Theorem supxrre3 46306

Description: The supremum of a nonempty set of reals, is real if and only if it is bounded-above . (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
supxrre3	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem supxrre3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrre1 13453	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
2		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		rexr 11348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
4	3	ssriv 3935	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ℝ ⊆ ℝ*)
6	2, 5	sstrd 3941	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
7		supxrbnd2 13445	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
9	8	bicomd 226	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
10	9	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
11	1, 10	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  supcsup 9425  ℝcr 11192  +∞cpnf 11333  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537

This theorem is used by:  supxrre3rnmpt  46408  sge0resplit  47385