Theorem supxrcl 13299

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13125	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13293	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9456	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3948   Or wor 5587  supcsup 9438  ℝ^*cxr 11252   < clt 11253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452

This theorem is referenced by:  supxrun  13300  supxrmnf  13301  supxrbnd1  13305  supxrbnd2  13306  supxrub  13308  supxrleub  13310  supxrre  13311  supxrbnd  13312  supxrgtmnf  13313  supxrre1  13314  supxrre2  13315  supxrss  13316  ixxub  13350  limsupgord  15421  limsupcl  15422  limsupgf  15424  prdsdsf  24094  xpsdsval  24108  xrge0tsms  24571  elovolm  25225  ovolmge0  25227  ovolgelb  25230  ovollb2lem  25238  ovolunlem1a  25246  ovoliunlem1  25252  ovoliunlem2  25253  ovoliun  25255  ovolscalem1  25263  ovolicc1  25266  ovolicc2lem4  25270  voliunlem2  25301  voliunlem3  25302  ioombl1lem2  25309  uniioovol  25329  uniiccvol  25330  uniioombllem1  25331  uniioombllem3  25335  itg2cl  25483  itg2seq  25493  itg2monolem2  25502  itg2monolem3  25503  itg2mono  25504  mdeglt  25819  mdegxrcl  25821  radcnvcl  26166  nmoxr  30287  nmopxr  31387  nmfnxr  31400  xrofsup  32248  supxrnemnf  32249  xrge0tsmsd  32480  mblfinlem3  36831  mblfinlem4  36832  ismblfin  36833  itg2addnclem  36843  itg2gt0cn  36847  binomcxplemdvbinom  43415  binomcxplemcvg  43416  binomcxplemnotnn0  43418  supxrcld  44098  supxrgere  44342  supxrgelem  44346  supxrge  44347  suplesup  44348  suplesup2  44385  supxrcli  44443  liminfval2  44783  liminflelimsuplem  44790  sge0cl  45396  sge0xaddlem1  45448  sge0xaddlem2  45449  sge0reuz  45462