Theorem supxrre3 45364

Description: The supremum of a nonempty set of reals, is real if and only if it is bounded-above . (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
supxrre3	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem supxrre3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrre1 13224	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
2		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		rexr 11153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
4	3	ssriv 3933	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ℝ ⊆ ℝ*)
6	2, 5	sstrd 3940	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
7		supxrbnd2 13216	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
9	8	bicomd 223	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
10	9	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
11	1, 10	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897  ∅c0 4278   class class class wbr 5086  supcsup 9319  ℝcr 11000  +∞cpnf 11138  ℝ^*cxr 11140   < clt 11141   ≤ cle 11142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342

This theorem is referenced by:  supxrre3rnmpt  45467  sge0resplit  46444