Theorem tmachlem-tpopen 47951

Description: Agreement sets are open in the product topology of tapes. (Contributed by Ender Ting, 27-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmach.finalph	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
tmach.exindex	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
tmach.tapelist	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑈 ↑m 𝐼))
tmach.scanmap	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝑇⟶(𝒫 𝐼 ∩ Fin))
tmach.agreemap	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑧 ∈ 𝑇 ↦ {𝑦 ∈ 𝑇 ∣ (𝑦 ↾ (𝑆‘𝑧)) = (𝑧 ↾ (𝑆‘𝑧))}))
tmach.agreement	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑦 ∈ (𝐴‘𝑧)(𝑆‘𝑦) = (𝑆‘𝑧))

Assertion

Ref	Expression
tmachlem-tpopen	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) → X𝑏 ∈ 𝐼 if(𝑏 ∈ (𝑆‘𝑎), {(𝑎‘𝑏)}, 𝑈) ∈ (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)))

Distinct variable groups:   𝑈,𝑎,𝑏,𝑖,𝑦,𝑧   𝐼,𝑎,𝑏,𝑖,𝑦,𝑧   𝜑,𝑎,𝑏,𝑖,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏,𝑖,𝑦,𝑧   𝐴,𝑎,𝑏,𝑖,𝑦,𝑧   𝑇,𝑎,𝑏,𝑖,𝑦,𝑧

Proof of Theorem tmachlem-tpopen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmach.exindex	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) → 𝐼 ∈ V)
3		tmach.finalph	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
4		distop 23313	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → 𝒫 𝑈 ∈ Top)
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑈 ∈ Top)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑈 ∈ Top)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝒫 𝑈 ∈ Top)
8	7	fmpttd 7115	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈):𝐼⟶Top)
9		tmach.tapelist	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑈 ↑m 𝐼))
10		tmach.scanmap	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝑇⟶(𝒫 𝐼 ∩ Fin))
11		tmach.agreemap	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑧 ∈ 𝑇 ↦ {𝑦 ∈ 𝑇 ∣ (𝑦 ↾ (𝑆‘𝑧)) = (𝑧 ↾ (𝑆‘𝑧))}))
12		tmach.agreement	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑦 ∈ (𝐴‘𝑧)(𝑆‘𝑦) = (𝑆‘𝑧))
13	3, 1, 9, 10, 11, 12	tmachlem-finscan 47945	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑎) ∈ Fin)
14	9	eleq2d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑇 ↔ 𝑎 ∈ (𝑈 ↑m 𝐼)))
15	14	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) → 𝑎 ∈ (𝑈 ↑m 𝐼))
16		elmapi 8869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑈 ↑m 𝐼) → 𝑎:𝐼⟶𝑈)
17	15, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) → 𝑎:𝐼⟶𝑈)
18	17	ffvelcdmda 7084	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑎‘𝑏) ∈ 𝑈)
19		snelpwi 5411	. . . . 5 ⊢ ((𝑎‘𝑏) ∈ 𝑈 → {(𝑎‘𝑏)} ∈ 𝒫 𝑈)
20	18, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → {(𝑎‘𝑏)} ∈ 𝒫 𝑈)
21		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝜑)
22		pwidg 4576	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑈)
23	21, 3, 22	3syl 19	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑈)
24	20, 23	ifcld 4528	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → if(𝑏 ∈ (𝑆‘𝑎), {(𝑎‘𝑏)}, 𝑈) ∈ 𝒫 𝑈)
25	3, 1, 9, 10, 11, 12	tmachlem-tpitem 47950	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)‘𝑏) = 𝒫 𝑈)
26	25	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)‘𝑏) = 𝒫 𝑈)
27	24, 26	eleqtrrd 2863	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → if(𝑏 ∈ (𝑆‘𝑎), {(𝑎‘𝑏)}, 𝑈) ∈ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)‘𝑏))
28		eldifn 4068	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎)) → ¬ 𝑏 ∈ (𝑆‘𝑎))
29	28	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎))) → ¬ 𝑏 ∈ (𝑆‘𝑎))
30	29	iffalsed 4492	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎))) → if(𝑏 ∈ (𝑆‘𝑎), {(𝑎‘𝑏)}, 𝑈) = 𝑈)
31		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎))) → 𝜑)
32		eldifi 4067	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎)) → 𝑏 ∈ 𝐼)
33	32	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎))) → 𝑏 ∈ 𝐼)
34	31, 33, 25	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎))) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)‘𝑏) = 𝒫 𝑈)
35	34	unieqd 4879	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎))) → ∪ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)‘𝑏) = ∪ 𝒫 𝑈)
36		unipw 5417	. . . 4 ⊢ ∪ 𝒫 𝑈 = 𝑈
37	35, 36	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎))) → ∪ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)‘𝑏) = 𝑈)
38	30, 37	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑆‘𝑎))) → if(𝑏 ∈ (𝑆‘𝑎), {(𝑎‘𝑏)}, 𝑈) = ∪ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)‘𝑏))
39	2, 8, 13, 27, 38	ptopn 23902	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) → X𝑏 ∈ 𝐼 if(𝑏 ∈ (𝑆‘𝑎), {(𝑎‘𝑏)}, 𝑈) ∈ (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556  {csn 4583  ∪ cuni 4866   ↦ cmpt 5185   ↾ cres 5652  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  Xcixp 8925  Fincfn 8973  ∏_tcpt 17609  Topctop 23211

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-1o 8476  df-2o 8477  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-fin 8977  df-fi 9403  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-top 23212  df-bases 23264

This theorem is used by:  tmachlem-tpopen2  47952