Theorem suprleub 12234

Description: The supremum of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
suprleub	⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprleub

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprnub 12233	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑤))
2		suprcl 12228	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3		lenlt 11339	. . . 4 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < )))
4	2, 3	sylan 580	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < )))
5		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	5	sselda 3983	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
7		simplr 769	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	6, 7	lenltd 11407	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑤))
9	8	ralbidva 3176	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑤))
10	1, 4, 9	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝐵))
11		breq1 5146	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ≤ 𝐵 ↔ 𝑧 ≤ 𝐵))
12	11	cbvralvw 3237	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
13	10, 12	bitrdi 287	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  supcsup 9480  ℝcr 11154   < clt 11295   ≤ cle 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  supaddc  12235  supadd  12236  supmul1  12237  supmul  12240  suprleubii  12246  suprzcl  12698  rpnnen1lem3  13021  rpnnen1lem5  13023  supxrre  13369  supicc  13541  flval3  13855  01sqrexlem4  15284  01sqrexlem6  15286  ruclem12  16277  icccmplem3  24846  reconnlem2  24849  evth  24991  ivthlem2  25487  ivthlem3  25488  mbflimsup  25701  itg2cnlem1  25796  plyeq0lem  26249  ismblfin  37668  suprleubrd  44179  ubelsupr  45025  suprleubrnmpt  45433  sge0isum  46442  hoidmv1lelem1  46606  hoidmvlelem1  46610