Theorem supxrcl 13329

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13154	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13323	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9406	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907   Or wor 5558  supcsup 9388  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432

This theorem is referenced by:  supxrun  13330  supxrmnf  13331  supxrbnd1  13335  supxrbnd2  13336  supxrub  13338  supxrleub  13340  supxrre  13341  supxrbnd  13342  supxrgtmnf  13343  supxrre1  13344  supxrre2  13345  supxrss  13346  ixxub  13381  limsupgord  15511  limsupcl  15512  limsupgf  15514  prdsdsf  24481  xpsdsval  24495  xrge0tsms  24949  elovolm  25591  ovolmge0  25593  ovolgelb  25596  ovollb2lem  25604  ovolunlem1a  25612  ovoliunlem1  25618  ovoliunlem2  25619  ovoliun  25621  ovolscalem1  25629  ovolicc1  25632  ovolicc2lem4  25636  voliunlem2  25667  voliunlem3  25668  ioombl1lem2  25675  uniioovol  25695  uniiccvol  25696  uniioombllem1  25697  uniioombllem3  25701  itg2cl  25848  itg2seq  25858  itg2monolem2  25867  itg2monolem3  25868  itg2mono  25869  mdeglt  26179  mdegxrcl  26181  radcnvcl  26534  nmoxr  31023  nmopxr  32123  nmfnxr  32136  xrofsup  33020  supxrnemnf  33021  xrge0tsmsd  33301  mblfinlem3  38165  mblfinlem4  38166  ismblfin  38167  itg2addnclem  38177  itg2gt0cn  38181  binomcxplemdvbinom  44922  binomcxplemcvg  44923  binomcxplemnotnn0  44925  supxrcld  45684  supxrgere  45908  supxrgelem  45912  supxrge  45913  suplesup  45914  suplesup2  45950  supxrcli  46007  liminfval2  46341  sge0cl  46954  sge0xaddlem1  47006  sge0xaddlem2  47007  sge0reuz  47020