Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suprclrnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprclrnmpt 41827
 Description: Closure of the indexed supremum of a nonempty bounded set of reals. Range of a function in maps-to notation can be used, to express an indexed supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
suprclrnmpt.x 𝑥𝜑
suprclrnmpt.n (𝜑𝐴 ≠ ∅)
suprclrnmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
suprclrnmpt.y (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
Assertion
Ref Expression
suprclrnmpt (𝜑 → sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem suprclrnmpt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprclrnmpt.x . . 3 𝑥𝜑
2 eqid 2822 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
3 suprclrnmpt.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
41, 2, 3rnmptssd 41762 . 2 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
5 suprclrnmpt.n . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
61, 3, 2, 5rnmptn0 41788 . 2 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅)
7 suprclrnmpt.y . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
81, 7rnmptbdd 41820 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑧𝑦)
94, 6, 8suprcld 11591 1 (𝜑 → sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  ∀wral 3130  ∃wrex 3131  ∅c0 4265   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122  ran crn 5533  supcsup 8892  ℝcr 10525   < clt 10664   ≤ cle 10665 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862 This theorem is referenced by:  smfsuplem1  43381  smfsuplem3  43383  smfinflem  43387
 Copyright terms: Public domain W3C validator