Theorem suprleubrd 42601

Description: Natural deduction form of specialized suprleub 12152. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprleubrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprleubrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
suprleubrd.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
suprleubrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
suprleubrd.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
suprleubrd	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprleubrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprleubrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
2		suprleubrd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		suprleubrd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
4		suprleubrd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
5		suprleubrd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		suprleub 12152	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl31anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))
8	7	bicomd 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
9	8	biimpd 228	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
10	9	imp 407	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
11	1, 10	mpdan 685	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3935  ∅c0 4309   class class class wbr 5132  supcsup 9407  ℝcr 11081   < clt 11220   ≤ cle 11221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5283  ax-nul 5290  ax-pow 5347  ax-pr 5411  ax-un 7699  ax-resscn 11139  ax-1cn 11140  ax-icn 11141  ax-addcl 11142  ax-addrcl 11143  ax-mulcl 11144  ax-mulrcl 11145  ax-mulcom 11146  ax-addass 11147  ax-mulass 11148  ax-distr 11149  ax-i2m1 11150  ax-1ne0 11151  ax-1rid 11152  ax-rnegex 11153  ax-rrecex 11154  ax-cnre 11155  ax-pre-lttri 11156  ax-pre-lttrn 11157  ax-pre-ltadd 11158  ax-pre-mulgt0 11159  ax-pre-sup 11160

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3426  df-v 3468  df-sbc 3765  df-csb 3881  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3952  df-nul 4310  df-if 4514  df-pw 4589  df-sn 4614  df-pr 4616  df-op 4620  df-uni 4893  df-br 5133  df-opab 5195  df-mpt 5216  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6475  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7340  df-ov 7387  df-oprab 7388  df-mpo 7389  df-er 8677  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9409  df-pnf 11222  df-mnf 11223  df-xr 11224  df-ltxr 11225  df-le 11226  df-sub 11418  df-neg 11419

This theorem is referenced by:  imo72b2lem2  42602