Theorem supxrcl 13214

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13040	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13208	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9342	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902   Or wor 5523  supcsup 9324  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347

This theorem is referenced by:  supxrun  13215  supxrmnf  13216  supxrbnd1  13220  supxrbnd2  13221  supxrub  13223  supxrleub  13225  supxrre  13226  supxrbnd  13227  supxrgtmnf  13228  supxrre1  13229  supxrre2  13230  supxrss  13231  ixxub  13266  limsupgord  15379  limsupcl  15380  limsupgf  15382  prdsdsf  24283  xpsdsval  24297  xrge0tsms  24751  elovolm  25404  ovolmge0  25406  ovolgelb  25409  ovollb2lem  25417  ovolunlem1a  25425  ovoliunlem1  25431  ovoliunlem2  25432  ovoliun  25434  ovolscalem1  25442  ovolicc1  25445  ovolicc2lem4  25449  voliunlem2  25480  voliunlem3  25481  ioombl1lem2  25488  uniioovol  25508  uniiccvol  25509  uniioombllem1  25510  uniioombllem3  25514  itg2cl  25661  itg2seq  25671  itg2monolem2  25680  itg2monolem3  25681  itg2mono  25682  mdeglt  25998  mdegxrcl  26000  radcnvcl  26354  nmoxr  30744  nmopxr  31844  nmfnxr  31857  xrofsup  32748  supxrnemnf  32749  xrge0tsmsd  33040  mblfinlem3  37705  mblfinlem4  37706  ismblfin  37707  itg2addnclem  37717  itg2gt0cn  37721  binomcxplemdvbinom  44392  binomcxplemcvg  44393  binomcxplemnotnn0  44395  supxrcld  45150  supxrgere  45378  supxrgelem  45382  supxrge  45383  suplesup  45384  suplesup2  45420  supxrcli  45478  liminfval2  45812  sge0cl  46425  sge0xaddlem1  46477  sge0xaddlem2  46478  sge0reuz  46491