Theorem supxrcl 13049

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 12875	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13043	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9217	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   Or wor 5502  supcsup 9199  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208

This theorem is referenced by:  supxrun  13050  supxrmnf  13051  supxrbnd1  13055  supxrbnd2  13056  supxrub  13058  supxrleub  13060  supxrre  13061  supxrbnd  13062  supxrgtmnf  13063  supxrre1  13064  supxrre2  13065  supxrss  13066  ixxub  13100  limsupgord  15181  limsupcl  15182  limsupgf  15184  prdsdsf  23520  xpsdsval  23534  xrge0tsms  23997  elovolm  24639  ovolmge0  24641  ovolgelb  24644  ovollb2lem  24652  ovolunlem1a  24660  ovoliunlem1  24666  ovoliunlem2  24667  ovoliun  24669  ovolscalem1  24677  ovolicc1  24680  ovolicc2lem4  24684  voliunlem2  24715  voliunlem3  24716  ioombl1lem2  24723  uniioovol  24743  uniiccvol  24744  uniioombllem1  24745  uniioombllem3  24749  itg2cl  24897  itg2seq  24907  itg2monolem2  24916  itg2monolem3  24917  itg2mono  24918  mdeglt  25230  mdegxrcl  25232  radcnvcl  25576  nmoxr  29128  nmopxr  30228  nmfnxr  30241  xrofsup  31090  supxrnemnf  31091  xrge0tsmsd  31317  mblfinlem3  35816  mblfinlem4  35817  ismblfin  35818  itg2addnclem  35828  itg2gt0cn  35832  binomcxplemdvbinom  41971  binomcxplemcvg  41972  binomcxplemnotnn0  41974  supxrcld  42657  supxrgere  42872  supxrgelem  42876  supxrge  42877  suplesup  42878  suplesup2  42915  supxrcli  42974  liminfval2  43309  liminflelimsuplem  43316  sge0cl  43919  sge0xaddlem1  43971  sge0xaddlem2  43972  sge0reuz  43985