Theorem supxrcl 13235

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13061	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13229	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9367	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905   Or wor 5530  supcsup 9349  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368

This theorem is referenced by:  supxrun  13236  supxrmnf  13237  supxrbnd1  13241  supxrbnd2  13242  supxrub  13244  supxrleub  13246  supxrre  13247  supxrbnd  13248  supxrgtmnf  13249  supxrre1  13250  supxrre2  13251  supxrss  13252  ixxub  13287  limsupgord  15397  limsupcl  15398  limsupgf  15400  prdsdsf  24271  xpsdsval  24285  xrge0tsms  24739  elovolm  25392  ovolmge0  25394  ovolgelb  25397  ovollb2lem  25405  ovolunlem1a  25413  ovoliunlem1  25419  ovoliunlem2  25420  ovoliun  25422  ovolscalem1  25430  ovolicc1  25433  ovolicc2lem4  25437  voliunlem2  25468  voliunlem3  25469  ioombl1lem2  25476  uniioovol  25496  uniiccvol  25497  uniioombllem1  25498  uniioombllem3  25502  itg2cl  25649  itg2seq  25659  itg2monolem2  25668  itg2monolem3  25669  itg2mono  25670  mdeglt  25986  mdegxrcl  25988  radcnvcl  26342  nmoxr  30728  nmopxr  31828  nmfnxr  31841  xrofsup  32723  supxrnemnf  32724  xrge0tsmsd  33028  mblfinlem3  37641  mblfinlem4  37642  ismblfin  37643  itg2addnclem  37653  itg2gt0cn  37657  binomcxplemdvbinom  44329  binomcxplemcvg  44330  binomcxplemnotnn0  44332  supxrcld  45088  supxrgere  45316  supxrgelem  45320  supxrge  45321  suplesup  45322  suplesup2  45359  supxrcli  45417  liminfval2  45753  sge0cl  46366  sge0xaddlem1  46418  sge0xaddlem2  46419  sge0reuz  46432