Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suprleubrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprleubrd 40720
Description: Natural deduction form of specialized suprleub 11594. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
suprleubrd.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
suprleubrd.2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
suprleubrd.3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
suprleubrd.4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
suprleubrd.5 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝑧𝐵)
Assertion
Ref Expression
suprleubrd (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprleubrd
StepHypRef Expression
1 suprleubrd.5 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝑧𝐵)
2 suprleubrd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 suprleubrd.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
4 suprleubrd.3 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
5 suprleubrd.4 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 suprleub 11594 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧𝐵))
72, 3, 4, 5, 6syl31anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧𝐵))
87bicomd 226 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑧𝐴 𝑧𝐵 ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
98biimpd 232 . . 3 (𝜑 → (∀𝑧𝐴 𝑧𝐵 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
109imp 410 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧𝐵) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
111, 10mpdan 686 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wcel 2115  wne 3013  wral 3132  wrex 3133  wss 3918  c0 4274   class class class wbr 5049  supcsup 8890  cr 10523   < clt 10662  cle 10663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4822  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-id 5443  df-po 5457  df-so 5458  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-sup 8892  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860
This theorem is referenced by:  imo72b2lem2  40721
  Copyright terms: Public domain W3C validator