quad3 - Mathbox for Filip Cernatescu

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Theorem quad3 35984

Description: Variant of quadratic equation with discriminant expanded. (Contributed by Filip Cernatescu, 19-Oct-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
quad3.1	⊢ 𝑋 ∈ ℂ
quad3.2	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
quad3.3	⊢ 𝐴 ≠ 0
quad3.4	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
quad3.5	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
quad3.6	⊢ ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0

**Assertion**
Ref	Expression
quad3	⊢ (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))

**Proof of Theorem quad3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12290	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		quad3.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 11186	. . . . 5 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℂ
4		quad3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ ℂ
5		quad3.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
6		2ne0 12321	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
7		quad3.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ≠ 0
8	1, 2, 6, 7	mulne0i 11827	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 𝐴) ≠ 0
9	5, 3, 8	divcli 11930	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ
10	4, 9	addcli 11185	. . . . 5 ⊢ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ∈ ℂ
11	3, 10	sqmuli 14194	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))))↑2) = (((2 · 𝐴)↑2) · ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2))
12	4, 9	binom2i 14222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2) = (((𝑋↑2) + (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
13	4	sqcli 14191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋↑2) ∈ ℂ
14	2, 13	mulcli 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ
15	5, 4	mulcli 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ
16	14, 15, 2, 7	divdiri 11945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) / 𝐴) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) / 𝐴) + ((𝐵 · 𝑋) / 𝐴))
17	13, 2, 7	divcan3i 11934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 · (𝑋↑2)) / 𝐴) = (𝑋↑2)
18	5, 4, 2, 7	div23i 11946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 · 𝑋) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋)
19	17, 18	oveq12i 7404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 · (𝑋↑2)) / 𝐴) + ((𝐵 · 𝑋) / 𝐴)) = ((𝑋↑2) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋))
20	16, 19	eqtr2i 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋↑2) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋)) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) / 𝐴)
21	5, 2, 7	divcli 11930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ
22	21, 4	mulcomi 11187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = (𝑋 · (𝐵 / 𝐴))
23	4, 21	mulcli 11186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ
24	23, 1, 6	divcan2i 11931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · ((𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) / 2)) = (𝑋 · (𝐵 / 𝐴))
25	4, 21, 1, 6	divassi 11944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) / 2) = (𝑋 · ((𝐵 / 𝐴) / 2))
26	2, 7	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)
27	1, 6	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
28		divdiv1 11899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝐵 / 𝐴) / 2) = (𝐵 / (𝐴 · 2)))
29	5, 26, 27, 28	mp3an 1481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) / 2) = (𝐵 / (𝐴 · 2))
30	2, 1	mulcomi 11187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴)
31	30	oveq2i 7403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 / (𝐴 · 2)) = (𝐵 / (2 · 𝐴))
32	29, 31	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) / 2) = (𝐵 / (2 · 𝐴))
33	32	oveq2i 7403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 · ((𝐵 / 𝐴) / 2)) = (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴)))
34	25, 33	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) / 2) = (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴)))
35	34	oveq2i 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · ((𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) / 2)) = (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
36	22, 24, 35	3eqtr2i 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
37	36	oveq2i 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋↑2) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋)) = ((𝑋↑2) + (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴)))))
38		quad3.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
39	14, 15, 38	addassi 11189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))
40	39	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)
41	40	oveq1i 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) − 𝐶) = ((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) − 𝐶)
42	14, 15	addcli 11185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) ∈ ℂ
43	42, 38	pncan3oi 11443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) − 𝐶) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋))
44	41, 43	eqtr2i 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) − 𝐶)
45		quad3.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0
46	45	oveq1i 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) − 𝐶) = (0 − 𝐶)
47		df-neg 11414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -𝐶 = (0 − 𝐶)
48	46, 47	eqtr4i 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) − 𝐶) = -𝐶
49	44, 48	eqtri 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) = -𝐶
50	49	oveq1i 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) / 𝐴) = (-𝐶 / 𝐴)
51	20, 37, 50	3eqtr3i 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋↑2) + (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))) = (-𝐶 / 𝐴)
52	51	oveq1i 7402	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋↑2) + (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = ((-𝐶 / 𝐴) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
53	12, 52	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2) = ((-𝐶 / 𝐴) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
54	38	negcli 11496	. . . . . . . 8 ⊢ -𝐶 ∈ ℂ
55	54, 2, 7	divcli 11930	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ
56	9	sqcli 14191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) ∈ ℂ
57	55, 56	addcomi 11371	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐶 / 𝐴) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = (((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) + (-𝐶 / 𝐴))
58	5, 3, 8	sqdivi 14195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2))
59		4cn 12300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
60	59, 2	mulcli 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 𝐴) ∈ ℂ
61		4ne0 12326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ≠ 0
62	59, 2, 61, 7	mulne0i 11827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 𝐴) ≠ 0
63	60, 60, 54, 2, 62, 7	divmuldivi 11948	. . . . . . . . 9 ⊢ (((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴)) · (-𝐶 / 𝐴)) = (((4 · 𝐴) · -𝐶) / ((4 · 𝐴) · 𝐴))
64	60, 62	dividi 11921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴)) = 1
65	64	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = ((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴))
66	65	oveq1i 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (-𝐶 / 𝐴)) = (((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴)) · (-𝐶 / 𝐴))
67	55	mullidi 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (-𝐶 / 𝐴)) = (-𝐶 / 𝐴)
68	66, 67	eqtr3i 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴)) · (-𝐶 / 𝐴)) = (-𝐶 / 𝐴)
69	38	mulm1i 11629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1 · 𝐶) = -𝐶
70	69	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -𝐶 = (-1 · 𝐶)
71	70	oveq2i 7403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 · 𝐴) · -𝐶) = ((4 · 𝐴) · (-1 · 𝐶))
72		neg1cn 12177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -1 ∈ ℂ
73	60, 72, 38	mulassi 11190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((4 · 𝐴) · -1) · 𝐶) = ((4 · 𝐴) · (-1 · 𝐶))
74	71, 73	eqtr4i 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 𝐴) · -𝐶) = (((4 · 𝐴) · -1) · 𝐶)
75	60, 72	mulcomi 11187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 · 𝐴) · -1) = (-1 · (4 · 𝐴))
76	75	oveq1i 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((4 · 𝐴) · -1) · 𝐶) = ((-1 · (4 · 𝐴)) · 𝐶)
77	72, 60, 38	mulassi 11190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 · (4 · 𝐴)) · 𝐶) = (-1 · ((4 · 𝐴) · 𝐶))
78	74, 76, 77	3eqtri 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 · 𝐴) · -𝐶) = (-1 · ((4 · 𝐴) · 𝐶))
79	59, 2, 38	mulassi 11190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 𝐴) · 𝐶) = (4 · (𝐴 · 𝐶))
80	79	oveq2i 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 · ((4 · 𝐴) · 𝐶)) = (-1 · (4 · (𝐴 · 𝐶)))
81	2, 38	mulcli 11186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ
82	59, 81	mulcli 11186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ
83	82	mulm1i 11629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 · (4 · (𝐴 · 𝐶))) = -(4 · (𝐴 · 𝐶))
84	78, 80, 83	3eqtri 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 · 𝐴) · -𝐶) = -(4 · (𝐴 · 𝐶))
85		2t2e4 12378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 2) = 4
86	85	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 = (2 · 2)
87	86	oveq1i 7402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 · 𝐴) = ((2 · 2) · 𝐴)
88	87	oveq1i 7402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 · 𝐴) · 𝐴) = (((2 · 2) · 𝐴) · 𝐴)
89	1, 1, 2	mulassi 11190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))
90	89	oveq1i 7402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 2) · 𝐴) · 𝐴) = ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐴)
91	88, 90	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 𝐴) · 𝐴) = ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐴)
92	1, 3	mulcomi 11187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · 2)
93	92	oveq1i 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐴) = (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴)
94	3, 1, 2	mulassi 11190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴))
95	91, 93, 94	3eqtri 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 · 𝐴) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴))
96	3	sqvali 14190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝐴)↑2) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴))
97	95, 96	eqtr4i 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 · 𝐴) · 𝐴) = ((2 · 𝐴)↑2)
98	84, 97	oveq12i 7404	. . . . . . . . 9 ⊢ (((4 · 𝐴) · -𝐶) / ((4 · 𝐴) · 𝐴)) = (-(4 · (𝐴 · 𝐶)) / ((2 · 𝐴)↑2))
99	63, 68, 98	3eqtr3i 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐶 / 𝐴) = (-(4 · (𝐴 · 𝐶)) / ((2 · 𝐴)↑2))
100	58, 99	oveq12i 7404	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) + (-𝐶 / 𝐴)) = (((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)) + (-(4 · (𝐴 · 𝐶)) / ((2 · 𝐴)↑2)))
101	5	sqcli 14191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵↑2) ∈ ℂ
102	82	negcli 11496	. . . . . . . 8 ⊢ -(4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ
103	3	sqcli 14191	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ
104	3, 3, 8, 8	mulne0i 11827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴)) ≠ 0
105	96, 104	eqnetri 3026	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝐴)↑2) ≠ 0
106	101, 102, 103, 105	divdiri 11945	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵↑2) + -(4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2)) = (((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)) + (-(4 · (𝐴 · 𝐶)) / ((2 · 𝐴)↑2)))
107	101, 82	negsubi 11506	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑2) + -(4 · (𝐴 · 𝐶))) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))
108	107	oveq1i 7402	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵↑2) + -(4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2)) = (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2))
109	100, 106, 108	3eqtr2i 2790	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) + (-𝐶 / 𝐴)) = (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2))
110	53, 57, 109	3eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2) = (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2))
111	110	oveq2i 7403	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝐴)↑2) · ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2)) = (((2 · 𝐴)↑2) · (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2)))
112	101, 82	subcli 11504	. . . . 5 ⊢ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ
113	112, 103, 105	divcan2i 11931	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝐴)↑2) · (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2))) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))
114	11, 111, 113	3eqtri 2788	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))))↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))
115	3, 10	mulcli 11186	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) ∈ ℂ
116	115, 112	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
117		eqsqrtor 15377	. . . 4 ⊢ ((((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ) → ((((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))))↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ↔ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∨ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))))
118	116, 117	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))))↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ↔ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∨ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))))
119	114, 118	mpbi 232	. 2 ⊢ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∨ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
120		sqrtcl 15372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ → (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∈ ℂ)
121	112, 120	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∈ ℂ
122	121, 3, 10, 8	divmuli 11942	. . . . 5 ⊢ (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) = (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
123		eqcom 2768	. . . . 5 ⊢ (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) = (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
124	122, 123	bitr3i 279	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
125	121, 3, 8	divcli 11930	. . . . . 6 ⊢ ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ
126	125, 9, 4	subadd2i 11516	. . . . 5 ⊢ ((((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = 𝑋 ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
127		eqcom 2768	. . . . 5 ⊢ ((((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))))
128	126, 127	bitr3i 279	. . . 4 ⊢ ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝑋 = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))))
129		divneg 11879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0) → -(𝐵 / (2 · 𝐴)) = (-𝐵 / (2 · 𝐴)))
130	5, 3, 8, 129	mp3an 1481	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝐵 / (2 · 𝐴)) = (-𝐵 / (2 · 𝐴))
131	130	oveq2i 7403	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + (-𝐵 / (2 · 𝐴)))
132	125, 9	negsubi 11506	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴)))
133	5	negcli 11496	. . . . . . . . 9 ⊢ -𝐵 ∈ ℂ
134	133, 3, 8	divcli 11930	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ
135	125, 134	addcomi 11371	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + (-𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
136	131, 132, 135	3eqtr3i 2792	. . . . . 6 ⊢ (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
137	133, 121, 3, 8	divdiri 11945	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
138	136, 137	eqtr4i 2787	. . . . 5 ⊢ (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴))
139	138	eqeq2i 2774	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ 𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))
140	124, 128, 139	3bitri 299	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ↔ 𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))
141	121	negcli 11496	. . . . . 6 ⊢ -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∈ ℂ
142	141, 3, 10, 8	divmuli 11942	. . . . 5 ⊢ ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) = (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
143		eqcom 2768	. . . . 5 ⊢ ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) = (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
144	142, 143	bitr3i 279	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
145	141, 3, 8	divcli 11930	. . . . . 6 ⊢ (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ
146	145, 9, 4	subadd2i 11516	. . . . 5 ⊢ (((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = 𝑋 ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
147		eqcom 2768	. . . . 5 ⊢ (((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = 𝑋 ↔ 𝑋 = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))))
148	146, 147	bitr3i 279	. . . 4 ⊢ ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝑋 = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))))
149	130	oveq2i 7403	. . . . . . 7 ⊢ ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + (-𝐵 / (2 · 𝐴)))
150	145, 9	negsubi 11506	. . . . . . 7 ⊢ ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴)))
151	145, 134	addcomi 11371	. . . . . . 7 ⊢ ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + (-𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
152	149, 150, 151	3eqtr3i 2792	. . . . . 6 ⊢ ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
153	133, 141, 3, 8	divdiri 11945	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐵 + -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
154	133, 121	negsubi 11506	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐵 + -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) = (-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
155	154	oveq1i 7402	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐵 + -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴))
156	152, 153, 155	3eqtr2i 2790	. . . . 5 ⊢ ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴))
157	156	eqeq2i 2774	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))
158	144, 148, 157	3bitri 299	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ↔ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))
159	140, 158	orbi12i 925	. 2 ⊢ ((((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∨ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴))))
160	119, 159	mpbi 232	1 ⊢ (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ↔ wb 208 ∧ wa 399 ∨ wo 858 = wceq 1559 ∈ wcel 2141 ≠ wne 2956 ‘cfv 6517 (class class class)co 7392 ℂcc 11068 0cc0 11070 1c1 11071 + caddc 11073 · cmul 11075 − cmin 11411 -cneg 11412 / cdiv 11841 2c2 12269 4c4 12271 ↑cexp 14071 √csqrt 15243

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1814 ax-4 1828 ax-5 1929 ax-6 1986 ax-7 2027 ax-8 2143 ax-9 2151 ax-10 2174 ax-11 2190 ax-12 2211 ax-ext 2733 ax-sep 5245 ax-nul 5255 ax-pow 5321 ax-pr 5389 ax-un 7714 ax-cnex 11126 ax-resscn 11127 ax-1cn 11128 ax-icn 11129 ax-addcl 11130 ax-addrcl 11131 ax-mulcl 11132 ax-mulrcl 11133 ax-mulcom 11134 ax-addass 11135 ax-mulass 11136 ax-distr 11137 ax-i2m1 11138 ax-1ne0 11139 ax-1rid 11140 ax-rnegex 11141 ax-rrecex 11142 ax-cnre 11143 ax-pre-lttri 11144 ax-pre-lttrn 11145 ax-pre-ltadd 11146 ax-pre-mulgt0 11147 ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1098 df-3an 1099 df-tru 1562 df-fal 1572 df-ex 1799 df-nf 1803 df-sb 2090 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3061 df-ral 3076 df-rex 3086 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3455 df-sbc 3745 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4582 df-pr 4584 df-op 4588 df-uni 4865 df-iun 4950 df-br 5100 df-opab 5162 df-mpt 5181 df-tr 5207 df-id 5540 df-eprel 5545 df-po 5553 df-so 5554 df-fr 5598 df-we 5600 df-xp 5651 df-rel 5652 df-cnv 5653 df-co 5654 df-dm 5655 df-rn 5656 df-res 5657 df-ima 5658 df-pred 6284 df-ord 6345 df-on 6346 df-lim 6347 df-suc 6348 df-iota 6473 df-fun 6519 df-fn 6520 df-f 6521 df-f1 6522 df-fo 6523 df-f1o 6524 df-fv 6525 df-riota 7349 df-ov 7395 df-oprab 7396 df-mpo 7397 df-om 7843 df-2nd 7967 df-frecs 8257 df-wrecs 8288 df-recs 8337 df-rdg 8376 df-er 8673 df-en 8924 df-dom 8925 df-sdom 8926 df-sup 9385 df-pnf 11215 df-mnf 11216 df-xr 11217 df-ltxr 11218 df-le 11219 df-sub 11413 df-neg 11414 df-div 11842 df-nn 12208 df-2 12277 df-3 12278 df-4 12279 df-n0 12479 df-z 12566 df-uz 12837 df-rp 12991 df-seq 14012 df-exp 14072 df-cj 15109 df-re 15110 df-im 15111 df-sqrt 15245 df-abs 15246

This theorem is referenced by: (None)

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