Theorem suprubd 12152

Description: Natural deduction form of suprubd 12152. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
suprubd.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
suprubd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
suprubd	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprubd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		suprubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
3		suprubd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
4		suprubd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
5		suprub 12151	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl31anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299   class class class wbr 5110  supcsup 9398  ℝcr 11074   < clt 11215   ≤ cle 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415

This theorem is referenced by:  supiccub  13470  flval3  13784  fseqsupubi  13950  mertenslem2  15858  ruclem12  16216  pgpssslw  19551  icccmplem2  24719  icccmplem3  24720  reconnlem2  24723  ivthlem2  25360  ivthlem3  25361  mbflimsup  25574  itg2mono  25661  itg2cnlem1  25669  c1liplem1  25908  plyeq0lem  26122  imo72b2lem0  44161  suprubrnmpt2  45253  suprubrnmpt  45254