Theorem supxrre1 13362

Description: The supremum of a nonempty set of reals is real iff it is less than plus infinity. (Contributed by NM, 5-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxrre1	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))

Proof of Theorem supxrre1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrgtmnf 13361	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
2		ressxr 11259	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
3		sstr 3944	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
4	2, 3	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5		supxrcl 13347	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6		xrrebnd 13200	. . . 4 ⊢ (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
7	4, 5, 6	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
8	7	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
9	1, 8	mpbirand 719	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   class class class wbr 5108  supcsup 9398  ℝcr 11105  +∞cpnf 11246  -∞cmnf 11247  ℝ^*cxr 11248   < clt 11249

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450

This theorem is used by:  supxrre2  13363  limsupgre  15539  supxrre3  46069