Theorem supxrcl 12978

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 12804	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 12972	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9147	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   Or wor 5493  supcsup 9129  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  supxrun  12979  supxrmnf  12980  supxrbnd1  12984  supxrbnd2  12985  supxrub  12987  supxrleub  12989  supxrre  12990  supxrbnd  12991  supxrgtmnf  12992  supxrre1  12993  supxrre2  12994  supxrss  12995  ixxub  13029  limsupgord  15109  limsupcl  15110  limsupgf  15112  prdsdsf  23428  xpsdsval  23442  xrge0tsms  23903  elovolm  24544  ovolmge0  24546  ovolgelb  24549  ovollb2lem  24557  ovolunlem1a  24565  ovoliunlem1  24571  ovoliunlem2  24572  ovoliun  24574  ovolscalem1  24582  ovolicc1  24585  ovolicc2lem4  24589  voliunlem2  24620  voliunlem3  24621  ioombl1lem2  24628  uniioovol  24648  uniiccvol  24649  uniioombllem1  24650  uniioombllem3  24654  itg2cl  24802  itg2seq  24812  itg2monolem2  24821  itg2monolem3  24822  itg2mono  24823  mdeglt  25135  mdegxrcl  25137  radcnvcl  25481  nmoxr  29029  nmopxr  30129  nmfnxr  30142  xrofsup  30992  supxrnemnf  30993  xrge0tsmsd  31219  mblfinlem3  35743  mblfinlem4  35744  ismblfin  35745  itg2addnclem  35755  itg2gt0cn  35759  binomcxplemdvbinom  41860  binomcxplemcvg  41861  binomcxplemnotnn0  41863  supxrcld  42546  supxrgere  42762  supxrgelem  42766  supxrge  42767  suplesup  42768  suplesup2  42805  supxrcli  42864  liminfval2  43199  liminflelimsuplem  43206  sge0cl  43809  sge0xaddlem1  43861  sge0xaddlem2  43862  sge0reuz  43875