Theorem supxrcl 13448

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13273	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13442	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9453	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   Or wor 5557  supcsup 9435  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547

This theorem is used by:  supxrun  13449  supxrmnf  13450  supxrbnd1  13454  supxrbnd2  13455  supxrub  13457  supxrleub  13459  supxrre  13460  supxrbnd  13461  supxrgtmnf  13462  supxrre1  13463  supxrre2  13464  supxrss  13465  ixxub  13500  limsupgord  15644  limsupcl  15645  limsupgf  15647  prdsdsf  24691  xpsdsval  24705  xrge0tsms  25159  elovolm  25801  ovolmge0  25803  ovolgelb  25806  ovollb2lem  25814  ovolunlem1a  25822  ovoliunlem1  25828  ovoliunlem2  25829  ovoliun  25831  ovolscalem1  25839  ovolicc1  25842  ovolicc2lem4  25846  voliunlem2  25877  voliunlem3  25878  ioombl1lem2  25885  uniioovol  25905  uniiccvol  25906  uniioombllem1  25907  uniioombllem3  25911  itg2cl  26058  itg2seq  26068  itg2monolem2  26077  itg2monolem3  26078  itg2mono  26079  mdeglt  26388  mdegxrcl  26390  radcnvcl  26749  nmoxr  31373  nmopxr  32473  nmfnxr  32486  xrofsup  33405  supxrnemnf  33406  xrge0tsmsd  33680  mblfinlem3  38670  mblfinlem4  38671  ismblfin  38672  itg2addnclem  38682  itg2gt0cn  38686  binomcxplemdvbinom  45430  binomcxplemcvg  45431  binomcxplemnotnn0  45433  supxrcld  46215  supxrgere  46438  supxrgelem  46442  supxrge  46443  suplesup  46444  suplesup2  46480  supxrcli  46537  liminfval2  46871  sge0cl  47484  sge0xaddlem1  47536  sge0xaddlem2  47537  sge0reuz  47550