Theorem supxrcl 13315

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13140	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 13309	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 9401	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904   Or wor 5552  supcsup 9383  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414

This theorem is referenced by:  supxrun  13316  supxrmnf  13317  supxrbnd1  13321  supxrbnd2  13322  supxrub  13324  supxrleub  13326  supxrre  13327  supxrbnd  13328  supxrgtmnf  13329  supxrre1  13330  supxrre2  13331  supxrss  13332  ixxub  13367  limsupgord  15482  limsupcl  15483  limsupgf  15485  prdsdsf  24407  xpsdsval  24421  xrge0tsms  24875  elovolm  25517  ovolmge0  25519  ovolgelb  25522  ovollb2lem  25530  ovolunlem1a  25538  ovoliunlem1  25544  ovoliunlem2  25545  ovoliun  25547  ovolscalem1  25555  ovolicc1  25558  ovolicc2lem4  25562  voliunlem2  25593  voliunlem3  25594  ioombl1lem2  25601  uniioovol  25621  uniiccvol  25622  uniioombllem1  25623  uniioombllem3  25627  itg2cl  25774  itg2seq  25784  itg2monolem2  25793  itg2monolem3  25794  itg2mono  25795  mdeglt  26105  mdegxrcl  26107  radcnvcl  26457  nmoxr  30915  nmopxr  32015  nmfnxr  32028  xrofsup  32919  supxrnemnf  32920  xrge0tsmsd  33214  mblfinlem3  38122  mblfinlem4  38123  ismblfin  38124  itg2addnclem  38134  itg2gt0cn  38138  binomcxplemdvbinom  44893  binomcxplemcvg  44894  binomcxplemnotnn0  44896  supxrcld  45649  supxrgere  45873  supxrgelem  45877  supxrge  45878  suplesup  45879  suplesup2  45915  supxrcli  45972  liminfval2  46306  sge0cl  46919  sge0xaddlem1  46971  sge0xaddlem2  46972  sge0reuz  46985