Theorem supxrcl 13275

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13101	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13269	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9409	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   Or wor 5545  supcsup 9391  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  supxrun  13276  supxrmnf  13277  supxrbnd1  13281  supxrbnd2  13282  supxrub  13284  supxrleub  13286  supxrre  13287  supxrbnd  13288  supxrgtmnf  13289  supxrre1  13290  supxrre2  13291  supxrss  13292  ixxub  13327  limsupgord  15438  limsupcl  15439  limsupgf  15441  prdsdsf  24255  xpsdsval  24269  xrge0tsms  24723  elovolm  25376  ovolmge0  25378  ovolgelb  25381  ovollb2lem  25389  ovolunlem1a  25397  ovoliunlem1  25403  ovoliunlem2  25404  ovoliun  25406  ovolscalem1  25414  ovolicc1  25417  ovolicc2lem4  25421  voliunlem2  25452  voliunlem3  25453  ioombl1lem2  25460  uniioovol  25480  uniiccvol  25481  uniioombllem1  25482  uniioombllem3  25486  itg2cl  25633  itg2seq  25643  itg2monolem2  25652  itg2monolem3  25653  itg2mono  25654  mdeglt  25970  mdegxrcl  25972  radcnvcl  26326  nmoxr  30695  nmopxr  31795  nmfnxr  31808  xrofsup  32690  supxrnemnf  32691  xrge0tsmsd  33002  mblfinlem3  37653  mblfinlem4  37654  ismblfin  37655  itg2addnclem  37665  itg2gt0cn  37669  binomcxplemdvbinom  44342  binomcxplemcvg  44343  binomcxplemnotnn0  44345  supxrcld  45101  supxrgere  45329  supxrgelem  45333  supxrge  45334  suplesup  45335  suplesup2  45372  supxrcli  45430  liminfval2  45766  sge0cl  46379  sge0xaddlem1  46431  sge0xaddlem2  46432  sge0reuz  46445