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Theorem problem4 35628
Description: Practice problem 4. Clues: pm3.2i 470 eqcomi 2743 eqtri 2762 subaddrii 11621 recni 11300 7re 12382 6re 12379 ax-1cn 11238 df-7 12357 ax-mp 5 oveq1i 7455 3cn 12370 2cn 12364 df-3 12353 mullidi 11291 subdiri 11736 mp3an 1461 mulcli 11293 subadd23 11544 oveq2i 7456 oveq12i 7457 3t2e6 12455 mulcomi 11294 subcli 11608 biimpri 228 subadd2i 11620. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
problem4.1 𝐴 ∈ ℂ
problem4.2 𝐵 ∈ ℂ
problem4.3 (𝐴 + 𝐵) = 3
problem4.4 ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7
Assertion
Ref Expression
problem4 (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)

Proof of Theorem problem4
StepHypRef Expression
1 7re 12382 . . . . . . 7 7 ∈ ℝ
21recni 11300 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
3 6re 12379 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
43recni 11300 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
5 ax-1cn 11238 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
6 df-7 12357 . . . . . . 7 7 = (6 + 1)
76eqcomi 2743 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
82, 4, 5, 7subaddrii 11621 . . . . 5 (7 − 6) = 1
98eqcomi 2743 . . . 4 1 = (7 − 6)
10 3cn 12370 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
11 2cn 12364 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
12 df-3 12353 . . . . . . . . . . . . . 14 3 = (2 + 1)
1312eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 1) = 3
1410, 11, 5, 13subaddrii 11621 . . . . . . . . . . . 12 (3 − 2) = 1
1514oveq1i 7455 . . . . . . . . . . 11 ((3 − 2) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
16 problem4.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ ℂ
1716mullidi 11291 . . . . . . . . . . 11 (1 · 𝐴) = 𝐴
1815, 17eqtri 2762 . . . . . . . . . 10 ((3 − 2) · 𝐴) = 𝐴
1918eqcomi 2743 . . . . . . . . 9 𝐴 = ((3 − 2) · 𝐴)
2010, 11, 16subdiri 11736 . . . . . . . . 9 ((3 − 2) · 𝐴) = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
2119, 20eqtri 2762 . . . . . . . 8 𝐴 = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
2221oveq1i 7455 . . . . . . 7 (𝐴 + 6) = (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6)
2310, 16mulcli 11293 . . . . . . . . 9 (3 · 𝐴) ∈ ℂ
2411, 16mulcli 11293 . . . . . . . . 9 (2 · 𝐴) ∈ ℂ
25 subadd23 11544 . . . . . . . . 9 (((3 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ) → (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))))
2623, 24, 4, 25mp3an 1461 . . . . . . . 8 (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
27 3t2e6 12455 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 2) = 6
2816, 11mulcomi 11294 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴)
2927, 28oveq12i 7457 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (6 − (2 · 𝐴))
3029eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . 12 (6 − (2 · 𝐴)) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
3110, 16, 11subdiri 11736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 − 𝐴) · 2) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
3231eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = ((3 − 𝐴) · 2)
3310, 16subcli 11608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 − 𝐴) ∈ ℂ
3411, 33mulcomi 11294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · (3 − 𝐴)) = ((3 − 𝐴) · 2)
3534eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · (3 − 𝐴))
36 problem4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵 ∈ ℂ
37 problem4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 + 𝐵) = 3
3810, 16, 36, 37subaddrii 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 − 𝐴) = 𝐵
3938eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (3 − 𝐴)
4039oveq2i 7456 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 𝐵) = (2 · (3 − 𝐴))
4140eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (3 − 𝐴)) = (2 · 𝐵)
4235, 41eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · 𝐵)
4332, 42eqtri 2762 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (2 · 𝐵)
4430, 43eqtri 2762 . . . . . . . . . . 11 (6 − (2 · 𝐴)) = (2 · 𝐵)
4544eqcomi 2743 . . . . . . . . . 10 (2 · 𝐵) = (6 − (2 · 𝐴))
4645oveq2i 7456 . . . . . . . . 9 ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
4746eqcomi 2743 . . . . . . . 8 ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
4826, 47eqtri 2762 . . . . . . 7 (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
4922, 48eqtri 2762 . . . . . 6 (𝐴 + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
50 problem4.4 . . . . . 6 ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7
5149, 50eqtri 2762 . . . . 5 (𝐴 + 6) = 7
522, 4, 16subadd2i 11620 . . . . . 6 ((7 − 6) = 𝐴 ↔ (𝐴 + 6) = 7)
5352biimpri 228 . . . . 5 ((𝐴 + 6) = 7 → (7 − 6) = 𝐴)
5451, 53ax-mp 5 . . . 4 (7 − 6) = 𝐴
559, 54eqtri 2762 . . 3 1 = 𝐴
5655eqcomi 2743 . 2 𝐴 = 1
5756oveq2i 7456 . . . 4 (3 − 𝐴) = (3 − 1)
5810, 5, 11subadd2i 11620 . . . . . 6 ((3 − 1) = 2 ↔ (2 + 1) = 3)
5958biimpri 228 . . . . 5 ((2 + 1) = 3 → (3 − 1) = 2)
6013, 59ax-mp 5 . . . 4 (3 − 1) = 2
6157, 60eqtri 2762 . . 3 (3 − 𝐴) = 2
6239, 61eqtri 2762 . 2 𝐵 = 2
6356, 62pm3.2i 470 1 (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  (class class class)co 7445  cc 11178  1c1 11181   + caddc 11183   · cmul 11185  cmin 11516  2c2 12344  3c3 12345  6c6 12348  7c7 12349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-po 5611  df-so 5612  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-ltxr 11325  df-sub 11518  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357
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