Theorem problem4 35653

Description: Practice problem 4. Clues: pm3.2i 470 eqcomi 2744 eqtri 2763 subaddrii 11596 recni 11273 7re 12357 6re 12354 ax-1cn 11211 df-7 12332 ax-mp 5 oveq1i 7441 3cn 12345 2cn 12339 df-3 12328 mullidi 11264 subdiri 11711 mp3an 1460 mulcli 11266 subadd23 11518 oveq2i 7442 oveq12i 7443 3t2e6 12430 mulcomi 11267 subcli 11583 biimpri 228 subadd2i 11595. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
problem4.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
problem4.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
problem4.3	⊢ (𝐴 + 𝐵) = 3
problem4.4	⊢ ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7

Assertion

Ref	Expression
problem4	⊢ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)

Proof of Theorem problem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7re 12357	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℝ
2	1	recni 11273	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
3		6re 12354	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
4	3	recni 11273	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
5		ax-1cn 11211	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		df-7 12332	. . . . . . 7 ⊢ 7 = (6 + 1)
7	6	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
8	2, 4, 5, 7	subaddrii 11596	. . . . 5 ⊢ (7 − 6) = 1
9	8	eqcomi 2744	. . . 4 ⊢ 1 = (7 − 6)
10		3cn 12345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
11		2cn 12339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		df-3 12328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 = (2 + 1)
13	12	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 1) = 3
14	10, 11, 5, 13	subaddrii 11596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 − 2) = 1
15	14	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 − 2) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
16		problem4.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 𝐴) = 𝐴
18	15, 17	eqtri 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 − 2) · 𝐴) = 𝐴
19	18	eqcomi 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = ((3 − 2) · 𝐴)
20	10, 11, 16	subdiri 11711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 − 2) · 𝐴) = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
21	19, 20	eqtri 2763	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
22	21	oveq1i 7441	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + 6) = (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6)
23	10, 16	mulcli 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 𝐴) ∈ ℂ
24	11, 16	mulcli 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℂ
25		subadd23 11518	. . . . . . . . 9 ⊢ (((3 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ) → (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))))
26	23, 24, 4, 25	mp3an 1460	. . . . . . . 8 ⊢ (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
27		3t2e6 12430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 2) = 6
28	16, 11	mulcomi 11267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴)
29	27, 28	oveq12i 7443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (6 − (2 · 𝐴))
30	29	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 − (2 · 𝐴)) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
31	10, 16, 11	subdiri 11711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 − 𝐴) · 2) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
32	31	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = ((3 − 𝐴) · 2)
33	10, 16	subcli 11583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 − 𝐴) ∈ ℂ
34	11, 33	mulcomi 11267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · (3 − 𝐴)) = ((3 − 𝐴) · 2)
35	34	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · (3 − 𝐴))
36		problem4.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
37		problem4.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = 3
38	10, 16, 36, 37	subaddrii 11596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 − 𝐴) = 𝐵
39	38	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (3 − 𝐴)
40	39	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 𝐵) = (2 · (3 − 𝐴))
41	40	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · (3 − 𝐴)) = (2 · 𝐵)
42	35, 41	eqtri 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · 𝐵)
43	32, 42	eqtri 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (2 · 𝐵)
44	30, 43	eqtri 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 − (2 · 𝐴)) = (2 · 𝐵)
45	44	eqcomi 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 𝐵) = (6 − (2 · 𝐴))
46	45	oveq2i 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
47	46	eqcomi 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
48	26, 47	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
49	22, 48	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
50		problem4.4	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7
51	49, 50	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + 6) = 7
52	2, 4, 16	subadd2i 11595	. . . . . 6 ⊢ ((7 − 6) = 𝐴 ↔ (𝐴 + 6) = 7)
53	52	biimpri 228	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 6) = 7 → (7 − 6) = 𝐴)
54	51, 53	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (7 − 6) = 𝐴
55	9, 54	eqtri 2763	. . 3 ⊢ 1 = 𝐴
56	55	eqcomi 2744	. 2 ⊢ 𝐴 = 1
57	56	oveq2i 7442	. . . 4 ⊢ (3 − 𝐴) = (3 − 1)
58	10, 5, 11	subadd2i 11595	. . . . . 6 ⊢ ((3 − 1) = 2 ↔ (2 + 1) = 3)
59	58	biimpri 228	. . . . 5 ⊢ ((2 + 1) = 3 → (3 − 1) = 2)
60	13, 59	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
61	57, 60	eqtri 2763	. . 3 ⊢ (3 − 𝐴) = 2
62	39, 61	eqtri 2763	. 2 ⊢ 𝐵 = 2
63	56, 62	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   − cmin 11490  2c2 12319  3c3 12320  6c6 12323  7c7 12324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332

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