Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suprubrnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprubrnmpt 45260
Description: A member of a nonempty indexed set of reals is less than or equal to the set's upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
suprubrnmpt.x 𝑥𝜑
suprubrnmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
suprubrnmpt.e (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
Assertion
Ref Expression
suprubrnmpt ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem suprubrnmpt
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprubrnmpt.x . . . 4 𝑥𝜑
2 eqid 2737 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
3 suprubrnmpt.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
41, 2, 3rnmptssd 45201 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
54adantr 480 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
6 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
72elrnmpt1 5971 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
86, 3, 7syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
98ne0d 4342 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅)
10 suprubrnmpt.e . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
111, 10rnmptbdd 45252 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑤𝑦)
1211adantr 480 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑤𝑦)
135, 9, 12, 8suprubd 12230 1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wnf 1783  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  supcsup 9480  cr 11154   < clt 11295  cle 11296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495
This theorem is referenced by:  uzublem  45441  limsupubuzlem  45727  smfsuplem1  46826
  Copyright terms: Public domain W3C validator