Theorem supxrcl 13354

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13180	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13348	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9496	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963   Or wor 5596  supcsup 9478  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493

This theorem is referenced by:  supxrun  13355  supxrmnf  13356  supxrbnd1  13360  supxrbnd2  13361  supxrub  13363  supxrleub  13365  supxrre  13366  supxrbnd  13367  supxrgtmnf  13368  supxrre1  13369  supxrre2  13370  supxrss  13371  ixxub  13405  limsupgord  15505  limsupcl  15506  limsupgf  15508  prdsdsf  24393  xpsdsval  24407  xrge0tsms  24870  elovolm  25524  ovolmge0  25526  ovolgelb  25529  ovollb2lem  25537  ovolunlem1a  25545  ovoliunlem1  25551  ovoliunlem2  25552  ovoliun  25554  ovolscalem1  25562  ovolicc1  25565  ovolicc2lem4  25569  voliunlem2  25600  voliunlem3  25601  ioombl1lem2  25608  uniioovol  25628  uniiccvol  25629  uniioombllem1  25630  uniioombllem3  25634  itg2cl  25782  itg2seq  25792  itg2monolem2  25801  itg2monolem3  25802  itg2mono  25803  mdeglt  26119  mdegxrcl  26121  radcnvcl  26475  nmoxr  30795  nmopxr  31895  nmfnxr  31908  xrofsup  32778  supxrnemnf  32779  xrge0tsmsd  33048  mblfinlem3  37646  mblfinlem4  37647  ismblfin  37648  itg2addnclem  37658  itg2gt0cn  37662  binomcxplemdvbinom  44349  binomcxplemcvg  44350  binomcxplemnotnn0  44352  supxrcld  45047  supxrgere  45283  supxrgelem  45287  supxrge  45288  suplesup  45289  suplesup2  45326  supxrcli  45384  liminfval2  45724  liminflelimsuplem  45731  sge0cl  46337  sge0xaddlem1  46389  sge0xaddlem2  46390  sge0reuz  46403