eqtri 2784 subaddrii 11647 recni 11323 7re 12436 6re 12433 ax-1cn 11258 df-7 12410 ax-mp 5 oveq1i 7430 3cn 12424 2cn 12418 df-3 12406 mullidi 11314 subdiri 11766 mp3an 1490 mulcli 11316 subadd23 11569 oveq2i 7431 oveq12i 7432 3t2e6 12508 mulcomi 11317 subcli 11634 biimpri 231 subadd2i 11646. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
problem4.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
problem4.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
problem4.3	⊢ (𝐴 + 𝐵) = 3
problem4.4	⊢ ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7

Assertion

Ref	Expression
problem4	⊢ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)

Proof of Theorem problem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7re 12436	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℝ
2	1	recni 11323	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
3		6re 12433	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
4	3	recni 11323	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
5		ax-1cn 11258	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		df-7 12410	. . . . . . 7 ⊢ 7 = (6 + 1)
7	6	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
8	2, 4, 5, 7	subaddrii 11647	. . . . 5 ⊢ (7 − 6) = 1
9	8	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ 1 = (7 − 6)
10		3cn 12424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
11		2cn 12418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		df-3 12406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 = (2 + 1)
13	12	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 1) = 3
14	10, 11, 5, 13	subaddrii 11647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 − 2) = 1
15	14	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 − 2) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
16		problem4.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 𝐴) = 𝐴
18	15, 17	eqtri 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 − 2) · 𝐴) = 𝐴
19	18	eqcomi 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = ((3 − 2) · 𝐴)
20	10, 11, 16	subdiri 11766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 − 2) · 𝐴) = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
21	19, 20	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
22	21	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + 6) = (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6)
23	10, 16	mulcli 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 𝐴) ∈ ℂ
24	11, 16	mulcli 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℂ
25		subadd23 11569	. . . . . . . . 9 ⊢ (((3 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ) → (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))))
26	23, 24, 4, 25	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
27		3t2e6 12508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 2) = 6
28	16, 11	mulcomi 11317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴)
29	27, 28	oveq12i 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (6 − (2 · 𝐴))
30	29	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 − (2 · 𝐴)) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
31	10, 16, 11	subdiri 11766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 − 𝐴) · 2) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
32	31	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = ((3 − 𝐴) · 2)
33	10, 16	subcli 11634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 − 𝐴) ∈ ℂ
34	11, 33	mulcomi 11317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · (3 − 𝐴)) = ((3 − 𝐴) · 2)
35	34	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · (3 − 𝐴))
36		problem4.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
37		problem4.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = 3
38	10, 16, 36, 37	subaddrii 11647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 − 𝐴) = 𝐵
39	38	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (3 − 𝐴)
40	39	oveq2i 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 𝐵) = (2 · (3 − 𝐴))
41	40	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · (3 − 𝐴)) = (2 · 𝐵)
42	35, 41	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · 𝐵)
43	32, 42	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (2 · 𝐵)
44	30, 43	eqtri 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 − (2 · 𝐴)) = (2 · 𝐵)
45	44	eqcomi 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 𝐵) = (6 − (2 · 𝐴))
46	45	oveq2i 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
47	46	eqcomi 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
48	26, 47	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
49	22, 48	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
50		problem4.4	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7
51	49, 50	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + 6) = 7
52	2, 4, 16	subadd2i 11646	. . . . . 6 ⊢ ((7 − 6) = 𝐴 ↔ (𝐴 + 6) = 7)
53	52	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 6) = 7 → (7 − 6) = 𝐴)
54	51, 53	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (7 − 6) = 𝐴
55	9, 54	eqtri 2784	. . 3 ⊢ 1 = 𝐴
56	55	eqcomi 2770	. 2 ⊢ 𝐴 = 1
57	56	oveq2i 7431	. . . 4 ⊢ (3 − 𝐴) = (3 − 1)
58	10, 5, 11	subadd2i 11646	. . . . . 6 ⊢ ((3 − 1) = 2 ↔ (2 + 1) = 3)
59	58	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ ((2 + 1) = 3 → (3 − 1) = 2)
60	13, 59	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
61	57, 60	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (3 − 𝐴) = 2
62	39, 61	eqtri 2784	. 2 ⊢ 𝐵 = 2
63	56, 62	pm3.2i 476	1 ⊢ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541  2c2 12397  3c3 12398  6c6 12401  7c7 12402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410

This theorem is used by: (None)