Theorem supxrcl 13242

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13067	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13236	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9373	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   Or wor 5539  supcsup 9355  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  supxrun  13243  supxrmnf  13244  supxrbnd1  13248  supxrbnd2  13249  supxrub  13251  supxrleub  13253  supxrre  13254  supxrbnd  13255  supxrgtmnf  13256  supxrre1  13257  supxrre2  13258  supxrss  13259  ixxub  13294  limsupgord  15407  limsupcl  15408  limsupgf  15410  prdsdsf  24323  xpsdsval  24337  xrge0tsms  24791  elovolm  25444  ovolmge0  25446  ovolgelb  25449  ovollb2lem  25457  ovolunlem1a  25465  ovoliunlem1  25471  ovoliunlem2  25472  ovoliun  25474  ovolscalem1  25482  ovolicc1  25485  ovolicc2lem4  25489  voliunlem2  25520  voliunlem3  25521  ioombl1lem2  25528  uniioovol  25548  uniiccvol  25549  uniioombllem1  25550  uniioombllem3  25554  itg2cl  25701  itg2seq  25711  itg2monolem2  25720  itg2monolem3  25721  itg2mono  25722  mdeglt  26038  mdegxrcl  26040  radcnvcl  26394  nmoxr  30853  nmopxr  31953  nmfnxr  31966  xrofsup  32857  supxrnemnf  32858  xrge0tsmsd  33166  mblfinlem3  37907  mblfinlem4  37908  ismblfin  37909  itg2addnclem  37919  itg2gt0cn  37923  binomcxplemdvbinom  44706  binomcxplemcvg  44707  binomcxplemnotnn0  44709  supxrcld  45463  supxrgere  45689  supxrgelem  45693  supxrge  45694  suplesup  45695  suplesup2  45731  supxrcli  45789  liminfval2  46123  sge0cl  46736  sge0xaddlem1  46788  sge0xaddlem2  46789  sge0reuz  46802