Theorem suprubrnmpt2 46025

Description: A member of a nonempty indexed set of reals is less than or equal to the set's upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubrnmpt2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
suprubrnmpt2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
suprubrnmpt2.l	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
suprubrnmpt2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
suprubrnmpt2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
suprubrnmpt2.i	⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
suprubrnmpt2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)   𝐷(𝑦)

Proof of Theorem suprubrnmpt2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprubrnmpt2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3		suprubrnmpt2.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	rnmptssd 7123	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
5		suprubrnmpt2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
6		suprubrnmpt2.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7		suprubrnmpt2.i	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)
8	2, 7	elrnmpt1s 5951	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
9	5, 6, 8	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
10	9	ne0d 4295	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≠ ∅)
11		suprubrnmpt2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
12	1, 11	rnmptbdd 46018	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑤 ≤ 𝑦)
13	4, 10, 12, 9	suprubd 12192	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664  supcsup 9407  ℝcr 11114   < clt 11258   ≤ cle 11259

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459

This theorem is used by: (None)