Theorem supxrcl 13426

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13251	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13420	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9434	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   Or wor 5558  supcsup 9416  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525

This theorem is used by:  supxrun  13427  supxrmnf  13428  supxrbnd1  13432  supxrbnd2  13433  supxrub  13435  supxrleub  13437  supxrre  13438  supxrbnd  13439  supxrgtmnf  13440  supxrre1  13441  supxrre2  13442  supxrss  13443  ixxub  13478  limsupgord  15619  limsupcl  15620  limsupgf  15622  prdsdsf  24666  xpsdsval  24680  xrge0tsms  25134  elovolm  25776  ovolmge0  25778  ovolgelb  25781  ovollb2lem  25789  ovolunlem1a  25797  ovoliunlem1  25803  ovoliunlem2  25804  ovoliun  25806  ovolscalem1  25814  ovolicc1  25817  ovolicc2lem4  25821  voliunlem2  25852  voliunlem3  25853  ioombl1lem2  25860  uniioovol  25880  uniiccvol  25881  uniioombllem1  25882  uniioombllem3  25886  itg2cl  26033  itg2seq  26043  itg2monolem2  26052  itg2monolem3  26053  itg2mono  26054  mdeglt  26363  mdegxrcl  26365  radcnvcl  26726  nmoxr  31350  nmopxr  32450  nmfnxr  32463  xrofsup  33341  supxrnemnf  33342  xrge0tsmsd  33616  mblfinlem3  38545  mblfinlem4  38546  ismblfin  38547  itg2addnclem  38557  itg2gt0cn  38561  binomcxplemdvbinom  45296  binomcxplemcvg  45297  binomcxplemnotnn0  45299  supxrcld  46065  supxrgere  46289  supxrgelem  46293  supxrge  46294  suplesup  46295  suplesup2  46331  supxrcli  46388  liminfval2  46722  sge0cl  47335  sge0xaddlem1  47387  sge0xaddlem2  47388  sge0reuz  47401