MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprubd 11591
Description: Natural deduction form of suprubd 11591. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
suprubd.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
suprubd.2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
suprubd.3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
suprubd.4 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
suprubd (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprubd
StepHypRef Expression
1 suprubd.1 . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 suprubd.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
3 suprubd.3 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4 suprubd.4 . 2 (𝜑𝐵𝐴)
5 suprub 11590 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
61, 2, 3, 4, 5syl31anc 1365 1 (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  supcsup 8892  cr 10524   < clt 10663  cle 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861
This theorem is referenced by:  supiccub  12875  flval3  13173  fseqsupubi  13334  mertenslem2  15229  ruclem12  15582  pgpssslw  18668  icccmplem2  23358  icccmplem3  23359  reconnlem2  23362  ivthlem2  23980  ivthlem3  23981  mbflimsup  24194  itg2mono  24281  itg2cnlem1  24289  c1liplem1  24520  plyeq0lem  24727  imo72b2lem0  40394  suprubrnmpt2  41400  suprubrnmpt  41401
  Copyright terms: Public domain W3C validator