Theorem supxrcl 13298

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13124	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13292	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9455	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3947   Or wor 5586  supcsup 9437  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451

This theorem is referenced by:  supxrun  13299  supxrmnf  13300  supxrbnd1  13304  supxrbnd2  13305  supxrub  13307  supxrleub  13309  supxrre  13310  supxrbnd  13311  supxrgtmnf  13312  supxrre1  13313  supxrre2  13314  supxrss  13315  ixxub  13349  limsupgord  15420  limsupcl  15421  limsupgf  15423  prdsdsf  24093  xpsdsval  24107  xrge0tsms  24570  elovolm  25224  ovolmge0  25226  ovolgelb  25229  ovollb2lem  25237  ovolunlem1a  25245  ovoliunlem1  25251  ovoliunlem2  25252  ovoliun  25254  ovolscalem1  25262  ovolicc1  25265  ovolicc2lem4  25269  voliunlem2  25300  voliunlem3  25301  ioombl1lem2  25308  uniioovol  25328  uniiccvol  25329  uniioombllem1  25330  uniioombllem3  25334  itg2cl  25482  itg2seq  25492  itg2monolem2  25501  itg2monolem3  25502  itg2mono  25503  mdeglt  25818  mdegxrcl  25820  radcnvcl  26165  nmoxr  30286  nmopxr  31386  nmfnxr  31399  xrofsup  32247  supxrnemnf  32248  xrge0tsmsd  32479  mblfinlem3  36830  mblfinlem4  36831  ismblfin  36832  itg2addnclem  36842  itg2gt0cn  36846  binomcxplemdvbinom  43414  binomcxplemcvg  43415  binomcxplemnotnn0  43417  supxrcld  44097  supxrgere  44341  supxrgelem  44345  supxrge  44346  suplesup  44347  suplesup2  44384  supxrcli  44442  liminfval2  44782  liminflelimsuplem  44789  sge0cl  45395  sge0xaddlem1  45447  sge0xaddlem2  45448  sge0reuz  45461