Theorem m3prm 48678

Description: The third Mersenne number M₃ = 7 is a prime number. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m3prm	⊢ ((2↑3) − 1) ∈ ℙ

Proof of Theorem m3prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cu2 14344	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
2	1	oveq1i 7431	. . 3 ⊢ ((2↑3) − 1) = (8 − 1)
3		7p1e8 12492	. . . 4 ⊢ (7 + 1) = 8
4		8cn 12441	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
5		ax-1cn 11259	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		7cn 12438	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
7	4, 5, 6	subadd2i 11647	. . . 4 ⊢ ((8 − 1) = 7 ↔ (7 + 1) = 8)
8	3, 7	mpbir 234	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
9	2, 8	eqtri 2784	. 2 ⊢ ((2↑3) − 1) = 7
10		7prm 17289	. 2 ⊢ 7 ∈ ℙ
11	9, 10	eqeltri 2857	1 ⊢ ((2↑3) − 1) ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7421  1c1 11202   + caddc 11204   − cmin 11542  2c2 12398  3c3 12399  7c7 12403  8c8 12404  ↑cexp 14205  ℙcprime 16847

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fz 13641  df-seq 14146  df-exp 14206  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-dvds 16424  df-prm 16848

This theorem is used by: (None)