Theorem supxrcl 13224

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13050	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13218	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9352	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899   Or wor 5528  supcsup 9334  ℝ^*cxr 11155   < clt 11156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-sup 9336  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357

This theorem is referenced by:  supxrun  13225  supxrmnf  13226  supxrbnd1  13230  supxrbnd2  13231  supxrub  13233  supxrleub  13235  supxrre  13236  supxrbnd  13237  supxrgtmnf  13238  supxrre1  13239  supxrre2  13240  supxrss  13241  ixxub  13276  limsupgord  15389  limsupcl  15390  limsupgf  15392  prdsdsf  24292  xpsdsval  24306  xrge0tsms  24760  elovolm  25413  ovolmge0  25415  ovolgelb  25418  ovollb2lem  25426  ovolunlem1a  25434  ovoliunlem1  25440  ovoliunlem2  25441  ovoliun  25443  ovolscalem1  25451  ovolicc1  25454  ovolicc2lem4  25458  voliunlem2  25489  voliunlem3  25490  ioombl1lem2  25497  uniioovol  25517  uniiccvol  25518  uniioombllem1  25519  uniioombllem3  25523  itg2cl  25670  itg2seq  25680  itg2monolem2  25689  itg2monolem3  25690  itg2mono  25691  mdeglt  26007  mdegxrcl  26009  radcnvcl  26363  nmoxr  30757  nmopxr  31857  nmfnxr  31870  xrofsup  32761  supxrnemnf  32762  xrge0tsmsd  33053  mblfinlem3  37709  mblfinlem4  37710  ismblfin  37711  itg2addnclem  37721  itg2gt0cn  37725  binomcxplemdvbinom  44460  binomcxplemcvg  44461  binomcxplemnotnn0  44463  supxrcld  45218  supxrgere  45446  supxrgelem  45450  supxrge  45451  suplesup  45452  suplesup2  45488  supxrcli  45546  liminfval2  45880  sge0cl  46493  sge0xaddlem1  46545  sge0xaddlem2  46546  sge0reuz  46559