Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suprubrnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprubrnmpt 40379
Description: A member of a nonempty indexed set of reals is less than or equal to the set's upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
suprubrnmpt.x 𝑥𝜑
suprubrnmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
suprubrnmpt.e (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
Assertion
Ref Expression
suprubrnmpt ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem suprubrnmpt
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprubrnmpt.x . . . 4 𝑥𝜑
2 eqid 2778 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
3 suprubrnmpt.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
41, 2, 3rnmptssd 40308 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
54adantr 474 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
6 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
72elrnmpt1 5620 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
86, 3, 7syl2anc 579 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
98ne0d 4150 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅)
10 suprubrnmpt.e . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
111, 10rnmptbdd 40369 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑤𝑦)
1211adantr 474 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑤𝑦)
135, 9, 12, 8suprubd 11339 1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wnf 1827  wcel 2107  wral 3090  wrex 3091  wss 3792   class class class wbr 4886  cmpt 4965  ran crn 5356  supcsup 8634  cr 10271   < clt 10411  cle 10412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609
This theorem is referenced by:  uzublem  40563  limsupubuzlem  40852  smfsuplem1  41944
  Copyright terms: Public domain W3C validator