Theorem supxrcl 13357

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13183	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13351	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9498	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951   Or wor 5591  supcsup 9480  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  supxrun  13358  supxrmnf  13359  supxrbnd1  13363  supxrbnd2  13364  supxrub  13366  supxrleub  13368  supxrre  13369  supxrbnd  13370  supxrgtmnf  13371  supxrre1  13372  supxrre2  13373  supxrss  13374  ixxub  13408  limsupgord  15508  limsupcl  15509  limsupgf  15511  prdsdsf  24377  xpsdsval  24391  xrge0tsms  24856  elovolm  25510  ovolmge0  25512  ovolgelb  25515  ovollb2lem  25523  ovolunlem1a  25531  ovoliunlem1  25537  ovoliunlem2  25538  ovoliun  25540  ovolscalem1  25548  ovolicc1  25551  ovolicc2lem4  25555  voliunlem2  25586  voliunlem3  25587  ioombl1lem2  25594  uniioovol  25614  uniiccvol  25615  uniioombllem1  25616  uniioombllem3  25620  itg2cl  25767  itg2seq  25777  itg2monolem2  25786  itg2monolem3  25787  itg2mono  25788  mdeglt  26104  mdegxrcl  26106  radcnvcl  26460  nmoxr  30785  nmopxr  31885  nmfnxr  31898  xrofsup  32771  supxrnemnf  32772  xrge0tsmsd  33065  mblfinlem3  37666  mblfinlem4  37667  ismblfin  37668  itg2addnclem  37678  itg2gt0cn  37682  binomcxplemdvbinom  44372  binomcxplemcvg  44373  binomcxplemnotnn0  44375  supxrcld  45112  supxrgere  45344  supxrgelem  45348  supxrge  45349  suplesup  45350  suplesup2  45387  supxrcli  45445  liminfval2  45783  liminflelimsuplem  45790  sge0cl  46396  sge0xaddlem1  46448  sge0xaddlem2  46449  sge0reuz  46462