Users' Mathboxes Mathbox for Filip Cernatescu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  problem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem problem4 34320
Description: Practice problem 4. Clues: pm3.2i 472 eqcomi 2742 eqtri 2761 subaddrii 11498 recni 11177 7re 12254 6re 12251 ax-1cn 11117 df-7 12229 ax-mp 5 oveq1i 7371 3cn 12242 2cn 12236 df-3 12225 mulid2i 11168 subdiri 11613 mp3an 1462 mulcli 11170 subadd23 11421 oveq2i 7372 oveq12i 7373 3t2e6 12327 mulcomi 11171 subcli 11485 biimpri 227 subadd2i 11497. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
problem4.1 𝐴 ∈ ℂ
problem4.2 𝐵 ∈ ℂ
problem4.3 (𝐴 + 𝐵) = 3
problem4.4 ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7
Assertion
Ref Expression
problem4 (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)

Proof of Theorem problem4
StepHypRef Expression
1 7re 12254 . . . . . . 7 7 ∈ ℝ
21recni 11177 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
3 6re 12251 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
43recni 11177 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
5 ax-1cn 11117 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
6 df-7 12229 . . . . . . 7 7 = (6 + 1)
76eqcomi 2742 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
82, 4, 5, 7subaddrii 11498 . . . . 5 (7 − 6) = 1
98eqcomi 2742 . . . 4 1 = (7 − 6)
10 3cn 12242 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
11 2cn 12236 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
12 df-3 12225 . . . . . . . . . . . . . 14 3 = (2 + 1)
1312eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 1) = 3
1410, 11, 5, 13subaddrii 11498 . . . . . . . . . . . 12 (3 − 2) = 1
1514oveq1i 7371 . . . . . . . . . . 11 ((3 − 2) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
16 problem4.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ ℂ
1716mulid2i 11168 . . . . . . . . . . 11 (1 · 𝐴) = 𝐴
1815, 17eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 ((3 − 2) · 𝐴) = 𝐴
1918eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 𝐴 = ((3 − 2) · 𝐴)
2010, 11, 16subdiri 11613 . . . . . . . . 9 ((3 − 2) · 𝐴) = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
2119, 20eqtri 2761 . . . . . . . 8 𝐴 = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
2221oveq1i 7371 . . . . . . 7 (𝐴 + 6) = (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6)
2310, 16mulcli 11170 . . . . . . . . 9 (3 · 𝐴) ∈ ℂ
2411, 16mulcli 11170 . . . . . . . . 9 (2 · 𝐴) ∈ ℂ
25 subadd23 11421 . . . . . . . . 9 (((3 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ) → (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))))
2623, 24, 4, 25mp3an 1462 . . . . . . . 8 (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
27 3t2e6 12327 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 2) = 6
2816, 11mulcomi 11171 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴)
2927, 28oveq12i 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (6 − (2 · 𝐴))
3029eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . 12 (6 − (2 · 𝐴)) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
3110, 16, 11subdiri 11613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 − 𝐴) · 2) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
3231eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = ((3 − 𝐴) · 2)
3310, 16subcli 11485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 − 𝐴) ∈ ℂ
3411, 33mulcomi 11171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · (3 − 𝐴)) = ((3 − 𝐴) · 2)
3534eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · (3 − 𝐴))
36 problem4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵 ∈ ℂ
37 problem4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 + 𝐵) = 3
3810, 16, 36, 37subaddrii 11498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 − 𝐴) = 𝐵
3938eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (3 − 𝐴)
4039oveq2i 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 𝐵) = (2 · (3 − 𝐴))
4140eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (3 − 𝐴)) = (2 · 𝐵)
4235, 41eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · 𝐵)
4332, 42eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (2 · 𝐵)
4430, 43eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 (6 − (2 · 𝐴)) = (2 · 𝐵)
4544eqcomi 2742 . . . . . . . . . 10 (2 · 𝐵) = (6 − (2 · 𝐴))
4645oveq2i 7372 . . . . . . . . 9 ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
4746eqcomi 2742 . . . . . . . 8 ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
4826, 47eqtri 2761 . . . . . . 7 (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
4922, 48eqtri 2761 . . . . . 6 (𝐴 + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
50 problem4.4 . . . . . 6 ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7
5149, 50eqtri 2761 . . . . 5 (𝐴 + 6) = 7
522, 4, 16subadd2i 11497 . . . . . 6 ((7 − 6) = 𝐴 ↔ (𝐴 + 6) = 7)
5352biimpri 227 . . . . 5 ((𝐴 + 6) = 7 → (7 − 6) = 𝐴)
5451, 53ax-mp 5 . . . 4 (7 − 6) = 𝐴
559, 54eqtri 2761 . . 3 1 = 𝐴
5655eqcomi 2742 . 2 𝐴 = 1
5756oveq2i 7372 . . . 4 (3 − 𝐴) = (3 − 1)
5810, 5, 11subadd2i 11497 . . . . . 6 ((3 − 1) = 2 ↔ (2 + 1) = 3)
5958biimpri 227 . . . . 5 ((2 + 1) = 3 → (3 − 1) = 2)
6013, 59ax-mp 5 . . . 4 (3 − 1) = 2
6157, 60eqtri 2761 . . 3 (3 − 𝐴) = 2
6239, 61eqtri 2761 . 2 𝐵 = 2
6356, 62pm3.2i 472 1 (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7361  cc 11057  1c1 11060   + caddc 11062   · cmul 11064  cmin 11393  2c2 12216  3c3 12217  6c6 12220  7c7 12221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-sub 11395  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator