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Theorem problem4 35498
Description: Practice problem 4. Clues: pm3.2i 469 eqcomi 2735 eqtri 2754 subaddrii 11601 recni 11280 7re 12359 6re 12356 ax-1cn 11218 df-7 12334 ax-mp 5 oveq1i 7436 3cn 12347 2cn 12341 df-3 12330 mullidi 11271 subdiri 11716 mp3an 1458 mulcli 11273 subadd23 11524 oveq2i 7437 oveq12i 7438 3t2e6 12432 mulcomi 11274 subcli 11588 biimpri 227 subadd2i 11600. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
problem4.1 𝐴 ∈ ℂ
problem4.2 𝐵 ∈ ℂ
problem4.3 (𝐴 + 𝐵) = 3
problem4.4 ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7
Assertion
Ref Expression
problem4 (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)

Proof of Theorem problem4
StepHypRef Expression
1 7re 12359 . . . . . . 7 7 ∈ ℝ
21recni 11280 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
3 6re 12356 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
43recni 11280 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
5 ax-1cn 11218 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
6 df-7 12334 . . . . . . 7 7 = (6 + 1)
76eqcomi 2735 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
82, 4, 5, 7subaddrii 11601 . . . . 5 (7 − 6) = 1
98eqcomi 2735 . . . 4 1 = (7 − 6)
10 3cn 12347 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
11 2cn 12341 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
12 df-3 12330 . . . . . . . . . . . . . 14 3 = (2 + 1)
1312eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 1) = 3
1410, 11, 5, 13subaddrii 11601 . . . . . . . . . . . 12 (3 − 2) = 1
1514oveq1i 7436 . . . . . . . . . . 11 ((3 − 2) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
16 problem4.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ ℂ
1716mullidi 11271 . . . . . . . . . . 11 (1 · 𝐴) = 𝐴
1815, 17eqtri 2754 . . . . . . . . . 10 ((3 − 2) · 𝐴) = 𝐴
1918eqcomi 2735 . . . . . . . . 9 𝐴 = ((3 − 2) · 𝐴)
2010, 11, 16subdiri 11716 . . . . . . . . 9 ((3 − 2) · 𝐴) = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
2119, 20eqtri 2754 . . . . . . . 8 𝐴 = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
2221oveq1i 7436 . . . . . . 7 (𝐴 + 6) = (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6)
2310, 16mulcli 11273 . . . . . . . . 9 (3 · 𝐴) ∈ ℂ
2411, 16mulcli 11273 . . . . . . . . 9 (2 · 𝐴) ∈ ℂ
25 subadd23 11524 . . . . . . . . 9 (((3 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ) → (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))))
2623, 24, 4, 25mp3an 1458 . . . . . . . 8 (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
27 3t2e6 12432 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 2) = 6
2816, 11mulcomi 11274 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴)
2927, 28oveq12i 7438 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (6 − (2 · 𝐴))
3029eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . 12 (6 − (2 · 𝐴)) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
3110, 16, 11subdiri 11716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 − 𝐴) · 2) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
3231eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = ((3 − 𝐴) · 2)
3310, 16subcli 11588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 − 𝐴) ∈ ℂ
3411, 33mulcomi 11274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · (3 − 𝐴)) = ((3 − 𝐴) · 2)
3534eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · (3 − 𝐴))
36 problem4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵 ∈ ℂ
37 problem4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 + 𝐵) = 3
3810, 16, 36, 37subaddrii 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 − 𝐴) = 𝐵
3938eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (3 − 𝐴)
4039oveq2i 7437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 𝐵) = (2 · (3 − 𝐴))
4140eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (3 − 𝐴)) = (2 · 𝐵)
4235, 41eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · 𝐵)
4332, 42eqtri 2754 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (2 · 𝐵)
4430, 43eqtri 2754 . . . . . . . . . . 11 (6 − (2 · 𝐴)) = (2 · 𝐵)
4544eqcomi 2735 . . . . . . . . . 10 (2 · 𝐵) = (6 − (2 · 𝐴))
4645oveq2i 7437 . . . . . . . . 9 ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
4746eqcomi 2735 . . . . . . . 8 ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
4826, 47eqtri 2754 . . . . . . 7 (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
4922, 48eqtri 2754 . . . . . 6 (𝐴 + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
50 problem4.4 . . . . . 6 ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7
5149, 50eqtri 2754 . . . . 5 (𝐴 + 6) = 7
522, 4, 16subadd2i 11600 . . . . . 6 ((7 − 6) = 𝐴 ↔ (𝐴 + 6) = 7)
5352biimpri 227 . . . . 5 ((𝐴 + 6) = 7 → (7 − 6) = 𝐴)
5451, 53ax-mp 5 . . . 4 (7 − 6) = 𝐴
559, 54eqtri 2754 . . 3 1 = 𝐴
5655eqcomi 2735 . 2 𝐴 = 1
5756oveq2i 7437 . . . 4 (3 − 𝐴) = (3 − 1)
5810, 5, 11subadd2i 11600 . . . . . 6 ((3 − 1) = 2 ↔ (2 + 1) = 3)
5958biimpri 227 . . . . 5 ((2 + 1) = 3 → (3 − 1) = 2)
6013, 59ax-mp 5 . . . 4 (3 − 1) = 2
6157, 60eqtri 2754 . . 3 (3 − 𝐴) = 2
6239, 61eqtri 2754 . 2 𝐵 = 2
6356, 62pm3.2i 469 1 (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  (class class class)co 7426  cc 11158  1c1 11161   + caddc 11163   · cmul 11165  cmin 11496  2c2 12321  3c3 12322  6c6 12325  7c7 12326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-ltxr 11305  df-sub 11498  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334
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