Theorem supxrcl 13342

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13167	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13336	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9419	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906   Or wor 5570  supcsup 9401  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445

This theorem is referenced by:  supxrun  13343  supxrmnf  13344  supxrbnd1  13348  supxrbnd2  13349  supxrub  13351  supxrleub  13353  supxrre  13354  supxrbnd  13355  supxrgtmnf  13356  supxrre1  13357  supxrre2  13358  supxrss  13359  ixxub  13394  limsupgord  15525  limsupcl  15526  limsupgf  15528  prdsdsf  24505  xpsdsval  24519  xrge0tsms  24973  elovolm  25615  ovolmge0  25617  ovolgelb  25620  ovollb2lem  25628  ovolunlem1a  25636  ovoliunlem1  25642  ovoliunlem2  25643  ovoliun  25645  ovolscalem1  25653  ovolicc1  25656  ovolicc2lem4  25660  voliunlem2  25691  voliunlem3  25692  ioombl1lem2  25699  uniioovol  25719  uniiccvol  25720  uniioombllem1  25721  uniioombllem3  25725  itg2cl  25872  itg2seq  25882  itg2monolem2  25891  itg2monolem3  25892  itg2mono  25893  mdeglt  26203  mdegxrcl  26205  radcnvcl  26561  nmoxr  31099  nmopxr  32199  nmfnxr  32212  xrofsup  33093  supxrnemnf  33094  xrge0tsmsd  33374  mblfinlem3  38291  mblfinlem4  38292  ismblfin  38293  itg2addnclem  38303  itg2gt0cn  38307  binomcxplemdvbinom  45046  binomcxplemcvg  45047  binomcxplemnotnn0  45049  supxrcld  45808  supxrgere  46032  supxrgelem  46036  supxrge  46037  suplesup  46038  suplesup2  46074  supxrcli  46131  liminfval2  46465  sge0cl  47078  sge0xaddlem1  47130  sge0xaddlem2  47131  sge0reuz  47144