Theorem supxrcl 13281

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13107	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13275	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9440	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3946   Or wor 5583  supcsup 9422  ℝ^*cxr 11234   < clt 11235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9424  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434

This theorem is referenced by:  supxrun  13282  supxrmnf  13283  supxrbnd1  13287  supxrbnd2  13288  supxrub  13290  supxrleub  13292  supxrre  13293  supxrbnd  13294  supxrgtmnf  13295  supxrre1  13296  supxrre2  13297  supxrss  13298  ixxub  13332  limsupgord  15403  limsupcl  15404  limsupgf  15406  prdsdsf  23842  xpsdsval  23856  xrge0tsms  24319  elovolm  24961  ovolmge0  24963  ovolgelb  24966  ovollb2lem  24974  ovolunlem1a  24982  ovoliunlem1  24988  ovoliunlem2  24989  ovoliun  24991  ovolscalem1  24999  ovolicc1  25002  ovolicc2lem4  25006  voliunlem2  25037  voliunlem3  25038  ioombl1lem2  25045  uniioovol  25065  uniiccvol  25066  uniioombllem1  25067  uniioombllem3  25071  itg2cl  25219  itg2seq  25229  itg2monolem2  25238  itg2monolem3  25239  itg2mono  25240  mdeglt  25552  mdegxrcl  25554  radcnvcl  25898  nmoxr  29984  nmopxr  31084  nmfnxr  31097  xrofsup  31951  supxrnemnf  31952  xrge0tsmsd  32180  mblfinlem3  36432  mblfinlem4  36433  ismblfin  36434  itg2addnclem  36444  itg2gt0cn  36448  binomcxplemdvbinom  42983  binomcxplemcvg  42984  binomcxplemnotnn0  42986  supxrcld  43667  supxrgere  43916  supxrgelem  43920  supxrge  43921  suplesup  43922  suplesup2  43959  supxrcli  44017  liminfval2  44357  liminflelimsuplem  44364  sge0cl  44970  sge0xaddlem1  45022  sge0xaddlem2  45023  sge0reuz  45036