Theorem supxrcl 13294

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13120	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13288	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9453	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949   Or wor 5588  supcsup 9435  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447

This theorem is referenced by:  supxrun  13295  supxrmnf  13296  supxrbnd1  13300  supxrbnd2  13301  supxrub  13303  supxrleub  13305  supxrre  13306  supxrbnd  13307  supxrgtmnf  13308  supxrre1  13309  supxrre2  13310  supxrss  13311  ixxub  13345  limsupgord  15416  limsupcl  15417  limsupgf  15419  prdsdsf  23873  xpsdsval  23887  xrge0tsms  24350  elovolm  24992  ovolmge0  24994  ovolgelb  24997  ovollb2lem  25005  ovolunlem1a  25013  ovoliunlem1  25019  ovoliunlem2  25020  ovoliun  25022  ovolscalem1  25030  ovolicc1  25033  ovolicc2lem4  25037  voliunlem2  25068  voliunlem3  25069  ioombl1lem2  25076  uniioovol  25096  uniiccvol  25097  uniioombllem1  25098  uniioombllem3  25102  itg2cl  25250  itg2seq  25260  itg2monolem2  25269  itg2monolem3  25270  itg2mono  25271  mdeglt  25583  mdegxrcl  25585  radcnvcl  25929  nmoxr  30019  nmopxr  31119  nmfnxr  31132  xrofsup  31980  supxrnemnf  31981  xrge0tsmsd  32209  mblfinlem3  36527  mblfinlem4  36528  ismblfin  36529  itg2addnclem  36539  itg2gt0cn  36543  binomcxplemdvbinom  43112  binomcxplemcvg  43113  binomcxplemnotnn0  43115  supxrcld  43796  supxrgere  44043  supxrgelem  44047  supxrge  44048  suplesup  44049  suplesup2  44086  supxrcli  44144  liminfval2  44484  liminflelimsuplem  44491  sge0cl  45097  sge0xaddlem1  45149  sge0xaddlem2  45150  sge0reuz  45163