Theorem supxrcl 13230

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13055	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13224	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9361	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901   Or wor 5531  supcsup 9343  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367

This theorem is referenced by:  supxrun  13231  supxrmnf  13232  supxrbnd1  13236  supxrbnd2  13237  supxrub  13239  supxrleub  13241  supxrre  13242  supxrbnd  13243  supxrgtmnf  13244  supxrre1  13245  supxrre2  13246  supxrss  13247  ixxub  13282  limsupgord  15395  limsupcl  15396  limsupgf  15398  prdsdsf  24311  xpsdsval  24325  xrge0tsms  24779  elovolm  25432  ovolmge0  25434  ovolgelb  25437  ovollb2lem  25445  ovolunlem1a  25453  ovoliunlem1  25459  ovoliunlem2  25460  ovoliun  25462  ovolscalem1  25470  ovolicc1  25473  ovolicc2lem4  25477  voliunlem2  25508  voliunlem3  25509  ioombl1lem2  25516  uniioovol  25536  uniiccvol  25537  uniioombllem1  25538  uniioombllem3  25542  itg2cl  25689  itg2seq  25699  itg2monolem2  25708  itg2monolem3  25709  itg2mono  25710  mdeglt  26026  mdegxrcl  26028  radcnvcl  26382  nmoxr  30841  nmopxr  31941  nmfnxr  31954  xrofsup  32847  supxrnemnf  32848  xrge0tsmsd  33155  mblfinlem3  37860  mblfinlem4  37861  ismblfin  37862  itg2addnclem  37872  itg2gt0cn  37876  binomcxplemdvbinom  44594  binomcxplemcvg  44595  binomcxplemnotnn0  44597  supxrcld  45351  supxrgere  45578  supxrgelem  45582  supxrge  45583  suplesup  45584  suplesup2  45620  supxrcli  45678  liminfval2  46012  sge0cl  46625  sge0xaddlem1  46677  sge0xaddlem2  46678  sge0reuz  46691