Theorem supxrcl 13218

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13044	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13212	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9351	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898   Or wor 5528  supcsup 9333  ℝ^*cxr 11154   < clt 11155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-sup 9335  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356

This theorem is referenced by:  supxrun  13219  supxrmnf  13220  supxrbnd1  13224  supxrbnd2  13225  supxrub  13227  supxrleub  13229  supxrre  13230  supxrbnd  13231  supxrgtmnf  13232  supxrre1  13233  supxrre2  13234  supxrss  13235  ixxub  13270  limsupgord  15383  limsupcl  15384  limsupgf  15386  prdsdsf  24285  xpsdsval  24299  xrge0tsms  24753  elovolm  25406  ovolmge0  25408  ovolgelb  25411  ovollb2lem  25419  ovolunlem1a  25427  ovoliunlem1  25433  ovoliunlem2  25434  ovoliun  25436  ovolscalem1  25444  ovolicc1  25447  ovolicc2lem4  25451  voliunlem2  25482  voliunlem3  25483  ioombl1lem2  25490  uniioovol  25510  uniiccvol  25511  uniioombllem1  25512  uniioombllem3  25516  itg2cl  25663  itg2seq  25673  itg2monolem2  25682  itg2monolem3  25683  itg2mono  25684  mdeglt  26000  mdegxrcl  26002  radcnvcl  26356  nmoxr  30750  nmopxr  31850  nmfnxr  31863  xrofsup  32756  supxrnemnf  32757  xrge0tsmsd  33051  mblfinlem3  37722  mblfinlem4  37723  ismblfin  37724  itg2addnclem  37734  itg2gt0cn  37738  binomcxplemdvbinom  44473  binomcxplemcvg  44474  binomcxplemnotnn0  44476  supxrcld  45231  supxrgere  45459  supxrgelem  45463  supxrge  45464  suplesup  45465  suplesup2  45501  supxrcli  45559  liminfval2  45893  sge0cl  46506  sge0xaddlem1  46558  sge0xaddlem2  46559  sge0reuz  46572