Theorem supxrcl 13265

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13090	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13259	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9368	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890   Or wor 5532  supcsup 9350  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378

This theorem is referenced by:  supxrun  13266  supxrmnf  13267  supxrbnd1  13271  supxrbnd2  13272  supxrub  13274  supxrleub  13276  supxrre  13277  supxrbnd  13278  supxrgtmnf  13279  supxrre1  13280  supxrre2  13281  supxrss  13282  ixxub  13317  limsupgord  15432  limsupcl  15433  limsupgf  15435  prdsdsf  24357  xpsdsval  24371  xrge0tsms  24825  elovolm  25467  ovolmge0  25469  ovolgelb  25472  ovollb2lem  25480  ovolunlem1a  25488  ovoliunlem1  25494  ovoliunlem2  25495  ovoliun  25497  ovolscalem1  25505  ovolicc1  25508  ovolicc2lem4  25512  voliunlem2  25543  voliunlem3  25544  ioombl1lem2  25551  uniioovol  25571  uniiccvol  25572  uniioombllem1  25573  uniioombllem3  25577  itg2cl  25724  itg2seq  25734  itg2monolem2  25743  itg2monolem3  25744  itg2mono  25745  mdeglt  26055  mdegxrcl  26057  radcnvcl  26407  nmoxr  30862  nmopxr  31962  nmfnxr  31975  xrofsup  32866  supxrnemnf  32867  xrge0tsmsd  33161  mblfinlem3  38033  mblfinlem4  38034  ismblfin  38035  itg2addnclem  38045  itg2gt0cn  38049  binomcxplemdvbinom  44804  binomcxplemcvg  44805  binomcxplemnotnn0  44807  supxrcld  45561  supxrgere  45785  supxrgelem  45789  supxrge  45790  suplesup  45791  suplesup2  45827  supxrcli  45884  liminfval2  46218  sge0cl  46831  sge0xaddlem1  46883  sge0xaddlem2  46884  sge0reuz  46897