Theorem suprleubrd 44273

Description: Natural deduction form of specialized suprleub 12098. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprleubrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprleubrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
suprleubrd.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
suprleubrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
suprleubrd.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
suprleubrd	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprleubrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprleubrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
2		suprleubrd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		suprleubrd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
4		suprleubrd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
5		suprleubrd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		suprleub 12098	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl31anc 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))
8	7	bicomd 223	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
9	8	biimpd 229	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
10	9	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
11	1, 10	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058   ⊆ wss 3899  ∅c0 4284   class class class wbr 5095  supcsup 9334  ℝcr 11015   < clt 11156   ≤ cle 11157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-sup 9336  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357

This theorem is referenced by:  imo72b2lem2  44274