Theorem suprubd 12180

Description: Natural deduction form of suprubd 12180. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
suprubd.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
suprubd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
suprubd	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprubd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		suprubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
3		suprubd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
4		suprubd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
5		suprub 12179	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl31anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  supcsup 9437  ℝcr 11111   < clt 11252   ≤ cle 11253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451

This theorem is referenced by:  supiccub  13483  flval3  13784  fseqsupubi  13947  mertenslem2  15835  ruclem12  16188  pgpssslw  19523  icccmplem2  24559  icccmplem3  24560  reconnlem2  24563  ivthlem2  25201  ivthlem3  25202  mbflimsup  25415  itg2mono  25503  itg2cnlem1  25511  c1liplem1  25748  plyeq0lem  25959  imo72b2lem0  43219  suprubrnmpt2  44254  suprubrnmpt  44255