quad3 - Mathbox for Filip Cernatescu

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Theorem quad3 35868

Description: Variant of quadratic equation with discriminant expanded. (Contributed by Filip Cernatescu, 19-Oct-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
quad3.1	⊢ 𝑋 ∈ ℂ
quad3.2	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
quad3.3	⊢ 𝐴 ≠ 0
quad3.4	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
quad3.5	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
quad3.6	⊢ ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0

**Assertion**
Ref	Expression
quad3	⊢ (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))

**Proof of Theorem quad3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12247	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		quad3.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 11143	. . . . 5 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℂ
4		quad3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ ℂ
5		quad3.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
6		2ne0 12276	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
7		quad3.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ≠ 0
8	1, 2, 6, 7	mulne0i 11784	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 𝐴) ≠ 0
9	5, 3, 8	divcli 11888	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ
10	4, 9	addcli 11142	. . . . 5 ⊢ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ∈ ℂ
11	3, 10	sqmuli 14137	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))))↑2) = (((2 · 𝐴)↑2) · ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2))
12	4, 9	binom2i 14165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2) = (((𝑋↑2) + (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
13	4	sqcli 14134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋↑2) ∈ ℂ
14	2, 13	mulcli 11143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ
15	5, 4	mulcli 11143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ
16	14, 15, 2, 7	divdiri 11903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) / 𝐴) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) / 𝐴) + ((𝐵 · 𝑋) / 𝐴))
17	13, 2, 7	divcan3i 11892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 · (𝑋↑2)) / 𝐴) = (𝑋↑2)
18	5, 4, 2, 7	div23i 11904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 · 𝑋) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋)
19	17, 18	oveq12i 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 · (𝑋↑2)) / 𝐴) + ((𝐵 · 𝑋) / 𝐴)) = ((𝑋↑2) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋))
20	16, 19	eqtr2i 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋↑2) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋)) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) / 𝐴)
21	5, 2, 7	divcli 11888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ
22	21, 4	mulcomi 11144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = (𝑋 · (𝐵 / 𝐴))
23	4, 21	mulcli 11143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ
24	23, 1, 6	divcan2i 11889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · ((𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) / 2)) = (𝑋 · (𝐵 / 𝐴))
25	4, 21, 1, 6	divassi 11902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) / 2) = (𝑋 · ((𝐵 / 𝐴) / 2))
26	2, 7	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)
27	1, 6	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
28		divdiv1 11857	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝐵 / 𝐴) / 2) = (𝐵 / (𝐴 · 2)))
29	5, 26, 27, 28	mp3an 1464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) / 2) = (𝐵 / (𝐴 · 2))
30	2, 1	mulcomi 11144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴)
31	30	oveq2i 7371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 / (𝐴 · 2)) = (𝐵 / (2 · 𝐴))
32	29, 31	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) / 2) = (𝐵 / (2 · 𝐴))
33	32	oveq2i 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 · ((𝐵 / 𝐴) / 2)) = (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴)))
34	25, 33	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) / 2) = (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴)))
35	34	oveq2i 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · ((𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) / 2)) = (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
36	22, 24, 35	3eqtr2i 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
37	36	oveq2i 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋↑2) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋)) = ((𝑋↑2) + (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴)))))
38		quad3.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
39	14, 15, 38	addassi 11146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))
40	39	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)
41	40	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) − 𝐶) = ((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) − 𝐶)
42	14, 15	addcli 11142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) ∈ ℂ
43	42, 38	pncan3oi 11400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) − 𝐶) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋))
44	41, 43	eqtr2i 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) − 𝐶)
45		quad3.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0
46	45	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) − 𝐶) = (0 − 𝐶)
47		df-neg 11371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -𝐶 = (0 − 𝐶)
48	46, 47	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) − 𝐶) = -𝐶
49	44, 48	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) = -𝐶
50	49	oveq1i 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) / 𝐴) = (-𝐶 / 𝐴)
51	20, 37, 50	3eqtr3i 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋↑2) + (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))) = (-𝐶 / 𝐴)
52	51	oveq1i 7370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋↑2) + (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = ((-𝐶 / 𝐴) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
53	12, 52	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2) = ((-𝐶 / 𝐴) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
54	38	negcli 11453	. . . . . . . 8 ⊢ -𝐶 ∈ ℂ
55	54, 2, 7	divcli 11888	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ
56	9	sqcli 14134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) ∈ ℂ
57	55, 56	addcomi 11328	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐶 / 𝐴) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = (((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) + (-𝐶 / 𝐴))
58	5, 3, 8	sqdivi 14138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2))
59		4cn 12257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
60	59, 2	mulcli 11143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 𝐴) ∈ ℂ
61		4ne0 12280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ≠ 0
62	59, 2, 61, 7	mulne0i 11784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 𝐴) ≠ 0
63	60, 60, 54, 2, 62, 7	divmuldivi 11906	. . . . . . . . 9 ⊢ (((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴)) · (-𝐶 / 𝐴)) = (((4 · 𝐴) · -𝐶) / ((4 · 𝐴) · 𝐴))
64	60, 62	dividi 11879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴)) = 1
65	64	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = ((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴))
66	65	oveq1i 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (-𝐶 / 𝐴)) = (((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴)) · (-𝐶 / 𝐴))
67	55	mullidi 11141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (-𝐶 / 𝐴)) = (-𝐶 / 𝐴)
68	66, 67	eqtr3i 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴)) · (-𝐶 / 𝐴)) = (-𝐶 / 𝐴)
69	38	mulm1i 11586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1 · 𝐶) = -𝐶
70	69	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -𝐶 = (-1 · 𝐶)
71	70	oveq2i 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 · 𝐴) · -𝐶) = ((4 · 𝐴) · (-1 · 𝐶))
72		neg1cn 12135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -1 ∈ ℂ
73	60, 72, 38	mulassi 11147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((4 · 𝐴) · -1) · 𝐶) = ((4 · 𝐴) · (-1 · 𝐶))
74	71, 73	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 𝐴) · -𝐶) = (((4 · 𝐴) · -1) · 𝐶)
75	60, 72	mulcomi 11144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 · 𝐴) · -1) = (-1 · (4 · 𝐴))
76	75	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((4 · 𝐴) · -1) · 𝐶) = ((-1 · (4 · 𝐴)) · 𝐶)
77	72, 60, 38	mulassi 11147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 · (4 · 𝐴)) · 𝐶) = (-1 · ((4 · 𝐴) · 𝐶))
78	74, 76, 77	3eqtri 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 · 𝐴) · -𝐶) = (-1 · ((4 · 𝐴) · 𝐶))
79	59, 2, 38	mulassi 11147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 𝐴) · 𝐶) = (4 · (𝐴 · 𝐶))
80	79	oveq2i 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 · ((4 · 𝐴) · 𝐶)) = (-1 · (4 · (𝐴 · 𝐶)))
81	2, 38	mulcli 11143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ
82	59, 81	mulcli 11143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ
83	82	mulm1i 11586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 · (4 · (𝐴 · 𝐶))) = -(4 · (𝐴 · 𝐶))
84	78, 80, 83	3eqtri 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 · 𝐴) · -𝐶) = -(4 · (𝐴 · 𝐶))
85		2t2e4 12331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 2) = 4
86	85	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 = (2 · 2)
87	86	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 · 𝐴) = ((2 · 2) · 𝐴)
88	87	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 · 𝐴) · 𝐴) = (((2 · 2) · 𝐴) · 𝐴)
89	1, 1, 2	mulassi 11147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))
90	89	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 2) · 𝐴) · 𝐴) = ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐴)
91	88, 90	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 𝐴) · 𝐴) = ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐴)
92	1, 3	mulcomi 11144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · 2)
93	92	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐴) = (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴)
94	3, 1, 2	mulassi 11147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴))
95	91, 93, 94	3eqtri 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 · 𝐴) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴))
96	3	sqvali 14133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝐴)↑2) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴))
97	95, 96	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 · 𝐴) · 𝐴) = ((2 · 𝐴)↑2)
98	84, 97	oveq12i 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((4 · 𝐴) · -𝐶) / ((4 · 𝐴) · 𝐴)) = (-(4 · (𝐴 · 𝐶)) / ((2 · 𝐴)↑2))
99	63, 68, 98	3eqtr3i 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐶 / 𝐴) = (-(4 · (𝐴 · 𝐶)) / ((2 · 𝐴)↑2))
100	58, 99	oveq12i 7372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) + (-𝐶 / 𝐴)) = (((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)) + (-(4 · (𝐴 · 𝐶)) / ((2 · 𝐴)↑2)))
101	5	sqcli 14134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵↑2) ∈ ℂ
102	82	negcli 11453	. . . . . . . 8 ⊢ -(4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ
103	3	sqcli 14134	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ
104	3, 3, 8, 8	mulne0i 11784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴)) ≠ 0
105	96, 104	eqnetri 3003	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝐴)↑2) ≠ 0
106	101, 102, 103, 105	divdiri 11903	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵↑2) + -(4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2)) = (((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)) + (-(4 · (𝐴 · 𝐶)) / ((2 · 𝐴)↑2)))
107	101, 82	negsubi 11463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑2) + -(4 · (𝐴 · 𝐶))) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))
108	107	oveq1i 7370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵↑2) + -(4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2)) = (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2))
109	100, 106, 108	3eqtr2i 2766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) + (-𝐶 / 𝐴)) = (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2))
110	53, 57, 109	3eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2) = (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2))
111	110	oveq2i 7371	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝐴)↑2) · ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2)) = (((2 · 𝐴)↑2) · (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2)))
112	101, 82	subcli 11461	. . . . 5 ⊢ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ
113	112, 103, 105	divcan2i 11889	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝐴)↑2) · (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2))) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))
114	11, 111, 113	3eqtri 2764	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))))↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))
115	3, 10	mulcli 11143	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) ∈ ℂ
116	115, 112	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
117		eqsqrtor 15320	. . . 4 ⊢ ((((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ) → ((((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))))↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ↔ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∨ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))))
118	116, 117	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))))↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ↔ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∨ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))))
119	114, 118	mpbi 230	. 2 ⊢ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∨ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
120		sqrtcl 15315	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ → (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∈ ℂ)
121	112, 120	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∈ ℂ
122	121, 3, 10, 8	divmuli 11900	. . . . 5 ⊢ (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) = (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
123		eqcom 2744	. . . . 5 ⊢ (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) = (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
124	122, 123	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
125	121, 3, 8	divcli 11888	. . . . . 6 ⊢ ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ
126	125, 9, 4	subadd2i 11473	. . . . 5 ⊢ ((((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = 𝑋 ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
127		eqcom 2744	. . . . 5 ⊢ ((((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))))
128	126, 127	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝑋 = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))))
129		divneg 11837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0) → -(𝐵 / (2 · 𝐴)) = (-𝐵 / (2 · 𝐴)))
130	5, 3, 8, 129	mp3an 1464	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝐵 / (2 · 𝐴)) = (-𝐵 / (2 · 𝐴))
131	130	oveq2i 7371	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + (-𝐵 / (2 · 𝐴)))
132	125, 9	negsubi 11463	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴)))
133	5	negcli 11453	. . . . . . . . 9 ⊢ -𝐵 ∈ ℂ
134	133, 3, 8	divcli 11888	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ
135	125, 134	addcomi 11328	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + (-𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
136	131, 132, 135	3eqtr3i 2768	. . . . . 6 ⊢ (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
137	133, 121, 3, 8	divdiri 11903	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
138	136, 137	eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴))
139	138	eqeq2i 2750	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ 𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))
140	124, 128, 139	3bitri 297	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ↔ 𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))
141	121	negcli 11453	. . . . . 6 ⊢ -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∈ ℂ
142	141, 3, 10, 8	divmuli 11900	. . . . 5 ⊢ ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) = (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
143		eqcom 2744	. . . . 5 ⊢ ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) = (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
144	142, 143	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
145	141, 3, 8	divcli 11888	. . . . . 6 ⊢ (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ
146	145, 9, 4	subadd2i 11473	. . . . 5 ⊢ (((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = 𝑋 ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
147		eqcom 2744	. . . . 5 ⊢ (((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = 𝑋 ↔ 𝑋 = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))))
148	146, 147	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝑋 = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))))
149	130	oveq2i 7371	. . . . . . 7 ⊢ ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + (-𝐵 / (2 · 𝐴)))
150	145, 9	negsubi 11463	. . . . . . 7 ⊢ ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴)))
151	145, 134	addcomi 11328	. . . . . . 7 ⊢ ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + (-𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
152	149, 150, 151	3eqtr3i 2768	. . . . . 6 ⊢ ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
153	133, 141, 3, 8	divdiri 11903	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐵 + -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
154	133, 121	negsubi 11463	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐵 + -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) = (-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
155	154	oveq1i 7370	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐵 + -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴))
156	152, 153, 155	3eqtr2i 2766	. . . . 5 ⊢ ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴))
157	156	eqeq2i 2750	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))
158	144, 148, 157	3bitri 297	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ↔ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))
159	140, 158	orbi12i 915	. 2 ⊢ ((((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∨ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴))))
160	119, 159	mpbi 230	1 ⊢ (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 848 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ‘cfv 6492 (class class class)co 7360 ℂcc 11027 0cc0 11029 1c1 11030 + caddc 11032 · cmul 11034 − cmin 11368 -cneg 11369 / cdiv 11798 2c2 12227 4c4 12229 ↑cexp 14014 √csqrt 15186

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5302 ax-pr 5370 ax-un 7682 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106 ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-op 4575 df-uni 4852 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7317 df-ov 7363 df-oprab 7364 df-mpo 7365 df-om 7811 df-2nd 7936 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8342 df-er 8636 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-sup 9348 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-div 11799 df-nn 12166 df-2 12235 df-3 12236 df-4 12237 df-n0 12429 df-z 12516 df-uz 12780 df-rp 12934 df-seq 13955 df-exp 14015 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189

This theorem is referenced by: (None)

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