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Theorem quad3 31891
Description: Variant of quadratic equation with discriminant expanded. (Contributed by Filip Cernatescu, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
quad3.1 𝑋 ∈ ℂ
quad3.2 𝐴 ∈ ℂ
quad3.3 𝐴 ≠ 0
quad3.4 𝐵 ∈ ℂ
quad3.5 𝐶 ∈ ℂ
quad3.6 ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0
Assertion
Ref Expression
quad3 (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))

Proof of Theorem quad3
StepHypRef Expression
1 2cn 11378 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
2 quad3.2 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
31, 2mulcli 10335 . . . . 5 (2 · 𝐴) ∈ ℂ
4 quad3.1 . . . . . 6 𝑋 ∈ ℂ
5 quad3.4 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℂ
6 2ne0 11399 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
7 quad3.3 . . . . . . . 8 𝐴 ≠ 0
81, 2, 6, 7mulne0i 10958 . . . . . . 7 (2 · 𝐴) ≠ 0
95, 3, 8divcli 11055 . . . . . 6 (𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ
104, 9addcli 10334 . . . . 5 (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ∈ ℂ
113, 10sqmuli 13173 . . . 4 (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))))↑2) = (((2 · 𝐴)↑2) · ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2))
124, 9binom2i 13200 . . . . . . 7 ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2) = (((𝑋↑2) + (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
134sqcli 13170 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋↑2) ∈ ℂ
142, 13mulcli 10335 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ
155, 4mulcli 10335 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ
1614, 15, 2, 7divdiri 11070 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) / 𝐴) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) / 𝐴) + ((𝐵 · 𝑋) / 𝐴))
1713, 2, 7divcan3i 11059 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 · (𝑋↑2)) / 𝐴) = (𝑋↑2)
185, 4, 2, 7div23i 11071 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 · 𝑋) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋)
1917, 18oveq12i 6889 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 · (𝑋↑2)) / 𝐴) + ((𝐵 · 𝑋) / 𝐴)) = ((𝑋↑2) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋))
2016, 19eqtr2i 2836 . . . . . . . . 9 ((𝑋↑2) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋)) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) / 𝐴)
215, 2, 7divcli 11055 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ
2221, 4mulcomi 10336 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = (𝑋 · (𝐵 / 𝐴))
234, 21mulcli 10335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ
2423, 1, 6divcan2i 11056 . . . . . . . . . . 11 (2 · ((𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) / 2)) = (𝑋 · (𝐵 / 𝐴))
254, 21, 1, 6divassi 11069 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) / 2) = (𝑋 · ((𝐵 / 𝐴) / 2))
262, 7pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)
271, 6pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
28 divdiv1 11024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝐵 / 𝐴) / 2) = (𝐵 / (𝐴 · 2)))
295, 26, 27, 28mp3an 1578 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 / 𝐴) / 2) = (𝐵 / (𝐴 · 2))
302, 1mulcomi 10336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴)
3130oveq2i 6888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 / (𝐴 · 2)) = (𝐵 / (2 · 𝐴))
3229, 31eqtri 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 / 𝐴) / 2) = (𝐵 / (2 · 𝐴))
3332oveq2i 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 · ((𝐵 / 𝐴) / 2)) = (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴)))
3425, 33eqtri 2835 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) / 2) = (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴)))
3534oveq2i 6888 . . . . . . . . . . 11 (2 · ((𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) / 2)) = (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
3622, 24, 353eqtr2i 2841 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
3736oveq2i 6888 . . . . . . . . 9 ((𝑋↑2) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋)) = ((𝑋↑2) + (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴)))))
38 quad3.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶 ∈ ℂ
3914, 15, 38addassi 10338 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))
4039eqcomi 2822 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)
4140oveq1i 6887 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) − 𝐶) = ((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) − 𝐶)
4214, 15addcli 10334 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) ∈ ℂ
4342, 38pncan3oi 10585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) − 𝐶) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋))
4441, 43eqtr2i 2836 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) − 𝐶)
45 quad3.6 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0
4645oveq1i 6887 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) − 𝐶) = (0 − 𝐶)
47 df-neg 10557 . . . . . . . . . . . 12 -𝐶 = (0 − 𝐶)
4846, 47eqtr4i 2838 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) − 𝐶) = -𝐶
4944, 48eqtri 2835 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) = -𝐶
5049oveq1i 6887 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) / 𝐴) = (-𝐶 / 𝐴)
5120, 37, 503eqtr3i 2843 . . . . . . . 8 ((𝑋↑2) + (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))) = (-𝐶 / 𝐴)
5251oveq1i 6887 . . . . . . 7 (((𝑋↑2) + (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = ((-𝐶 / 𝐴) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
5312, 52eqtri 2835 . . . . . 6 ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2) = ((-𝐶 / 𝐴) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
5438negcli 10637 . . . . . . . 8 -𝐶 ∈ ℂ
5554, 2, 7divcli 11055 . . . . . . 7 (-𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ
569sqcli 13170 . . . . . . 7 ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) ∈ ℂ
5755, 56addcomi 10515 . . . . . 6 ((-𝐶 / 𝐴) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = (((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) + (-𝐶 / 𝐴))
585, 3, 8sqdivi 13174 . . . . . . . 8 ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2))
59 4cn 11385 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
6059, 2mulcli 10335 . . . . . . . . . 10 (4 · 𝐴) ∈ ℂ
61 4ne0 11403 . . . . . . . . . . 11 4 ≠ 0
6259, 2, 61, 7mulne0i 10958 . . . . . . . . . 10 (4 · 𝐴) ≠ 0
6360, 60, 54, 2, 62, 7divmuldivi 11073 . . . . . . . . 9 (((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴)) · (-𝐶 / 𝐴)) = (((4 · 𝐴) · -𝐶) / ((4 · 𝐴) · 𝐴))
6460, 62dividi 11046 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴)) = 1
6564eqcomi 2822 . . . . . . . . . . 11 1 = ((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴))
6665oveq1i 6887 . . . . . . . . . 10 (1 · (-𝐶 / 𝐴)) = (((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴)) · (-𝐶 / 𝐴))
6755mulid2i 10333 . . . . . . . . . 10 (1 · (-𝐶 / 𝐴)) = (-𝐶 / 𝐴)
6866, 67eqtr3i 2837 . . . . . . . . 9 (((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴)) · (-𝐶 / 𝐴)) = (-𝐶 / 𝐴)
6938mulm1i 10763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · 𝐶) = -𝐶
7069eqcomi 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 -𝐶 = (-1 · 𝐶)
7170oveq2i 6888 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 · 𝐴) · -𝐶) = ((4 · 𝐴) · (-1 · 𝐶))
72 neg1cn 11409 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℂ
7360, 72, 38mulassi 10339 . . . . . . . . . . . . 13 (((4 · 𝐴) · -1) · 𝐶) = ((4 · 𝐴) · (-1 · 𝐶))
7471, 73eqtr4i 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 𝐴) · -𝐶) = (((4 · 𝐴) · -1) · 𝐶)
7560, 72mulcomi 10336 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 · 𝐴) · -1) = (-1 · (4 · 𝐴))
7675oveq1i 6887 . . . . . . . . . . . 12 (((4 · 𝐴) · -1) · 𝐶) = ((-1 · (4 · 𝐴)) · 𝐶)
7772, 60, 38mulassi 10339 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 · (4 · 𝐴)) · 𝐶) = (-1 · ((4 · 𝐴) · 𝐶))
7874, 76, 773eqtri 2839 . . . . . . . . . . 11 ((4 · 𝐴) · -𝐶) = (-1 · ((4 · 𝐴) · 𝐶))
7959, 2, 38mulassi 10339 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 𝐴) · 𝐶) = (4 · (𝐴 · 𝐶))
8079oveq2i 6888 . . . . . . . . . . 11 (-1 · ((4 · 𝐴) · 𝐶)) = (-1 · (4 · (𝐴 · 𝐶)))
812, 38mulcli 10335 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ
8259, 81mulcli 10335 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ
8382mulm1i 10763 . . . . . . . . . . 11 (-1 · (4 · (𝐴 · 𝐶))) = -(4 · (𝐴 · 𝐶))
8478, 80, 833eqtri 2839 . . . . . . . . . 10 ((4 · 𝐴) · -𝐶) = -(4 · (𝐴 · 𝐶))
85 2t2e4 11458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 2) = 4
8685eqcomi 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 = (2 · 2)
8786oveq1i 6887 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 · 𝐴) = ((2 · 2) · 𝐴)
8887oveq1i 6887 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 · 𝐴) · 𝐴) = (((2 · 2) · 𝐴) · 𝐴)
891, 1, 2mulassi 10339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))
9089oveq1i 6887 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 2) · 𝐴) · 𝐴) = ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐴)
9188, 90eqtri 2835 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 𝐴) · 𝐴) = ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐴)
921, 3mulcomi 10336 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · 2)
9392oveq1i 6887 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐴) = (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴)
943, 1, 2mulassi 10339 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴))
9591, 93, 943eqtri 2839 . . . . . . . . . . 11 ((4 · 𝐴) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴))
963sqvali 13169 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝐴)↑2) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴))
9795, 96eqtr4i 2838 . . . . . . . . . 10 ((4 · 𝐴) · 𝐴) = ((2 · 𝐴)↑2)
9884, 97oveq12i 6889 . . . . . . . . 9 (((4 · 𝐴) · -𝐶) / ((4 · 𝐴) · 𝐴)) = (-(4 · (𝐴 · 𝐶)) / ((2 · 𝐴)↑2))
9963, 68, 983eqtr3i 2843 . . . . . . . 8 (-𝐶 / 𝐴) = (-(4 · (𝐴 · 𝐶)) / ((2 · 𝐴)↑2))
10058, 99oveq12i 6889 . . . . . . 7 (((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) + (-𝐶 / 𝐴)) = (((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)) + (-(4 · (𝐴 · 𝐶)) / ((2 · 𝐴)↑2)))
1015sqcli 13170 . . . . . . . 8 (𝐵↑2) ∈ ℂ
10282negcli 10637 . . . . . . . 8 -(4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ
1033sqcli 13170 . . . . . . . 8 ((2 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ
1043, 3, 8, 8mulne0i 10958 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴)) ≠ 0
10596, 104eqnetri 3055 . . . . . . . 8 ((2 · 𝐴)↑2) ≠ 0
106101, 102, 103, 105divdiri 11070 . . . . . . 7 (((𝐵↑2) + -(4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2)) = (((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)) + (-(4 · (𝐴 · 𝐶)) / ((2 · 𝐴)↑2)))
107101, 82negsubi 10647 . . . . . . . 8 ((𝐵↑2) + -(4 · (𝐴 · 𝐶))) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))
108107oveq1i 6887 . . . . . . 7 (((𝐵↑2) + -(4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2)) = (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2))
109100, 106, 1083eqtr2i 2841 . . . . . 6 (((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) + (-𝐶 / 𝐴)) = (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2))
11053, 57, 1093eqtri 2839 . . . . 5 ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2) = (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2))
111110oveq2i 6888 . . . 4 (((2 · 𝐴)↑2) · ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2)) = (((2 · 𝐴)↑2) · (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2)))
112101, 82subcli 10645 . . . . 5 ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ
113112, 103, 105divcan2i 11056 . . . 4 (((2 · 𝐴)↑2) · (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2))) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))
11411, 111, 1133eqtri 2839 . . 3 (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))))↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))
1153, 10mulcli 10335 . . . . 5 ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) ∈ ℂ
116115, 112pm3.2i 458 . . . 4 (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
117 eqsqrtor 14332 . . . 4 ((((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ) → ((((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))))↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ↔ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∨ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))))
118116, 117ax-mp 5 . . 3 ((((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))))↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ↔ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∨ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))))
119114, 118mpbi 221 . 2 (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∨ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
120 sqrtcl 14327 . . . . . . 7 (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ → (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∈ ℂ)
121112, 120ax-mp 5 . . . . . 6 (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∈ ℂ
122121, 3, 10, 8divmuli 11067 . . . . 5 (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) = (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
123 eqcom 2820 . . . . 5 (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) = (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
124122, 123bitr3i 268 . . . 4 (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
125121, 3, 8divcli 11055 . . . . . 6 ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ
126125, 9, 4subadd2i 10657 . . . . 5 ((((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = 𝑋 ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
127 eqcom 2820 . . . . 5 ((((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = 𝑋𝑋 = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))))
128126, 127bitr3i 268 . . . 4 ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝑋 = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))))
129 divneg 11007 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0) → -(𝐵 / (2 · 𝐴)) = (-𝐵 / (2 · 𝐴)))
1305, 3, 8, 129mp3an 1578 . . . . . . . 8 -(𝐵 / (2 · 𝐴)) = (-𝐵 / (2 · 𝐴))
131130oveq2i 6888 . . . . . . 7 (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + (-𝐵 / (2 · 𝐴)))
132125, 9negsubi 10647 . . . . . . 7 (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴)))
1335negcli 10637 . . . . . . . . 9 -𝐵 ∈ ℂ
134133, 3, 8divcli 11055 . . . . . . . 8 (-𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ
135125, 134addcomi 10515 . . . . . . 7 (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + (-𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
136131, 132, 1353eqtr3i 2843 . . . . . 6 (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
137133, 121, 3, 8divdiri 11070 . . . . . 6 ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
138136, 137eqtr4i 2838 . . . . 5 (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴))
139138eqeq2i 2825 . . . 4 (𝑋 = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ 𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))
140124, 128, 1393bitri 288 . . 3 (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ↔ 𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))
141121negcli 10637 . . . . . 6 -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∈ ℂ
142141, 3, 10, 8divmuli 11067 . . . . 5 ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) = (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
143 eqcom 2820 . . . . 5 ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) = (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
144142, 143bitr3i 268 . . . 4 (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
145141, 3, 8divcli 11055 . . . . . 6 (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ
146145, 9, 4subadd2i 10657 . . . . 5 (((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = 𝑋 ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
147 eqcom 2820 . . . . 5 (((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = 𝑋𝑋 = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))))
148146, 147bitr3i 268 . . . 4 ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝑋 = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))))
149130oveq2i 6888 . . . . . . 7 ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + (-𝐵 / (2 · 𝐴)))
150145, 9negsubi 10647 . . . . . . 7 ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴)))
151145, 134addcomi 10515 . . . . . . 7 ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + (-𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
152149, 150, 1513eqtr3i 2843 . . . . . 6 ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
153133, 141, 3, 8divdiri 11070 . . . . . 6 ((-𝐵 + -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
154133, 121negsubi 10647 . . . . . . 7 (-𝐵 + -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) = (-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
155154oveq1i 6887 . . . . . 6 ((-𝐵 + -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴))
156152, 153, 1553eqtr2i 2841 . . . . 5 ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴))
157156eqeq2i 2825 . . . 4 (𝑋 = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))
158144, 148, 1573bitri 288 . . 3 (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ↔ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))
159140, 158orbi12i 929 . 2 ((((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∨ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴))))
160119, 159mpbi 221 1 (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384  wo 865   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2985  cfv 6104  (class class class)co 6877  cc 10222  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229  cmin 10554  -cneg 10555   / cdiv 10972  2c2 11359  4c4 11361  cexp 13086  csqrt 14199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-n0 11563  df-z 11647  df-uz 11908  df-rp 12050  df-seq 13028  df-exp 13087  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202
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