Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suprubrnmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprubrnmpt2 43378
Description: A member of a nonempty indexed set of reals is less than or equal to the set's upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
suprubrnmpt2.x 𝑥𝜑
suprubrnmpt2.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
suprubrnmpt2.l (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
suprubrnmpt2.c (𝜑𝐶𝐴)
suprubrnmpt2.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
suprubrnmpt2.i (𝑥 = 𝐶𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
suprubrnmpt2 (𝜑𝐷 ≤ sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)   𝐷(𝑦)

Proof of Theorem suprubrnmpt2
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprubrnmpt2.x . . 3 𝑥𝜑
2 eqid 2737 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
3 suprubrnmpt2.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
41, 2, 3rnmptssd 43314 . 2 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
5 suprubrnmpt2.c . . . 4 (𝜑𝐶𝐴)
6 suprubrnmpt2.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
7 suprubrnmpt2.i . . . . 5 (𝑥 = 𝐶𝐵 = 𝐷)
82, 7elrnmpt1s 5910 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐷 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
95, 6, 8syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
109ne0d 4293 . 2 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅)
11 suprubrnmpt2.l . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
121, 11rnmptbdd 43370 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑤𝑦)
134, 10, 12, 9suprubd 12075 1 (𝜑𝐷 ≤ sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071   class class class wbr 5103  cmpt 5186  ran crn 5632  supcsup 9334  cr 11008   < clt 11147  cle 11148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-sup 9336  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator