Theorem suprubrnmpt2 45289

Description: A member of a nonempty indexed set of reals is less than or equal to the set's upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubrnmpt2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
suprubrnmpt2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
suprubrnmpt2.l	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
suprubrnmpt2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
suprubrnmpt2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
suprubrnmpt2.i	⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
suprubrnmpt2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)   𝐷(𝑦)

Proof of Theorem suprubrnmpt2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprubrnmpt2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3		suprubrnmpt2.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	rnmptssd 45233	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
5		suprubrnmpt2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
6		suprubrnmpt2.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7		suprubrnmpt2.i	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)
8	2, 7	elrnmpt1s 5894	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
9	5, 6, 8	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
10	9	ne0d 4287	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≠ ∅)
11		suprubrnmpt2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
12	1, 11	rnmptbdd 45282	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑤 ≤ 𝑦)
13	4, 10, 12, 9	suprubd 12079	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ran crn 5612  supcsup 9319  ℝcr 11000   < clt 11141   ≤ cle 11142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342

This theorem is referenced by: (None)