Theorem supxrcl 13371

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13196	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13365	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9432	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902   Or wor 5566  supcsup 9414  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472

This theorem is used by:  supxrun  13372  supxrmnf  13373  supxrbnd1  13377  supxrbnd2  13378  supxrub  13380  supxrleub  13382  supxrre  13383  supxrbnd  13384  supxrgtmnf  13385  supxrre1  13386  supxrre2  13387  supxrss  13388  ixxub  13423  limsupgord  15563  limsupcl  15564  limsupgf  15566  prdsdsf  24599  xpsdsval  24613  xrge0tsms  25067  elovolm  25709  ovolmge0  25711  ovolgelb  25714  ovollb2lem  25722  ovolunlem1a  25730  ovoliunlem1  25736  ovoliunlem2  25737  ovoliun  25739  ovolscalem1  25747  ovolicc1  25750  ovolicc2lem4  25754  voliunlem2  25785  voliunlem3  25786  ioombl1lem2  25793  uniioovol  25813  uniiccvol  25814  uniioombllem1  25815  uniioombllem3  25819  itg2cl  25966  itg2seq  25976  itg2monolem2  25985  itg2monolem3  25986  itg2mono  25987  mdeglt  26297  mdegxrcl  26299  radcnvcl  26660  nmoxr  31255  nmopxr  32355  nmfnxr  32368  xrofsup  33246  supxrnemnf  33247  xrge0tsmsd  33521  mblfinlem3  38416  mblfinlem4  38417  ismblfin  38418  itg2addnclem  38428  itg2gt0cn  38432  binomcxplemdvbinom  45185  binomcxplemcvg  45186  binomcxplemnotnn0  45188  supxrcld  45947  supxrgere  46171  supxrgelem  46175  supxrge  46176  suplesup  46177  suplesup2  46213  supxrcli  46270  liminfval2  46604  sge0cl  47217  sge0xaddlem1  47269  sge0xaddlem2  47270  sge0reuz  47283