Theorem suprubrnmpt2 44255

Description: A member of a nonempty indexed set of reals is less than or equal to the set's upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubrnmpt2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
suprubrnmpt2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
suprubrnmpt2.l	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
suprubrnmpt2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
suprubrnmpt2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
suprubrnmpt2.i	⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
suprubrnmpt2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)   𝐷(𝑦)

Proof of Theorem suprubrnmpt2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprubrnmpt2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3		suprubrnmpt2.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	rnmptssd 44194	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
5		suprubrnmpt2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
6		suprubrnmpt2.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7		suprubrnmpt2.i	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)
8	2, 7	elrnmpt1s 5956	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
9	5, 6, 8	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
10	9	ne0d 4335	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≠ ∅)
11		suprubrnmpt2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
12	1, 11	rnmptbdd 44248	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑤 ≤ 𝑦)
13	4, 10, 12, 9	suprubd 12181	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  supcsup 9439  ℝcr 11113   < clt 11253   ≤ cle 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452

This theorem is referenced by: (None)