Theorem supxrcl 13331

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13157	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13325	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9470	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   Or wor 5560  supcsup 9452  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is referenced by:  supxrun  13332  supxrmnf  13333  supxrbnd1  13337  supxrbnd2  13338  supxrub  13340  supxrleub  13342  supxrre  13343  supxrbnd  13344  supxrgtmnf  13345  supxrre1  13346  supxrre2  13347  supxrss  13348  ixxub  13383  limsupgord  15488  limsupcl  15489  limsupgf  15491  prdsdsf  24306  xpsdsval  24320  xrge0tsms  24774  elovolm  25428  ovolmge0  25430  ovolgelb  25433  ovollb2lem  25441  ovolunlem1a  25449  ovoliunlem1  25455  ovoliunlem2  25456  ovoliun  25458  ovolscalem1  25466  ovolicc1  25469  ovolicc2lem4  25473  voliunlem2  25504  voliunlem3  25505  ioombl1lem2  25512  uniioovol  25532  uniiccvol  25533  uniioombllem1  25534  uniioombllem3  25538  itg2cl  25685  itg2seq  25695  itg2monolem2  25704  itg2monolem3  25705  itg2mono  25706  mdeglt  26022  mdegxrcl  26024  radcnvcl  26378  nmoxr  30747  nmopxr  31847  nmfnxr  31860  xrofsup  32744  supxrnemnf  32745  xrge0tsmsd  33056  mblfinlem3  37683  mblfinlem4  37684  ismblfin  37685  itg2addnclem  37695  itg2gt0cn  37699  binomcxplemdvbinom  44377  binomcxplemcvg  44378  binomcxplemnotnn0  44380  supxrcld  45131  supxrgere  45360  supxrgelem  45364  supxrge  45365  suplesup  45366  suplesup2  45403  supxrcli  45461  liminfval2  45797  sge0cl  46410  sge0xaddlem1  46462  sge0xaddlem2  46463  sge0reuz  46476