Theorem suprleubrd 43407

Description: Natural deduction form of specialized suprleub 12177. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprleubrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprleubrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
suprleubrd.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
suprleubrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
suprleubrd.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
suprleubrd	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprleubrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprleubrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
2		suprleubrd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		suprleubrd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
4		suprleubrd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
5		suprleubrd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		suprleub 12177	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl31anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))
8	7	bicomd 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
9	8	biimpd 228	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
10	9	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
11	1, 10	mpdan 684	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∀wral 3053  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3940  ∅c0 4314   class class class wbr 5138  supcsup 9431  ℝcr 11105   < clt 11245   ≤ cle 11246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444

This theorem is referenced by:  imo72b2lem2  43408