Theorem subaddrii 11487

Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
pncan3i.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
subadd.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
subaddri.4	⊢ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴

Assertion

Ref	Expression
subaddrii	⊢ (𝐴 − 𝐵) = 𝐶

Proof of Theorem subaddrii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subaddri.4	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴
2		negidi.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		pncan3i.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
4		subadd.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
5	2, 3, 4	subaddi 11485	. 2 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴)
6	1, 5	mpbir 231	1 ⊢ (𝐴 − 𝐵) = 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℂcc 11042   + caddc 11047   − cmin 11381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383

This theorem is referenced by:  2m1e1  12283  1mhlfehlf  12377  halfthird  12379  5recm6rec  12768  4bc2eq6  14270  bpoly3  16000  bpoly4  16001  cos1bnd  16131  cos2bnd  16132  pythagtriplem1  16763  cosq14gt0  26395  cosq14ge0  26396  sincos6thpi  26401  pige3ALT  26405  cosne0  26414  resinf1o  26421  logimul  26499  mcubic  26733  quartlem1  26743  acosneg  26773  acosbnd  26786  atanlogsublem  26801  chtub  27099  lgsdir2lem1  27212  addsqnreup  27330  addltmulALT  32348  ply1dg3rt0irred  33524  fib5  34369  fib6  34370  hgt750lem  34615  problem3  35627  problem4  35628  imsqrtvalex  43608  lhe4.4ex1a  44291  stoweidlem13  45984  stoweidlem26  45997  wallispilem4  46039  41prothprmlem2  47592  linevalexample  48357  5m4e1  49759