Theorem supxrcl 13359

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13184	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13353	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9428	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908   Or wor 5573  supcsup 9410  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462

This theorem is used by:  supxrun  13360  supxrmnf  13361  supxrbnd1  13365  supxrbnd2  13366  supxrub  13368  supxrleub  13370  supxrre  13371  supxrbnd  13372  supxrgtmnf  13373  supxrre1  13374  supxrre2  13375  supxrss  13376  ixxub  13411  limsupgord  15549  limsupcl  15550  limsupgf  15552  prdsdsf  24561  xpsdsval  24575  xrge0tsms  25029  elovolm  25671  ovolmge0  25673  ovolgelb  25676  ovollb2lem  25684  ovolunlem1a  25692  ovoliunlem1  25698  ovoliunlem2  25699  ovoliun  25701  ovolscalem1  25709  ovolicc1  25712  ovolicc2lem4  25716  voliunlem2  25747  voliunlem3  25748  ioombl1lem2  25755  uniioovol  25775  uniiccvol  25776  uniioombllem1  25777  uniioombllem3  25781  itg2cl  25928  itg2seq  25938  itg2monolem2  25947  itg2monolem3  25948  itg2mono  25949  mdeglt  26259  mdegxrcl  26261  radcnvcl  26617  nmoxr  31155  nmopxr  32255  nmfnxr  32268  xrofsup  33149  supxrnemnf  33150  xrge0tsmsd  33424  mblfinlem3  38351  mblfinlem4  38352  ismblfin  38353  itg2addnclem  38363  itg2gt0cn  38367  binomcxplemdvbinom  45104  binomcxplemcvg  45105  binomcxplemnotnn0  45107  supxrcld  45866  supxrgere  46090  supxrgelem  46094  supxrge  46095  suplesup  46096  suplesup2  46132  supxrcli  46189  liminfval2  46523  sge0cl  47136  sge0xaddlem1  47188  sge0xaddlem2  47189  sge0reuz  47202