Theorem supxrcl 13377

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13203	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13371	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9527	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   Or wor 5606  supcsup 9509  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  supxrun  13378  supxrmnf  13379  supxrbnd1  13383  supxrbnd2  13384  supxrub  13386  supxrleub  13388  supxrre  13389  supxrbnd  13390  supxrgtmnf  13391  supxrre1  13392  supxrre2  13393  supxrss  13394  ixxub  13428  limsupgord  15518  limsupcl  15519  limsupgf  15521  prdsdsf  24398  xpsdsval  24412  xrge0tsms  24875  elovolm  25529  ovolmge0  25531  ovolgelb  25534  ovollb2lem  25542  ovolunlem1a  25550  ovoliunlem1  25556  ovoliunlem2  25557  ovoliun  25559  ovolscalem1  25567  ovolicc1  25570  ovolicc2lem4  25574  voliunlem2  25605  voliunlem3  25606  ioombl1lem2  25613  uniioovol  25633  uniiccvol  25634  uniioombllem1  25635  uniioombllem3  25639  itg2cl  25787  itg2seq  25797  itg2monolem2  25806  itg2monolem3  25807  itg2mono  25808  mdeglt  26124  mdegxrcl  26126  radcnvcl  26478  nmoxr  30798  nmopxr  31898  nmfnxr  31911  xrofsup  32774  supxrnemnf  32775  xrge0tsmsd  33041  mblfinlem3  37619  mblfinlem4  37620  ismblfin  37621  itg2addnclem  37631  itg2gt0cn  37635  binomcxplemdvbinom  44322  binomcxplemcvg  44323  binomcxplemnotnn0  44325  supxrcld  45009  supxrgere  45248  supxrgelem  45252  supxrge  45253  suplesup  45254  suplesup2  45291  supxrcli  45349  liminfval2  45689  liminflelimsuplem  45696  sge0cl  46302  sge0xaddlem1  46354  sge0xaddlem2  46355  sge0reuz  46368