Theorem problem4 33526

Description: Practice problem 4. Clues: pm3.2i 470 eqcomi 2747 eqtri 2766 subaddrii 11240 recni 10920 7re 11996 6re 11993 ax-1cn 10860 df-7 11971 ax-mp 5 oveq1i 7265 3cn 11984 2cn 11978 df-3 11967 mulid2i 10911 subdiri 11355 mp3an 1459 mulcli 10913 subadd23 11163 oveq2i 7266 oveq12i 7267 3t2e6 12069 mulcomi 10914 subcli 11227 biimpri 227 subadd2i 11239. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
problem4.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
problem4.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
problem4.3	⊢ (𝐴 + 𝐵) = 3
problem4.4	⊢ ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7

Assertion

Ref	Expression
problem4	⊢ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)

Proof of Theorem problem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7re 11996	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℝ
2	1	recni 10920	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
3		6re 11993	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
4	3	recni 10920	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
5		ax-1cn 10860	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		df-7 11971	. . . . . . 7 ⊢ 7 = (6 + 1)
7	6	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
8	2, 4, 5, 7	subaddrii 11240	. . . . 5 ⊢ (7 − 6) = 1
9	8	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ 1 = (7 − 6)
10		3cn 11984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
11		2cn 11978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		df-3 11967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 = (2 + 1)
13	12	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 1) = 3
14	10, 11, 5, 13	subaddrii 11240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 − 2) = 1
15	14	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 − 2) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
16		problem4.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
17	16	mulid2i 10911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 𝐴) = 𝐴
18	15, 17	eqtri 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 − 2) · 𝐴) = 𝐴
19	18	eqcomi 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = ((3 − 2) · 𝐴)
20	10, 11, 16	subdiri 11355	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 − 2) · 𝐴) = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
21	19, 20	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
22	21	oveq1i 7265	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + 6) = (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6)
23	10, 16	mulcli 10913	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 𝐴) ∈ ℂ
24	11, 16	mulcli 10913	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℂ
25		subadd23 11163	. . . . . . . . 9 ⊢ (((3 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ) → (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))))
26	23, 24, 4, 25	mp3an 1459	. . . . . . . 8 ⊢ (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
27		3t2e6 12069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 2) = 6
28	16, 11	mulcomi 10914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴)
29	27, 28	oveq12i 7267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (6 − (2 · 𝐴))
30	29	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 − (2 · 𝐴)) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
31	10, 16, 11	subdiri 11355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 − 𝐴) · 2) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
32	31	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = ((3 − 𝐴) · 2)
33	10, 16	subcli 11227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 − 𝐴) ∈ ℂ
34	11, 33	mulcomi 10914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · (3 − 𝐴)) = ((3 − 𝐴) · 2)
35	34	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · (3 − 𝐴))
36		problem4.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
37		problem4.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = 3
38	10, 16, 36, 37	subaddrii 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 − 𝐴) = 𝐵
39	38	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (3 − 𝐴)
40	39	oveq2i 7266	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 𝐵) = (2 · (3 − 𝐴))
41	40	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · (3 − 𝐴)) = (2 · 𝐵)
42	35, 41	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · 𝐵)
43	32, 42	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (2 · 𝐵)
44	30, 43	eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 − (2 · 𝐴)) = (2 · 𝐵)
45	44	eqcomi 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 𝐵) = (6 − (2 · 𝐴))
46	45	oveq2i 7266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
47	46	eqcomi 2747	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
48	26, 47	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
49	22, 48	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
50		problem4.4	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7
51	49, 50	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + 6) = 7
52	2, 4, 16	subadd2i 11239	. . . . . 6 ⊢ ((7 − 6) = 𝐴 ↔ (𝐴 + 6) = 7)
53	52	biimpri 227	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 6) = 7 → (7 − 6) = 𝐴)
54	51, 53	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (7 − 6) = 𝐴
55	9, 54	eqtri 2766	. . 3 ⊢ 1 = 𝐴
56	55	eqcomi 2747	. 2 ⊢ 𝐴 = 1
57	56	oveq2i 7266	. . . 4 ⊢ (3 − 𝐴) = (3 − 1)
58	10, 5, 11	subadd2i 11239	. . . . . 6 ⊢ ((3 − 1) = 2 ↔ (2 + 1) = 3)
59	58	biimpri 227	. . . . 5 ⊢ ((2 + 1) = 3 → (3 − 1) = 2)
60	13, 59	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
61	57, 60	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (3 − 𝐴) = 2
62	39, 61	eqtri 2766	. 2 ⊢ 𝐵 = 2
63	56, 62	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  2c2 11958  3c3 11959  6c6 11962  7c7 11963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971

This theorem is referenced by: (None)