Theorem problem4 36059

Description: Practice problem 4. Clues: pm3.2i 475 eqcomi 2778 eqtri 2792 subaddrii 11547 recni 11223 7re 12334 6re 12331 ax-1cn 11158 df-7 12308 ax-mp 5 oveq1i 7421 3cn 12322 2cn 12316 df-3 12304 mullidi 11214 subdiri 11664 mp3an 1487 mulcli 11216 subadd23 11469 oveq2i 7422 oveq12i 7423 3t2e6 12406 mulcomi 11217 subcli 11534 biimpri 231 subadd2i 11546. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
problem4.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
problem4.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
problem4.3	⊢ (𝐴 + 𝐵) = 3
problem4.4	⊢ ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7

Assertion

Ref	Expression
problem4	⊢ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)

Proof of Theorem problem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7re 12334	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℝ
2	1	recni 11223	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
3		6re 12331	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
4	3	recni 11223	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
5		ax-1cn 11158	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		df-7 12308	. . . . . . 7 ⊢ 7 = (6 + 1)
7	6	eqcomi 2778	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
8	2, 4, 5, 7	subaddrii 11547	. . . . 5 ⊢ (7 − 6) = 1
9	8	eqcomi 2778	. . . 4 ⊢ 1 = (7 − 6)
10		3cn 12322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
11		2cn 12316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		df-3 12304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 = (2 + 1)
13	12	eqcomi 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 1) = 3
14	10, 11, 5, 13	subaddrii 11547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 − 2) = 1
15	14	oveq1i 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 − 2) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
16		problem4.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 𝐴) = 𝐴
18	15, 17	eqtri 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 − 2) · 𝐴) = 𝐴
19	18	eqcomi 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = ((3 − 2) · 𝐴)
20	10, 11, 16	subdiri 11664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 − 2) · 𝐴) = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
21	19, 20	eqtri 2792	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
22	21	oveq1i 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + 6) = (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6)
23	10, 16	mulcli 11216	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 𝐴) ∈ ℂ
24	11, 16	mulcli 11216	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℂ
25		subadd23 11469	. . . . . . . . 9 ⊢ (((3 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ) → (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))))
26	23, 24, 4, 25	mp3an 1487	. . . . . . . 8 ⊢ (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
27		3t2e6 12406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 2) = 6
28	16, 11	mulcomi 11217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴)
29	27, 28	oveq12i 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (6 − (2 · 𝐴))
30	29	eqcomi 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 − (2 · 𝐴)) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
31	10, 16, 11	subdiri 11664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 − 𝐴) · 2) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
32	31	eqcomi 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = ((3 − 𝐴) · 2)
33	10, 16	subcli 11534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 − 𝐴) ∈ ℂ
34	11, 33	mulcomi 11217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · (3 − 𝐴)) = ((3 − 𝐴) · 2)
35	34	eqcomi 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · (3 − 𝐴))
36		problem4.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
37		problem4.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = 3
38	10, 16, 36, 37	subaddrii 11547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 − 𝐴) = 𝐵
39	38	eqcomi 2778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (3 − 𝐴)
40	39	oveq2i 7422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 𝐵) = (2 · (3 − 𝐴))
41	40	eqcomi 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · (3 − 𝐴)) = (2 · 𝐵)
42	35, 41	eqtri 2792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · 𝐵)
43	32, 42	eqtri 2792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (2 · 𝐵)
44	30, 43	eqtri 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 − (2 · 𝐴)) = (2 · 𝐵)
45	44	eqcomi 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 𝐵) = (6 − (2 · 𝐴))
46	45	oveq2i 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
47	46	eqcomi 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
48	26, 47	eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
49	22, 48	eqtri 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
50		problem4.4	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7
51	49, 50	eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + 6) = 7
52	2, 4, 16	subadd2i 11546	. . . . . 6 ⊢ ((7 − 6) = 𝐴 ↔ (𝐴 + 6) = 7)
53	52	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 6) = 7 → (7 − 6) = 𝐴)
54	51, 53	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (7 − 6) = 𝐴
55	9, 54	eqtri 2792	. . 3 ⊢ 1 = 𝐴
56	55	eqcomi 2778	. 2 ⊢ 𝐴 = 1
57	56	oveq2i 7422	. . . 4 ⊢ (3 − 𝐴) = (3 − 1)
58	10, 5, 11	subadd2i 11546	. . . . . 6 ⊢ ((3 − 1) = 2 ↔ (2 + 1) = 3)
59	58	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ ((2 + 1) = 3 → (3 − 1) = 2)
60	13, 59	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
61	57, 60	eqtri 2792	. . 3 ⊢ (3 − 𝐴) = 2
62	39, 61	eqtri 2792	. 2 ⊢ 𝐵 = 2
63	56, 62	pm3.2i 475	1 ⊢ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   − cmin 11441  2c2 12295  3c3 12296  6c6 12299  7c7 12300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sub 11443  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308

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