Theorem supxrcl 12905

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 12731	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 12899	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9074	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866   Or wor 5467  supcsup 9056  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065

This theorem is referenced by:  supxrun  12906  supxrmnf  12907  supxrbnd1  12911  supxrbnd2  12912  supxrub  12914  supxrleub  12916  supxrre  12917  supxrbnd  12918  supxrgtmnf  12919  supxrre1  12920  supxrre2  12921  supxrss  12922  ixxub  12956  limsupgord  15033  limsupcl  15034  limsupgf  15036  prdsdsf  23265  xpsdsval  23279  xrge0tsms  23731  elovolm  24372  ovolmge0  24374  ovolgelb  24377  ovollb2lem  24385  ovolunlem1a  24393  ovoliunlem1  24399  ovoliunlem2  24400  ovoliun  24402  ovolscalem1  24410  ovolicc1  24413  ovolicc2lem4  24417  voliunlem2  24448  voliunlem3  24449  ioombl1lem2  24456  uniioovol  24476  uniiccvol  24477  uniioombllem1  24478  uniioombllem3  24482  itg2cl  24630  itg2seq  24640  itg2monolem2  24649  itg2monolem3  24650  itg2mono  24651  mdeglt  24963  mdegxrcl  24965  radcnvcl  25309  nmoxr  28847  nmopxr  29947  nmfnxr  29960  xrofsup  30810  supxrnemnf  30811  xrge0tsmsd  31036  mblfinlem3  35553  mblfinlem4  35554  ismblfin  35555  itg2addnclem  35565  itg2gt0cn  35569  binomcxplemdvbinom  41644  binomcxplemcvg  41645  binomcxplemnotnn0  41647  supxrcld  42330  supxrgere  42545  supxrgelem  42549  supxrge  42550  suplesup  42551  suplesup2  42588  supxrcli  42647  liminfval2  42984  liminflelimsuplem  42991  sge0cl  43594  sge0xaddlem1  43646  sge0xaddlem2  43647  sge0reuz  43660