Theorem supxrre1 13460

Description: The supremum of a nonempty set of reals is real iff it is less than plus infinity. (Contributed by NM, 5-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxrre1	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))

Proof of Theorem supxrre1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrgtmnf 13459	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
2		ressxr 11353	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
3		sstr 3916	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
4	2, 3	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5		supxrcl 13445	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6		xrrebnd 13298	. . . 4 ⊢ (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
7	4, 5, 6	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
8	7	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
9	1, 8	mpbirand 720	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  supcsup 9432  ℝcr 11199  +∞cpnf 11340  -∞cmnf 11341  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544

This theorem is used by:  supxrre2  13461  limsupgre  15648  supxrre3  46337