Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suprubrnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprubrnmpt 44898
Description: A member of a nonempty indexed set of reals is less than or equal to the set's upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
suprubrnmpt.x 𝑥𝜑
suprubrnmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
suprubrnmpt.e (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
Assertion
Ref Expression
suprubrnmpt ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem suprubrnmpt
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprubrnmpt.x . . . 4 𝑥𝜑
2 eqid 2726 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
3 suprubrnmpt.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
41, 2, 3rnmptssd 44839 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
54adantr 479 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
6 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
72elrnmpt1 5956 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
86, 3, 7syl2anc 582 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
98ne0d 4335 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅)
10 suprubrnmpt.e . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
111, 10rnmptbdd 44890 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑤𝑦)
1211adantr 479 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑤𝑦)
135, 9, 12, 8suprubd 12222 1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wnf 1778  wcel 2099  wral 3051  wrex 3060  wss 3946   class class class wbr 5145  cmpt 5228  ran crn 5675  supcsup 9476  cr 11148   < clt 11289  cle 11290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9478  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488
This theorem is referenced by:  uzublem  45081  limsupubuzlem  45369  smfsuplem1  46468
  Copyright terms: Public domain W3C validator