Theorem supxrcl 13475

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13300	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13469	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9480	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   Or wor 5563  supcsup 9462  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574

This theorem is used by:  supxrun  13476  supxrmnf  13477  supxrbnd1  13481  supxrbnd2  13482  supxrub  13484  supxrleub  13486  supxrre  13487  supxrbnd  13488  supxrgtmnf  13489  supxrre1  13490  supxrre2  13491  supxrss  13492  ixxub  13527  limsupgord  15671  limsupcl  15672  limsupgf  15674  prdsdsf  24719  xpsdsval  24733  xrge0tsms  25187  elovolm  25829  ovolmge0  25831  ovolgelb  25834  ovollb2lem  25842  ovolunlem1a  25850  ovoliunlem1  25856  ovoliunlem2  25857  ovoliun  25859  ovolscalem1  25867  ovolicc1  25870  ovolicc2lem4  25874  voliunlem2  25905  voliunlem3  25906  ioombl1lem2  25913  uniioovol  25933  uniiccvol  25934  uniioombllem1  25935  uniioombllem3  25939  itg2cl  26086  itg2seq  26096  itg2monolem2  26105  itg2monolem3  26106  itg2mono  26107  mdeglt  26416  mdegxrcl  26418  radcnvcl  26777  nmoxr  31401  nmopxr  32501  nmfnxr  32514  xrofsup  33432  supxrnemnf  33433  xrge0tsmsd  33710  mblfinlem3  38782  mblfinlem4  38783  ismblfin  38784  itg2addnclem  38794  itg2gt0cn  38798  binomcxplemdvbinom  45540  binomcxplemcvg  45541  binomcxplemnotnn0  45543  supxrcld  46337  supxrgere  46560  supxrgelem  46564  supxrge  46565  suplesup  46566  suplesup2  46602  supxrcli  46659  liminfval2  46993  sge0cl  47606  sge0xaddlem1  47658  sge0xaddlem2  47659  sge0reuz  47672