Theorem suprubd 11652

Description: Natural deduction form of suprubd 11652. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
suprubd.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
suprubd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
suprubd	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprubd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		suprubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
3		suprubd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
4		suprubd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
5		suprub 11651	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl31anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227   class class class wbr 5036  supcsup 8950  ℝcr 10587   < clt 10726   ≤ cle 10727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924

This theorem is referenced by:  supiccub  12947  flval3  13247  fseqsupubi  13408  mertenslem2  15302  ruclem12  15655  pgpssslw  18819  icccmplem2  23537  icccmplem3  23538  reconnlem2  23541  ivthlem2  24165  ivthlem3  24166  mbflimsup  24379  itg2mono  24466  itg2cnlem1  24474  c1liplem1  24708  plyeq0lem  24919  imo72b2lem0  41277  suprubrnmpt2  42293  suprubrnmpt  42294