Theorem tmachlem-tpopen 47754

Description: Agreement sets are open in the product topology of tapes. (Contributed by Ender Ting, 27-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmach.finalph	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
tmach.exindex	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
tmach.tapelist	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑈 ↑m 𝐼))
tmach.scanmap	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝑇⟶(𝒫 𝐼 ∩ Fin))
tmach.agreemap	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑧 ∈ 𝑇 ↦ {𝑦 ∈ 𝑇 ∣ (𝑦 ↾ (𝑆‘𝑧)) = (𝑧 ↾ (𝑆‘𝑧))}))
tmach.agreement	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑦 ∈ (𝐴‘𝑧)(𝑆‘𝑦) = (𝑆‘𝑧))

Assertion

Ref	Expression
tmachlem-tpopen	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) → X𝑏 ∈ 𝐼 if(𝑏 ∈ (𝑆‘𝑎), {(𝑎‘𝑏)}, 𝑈) ∈ (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)))

Distinct variable groups:   𝑈,𝑎,𝑏,𝑖,𝑦,𝑧   𝐼,𝑎,𝑏,𝑖,𝑦,𝑧   𝜑,𝑎,𝑏,𝑖,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏,𝑖,𝑦,𝑧   𝐴,𝑎,𝑏,𝑖,𝑦,𝑧   𝑇,𝑎,𝑏,𝑖,𝑦,𝑧

Proof of Theorem tmachlem-tpopen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmach.exindex	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) → 𝐼 ∈ V)
3		tmach.finalph	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
4		distop 23219	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → 𝒫 𝑈 ∈ Top)
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑈 ∈ Top)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑈 ∈ Top)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝒫 𝑈 ∈ Top)
8	7	fmpttd 7111	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈):𝐼⟶Top)
9		tmach.tapelist	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑈 ↑m 𝐼))
10		tmach.scanmap	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝑇⟶(𝒫 𝐼 ∩ Fin))
11		tmach.agreemap	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑧 ∈ 𝑇 ↦ {𝑦 ∈ 𝑇 ∣ (𝑦 ↾ (𝑆‘𝑧)) = (𝑧 ↾ (𝑆‘𝑧))}))
12		tmach.agreement	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑦 ∈ (𝐴‘𝑧)(𝑆‘𝑦) = (𝑆‘𝑧))
13	3, 1, 9, 10, 11, 12	tmachlem-finscan 47748	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑎) ∈ Fin)
14	9	eleq2d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑇 ↔ 𝑎 ∈ (𝑈 ↑m 𝐼)))
15	14	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) → 𝑎 ∈ (𝑈 ↑m 𝐼))
16		elmapi 8851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑈 ↑m 𝐼) → 𝑎:𝐼⟶𝑈)
17	15, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) → 𝑎:𝐼⟶𝑈)
18	17	ffvelcdmda 7080	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑎‘𝑏) ∈ 𝑈)
19		snelpwi 5423	. . . . 5 ⊢ ((𝑎‘𝑏) ∈ 𝑈 → {(𝑎‘𝑏)} ∈ 𝒫 𝑈)
20	18, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → {(𝑎‘𝑏)} ∈ 𝒫 𝑈)
21		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝜑)
22		pwidg 4580	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑈)
23	21, 3, 22	3syl 19	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑈)
24	20, 23	ifcld 4532	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → if(𝑏 ∈ (𝑆‘𝑎), {(𝑎‘𝑏)}, 𝑈) ∈ 𝒫 𝑈)
25	3, 1, 9, 10, 11, 12	tmachlem-tpitem 47753	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)‘𝑏) = 𝒫 𝑈)
26	25	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)‘𝑏) = 𝒫 𝑈)
27	24, 26	eleqtrrd 2865	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → if(𝑏 ∈ (𝑆‘𝑎), {(𝑎‘𝑏)}, 𝑈) ∈ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)‘𝑏))
28		eldifn 4082	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎)) → ¬ 𝑏 ∈ (𝑆‘𝑎))
29	28	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎))) → ¬ 𝑏 ∈ (𝑆‘𝑎))
30	29	iffalsed 4496	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎))) → if(𝑏 ∈ (𝑆‘𝑎), {(𝑎‘𝑏)}, 𝑈) = 𝑈)
31		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎))) → 𝜑)
32		eldifi 4081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎)) → 𝑏 ∈ 𝐼)
33	32	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎))) → 𝑏 ∈ 𝐼)
34	31, 33, 25	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎))) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)‘𝑏) = 𝒫 𝑈)
35	34	unieqd 4883	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎))) → ∪ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)‘𝑏) = ∪ 𝒫 𝑈)
36		unipw 5429	. . . 4 ⊢ ∪ 𝒫 𝑈 = 𝑈
37	35, 36	eqtrdi 2813	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎))) → ∪ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)‘𝑏) = 𝑈)
38	30, 37	eqtr4d 2800	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎))) → if(𝑏 ∈ (𝑆‘𝑎), {(𝑎‘𝑏)}, 𝑈) = ∪ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)‘𝑏))
39	2, 8, 13, 27, 38	ptopn 23808	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) → X𝑏 ∈ 𝐼 if(𝑏 ∈ (𝑆‘𝑎), {(𝑎‘𝑏)}, 𝑈) ∈ (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  {crab 3414  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901  ifcif 4485  𝒫 cpw 4560  {csn 4587  ∪ cuni 4870   ↦ cmpt 5190   ↾ cres 5661  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  Xcixp 8907  Fincfn 8955  ∏_tcpt 17525  Topctop 23117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-1o 8458  df-2o 8459  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-fin 8959  df-fi 9384  df-topgen 17530  df-pt 17531  df-top 23118  df-bases 23170

This theorem is used by:  tmachlem-tpopen2  47755