Theorem supxrcl 13258

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13083	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13252	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9364	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   Or wor 5531  supcsup 9346  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  supxrun  13259  supxrmnf  13260  supxrbnd1  13264  supxrbnd2  13265  supxrub  13267  supxrleub  13269  supxrre  13270  supxrbnd  13271  supxrgtmnf  13272  supxrre1  13273  supxrre2  13274  supxrss  13275  ixxub  13310  limsupgord  15425  limsupcl  15426  limsupgf  15428  prdsdsf  24342  xpsdsval  24356  xrge0tsms  24810  elovolm  25452  ovolmge0  25454  ovolgelb  25457  ovollb2lem  25465  ovolunlem1a  25473  ovoliunlem1  25479  ovoliunlem2  25480  ovoliun  25482  ovolscalem1  25490  ovolicc1  25493  ovolicc2lem4  25497  voliunlem2  25528  voliunlem3  25529  ioombl1lem2  25536  uniioovol  25556  uniiccvol  25557  uniioombllem1  25558  uniioombllem3  25562  itg2cl  25709  itg2seq  25719  itg2monolem2  25728  itg2monolem3  25729  itg2mono  25730  mdeglt  26040  mdegxrcl  26042  radcnvcl  26395  nmoxr  30852  nmopxr  31952  nmfnxr  31965  xrofsup  32855  supxrnemnf  32856  xrge0tsmsd  33149  mblfinlem3  37994  mblfinlem4  37995  ismblfin  37996  itg2addnclem  38006  itg2gt0cn  38010  binomcxplemdvbinom  44798  binomcxplemcvg  44799  binomcxplemnotnn0  44801  supxrcld  45555  supxrgere  45781  supxrgelem  45785  supxrge  45786  suplesup  45787  suplesup2  45823  supxrcli  45880  liminfval2  46214  sge0cl  46827  sge0xaddlem1  46879  sge0xaddlem2  46880  sge0reuz  46893