Theorem tskhf 10854

Description: A nonempty Tarski class contains the whole finite cumulative hierarchy. (This proof does not use ax-inf 9640.) (Contributed by NM, 22-Feb-2011.) Restate using the defined HF symbol. (Revised by Eric Schmidt, 24-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
tskhf	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → HF ⊆ 𝑇)

Proof of Theorem tskhf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hf 9906	. . . . 5 ⊢ HF = ∪ (𝑅1 “ ω)
2	1	eleq2i 2852	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ HF ↔ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
3		eluni2 4870	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)𝑦 ∈ 𝑥)
4	2, 3	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ HF ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)𝑦 ∈ 𝑥)
5		r1fnon 9774	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅1 Fn On
6		fnfun 6639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅1 Fn On → Fun 𝑅1)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Fun 𝑅1
8		fvelima 6950	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → ∃𝑦 ∈ ω (𝑅1‘𝑦) = 𝑥)
9	7, 8	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → ∃𝑦 ∈ ω (𝑅1‘𝑦) = 𝑥)
10		r1tr 9784	. . . . . . . . 9 ⊢ Tr (𝑅1‘𝑦)
11		treq 5218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅1‘𝑦) = 𝑥 → (Tr (𝑅1‘𝑦) ↔ Tr 𝑥))
12	10, 11	mpbii 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅1‘𝑦) = 𝑥 → Tr 𝑥)
13	12	rexlimivw 3159	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω (𝑅1‘𝑦) = 𝑥 → Tr 𝑥)
14		trss 5221	. . . . . . 7 ⊢ (Tr 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
15	9, 13, 14	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
16	15	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
17		tskr1om 10853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
18	17	sseld 3907	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → 𝑥 ∈ 𝑇))
19		tskss 10844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑇)
20	19	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥 ∈ 𝑇 → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
21	20	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝑇 → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
22	18, 21	syld 48	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
23	22	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇))
24	16, 23	syld 48	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇))
25	24	rexlimdva 3163	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇))
26	4, 25	biimtrid 245	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ HF → 𝑦 ∈ 𝑇))
27	26	ssrdv 3914	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → HF ⊆ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  ∪ cuni 4866  Tr wtr 5211   “ cima 5653  Oncon0 6362  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  ωcom 7877  𝑅₁cr1 9767   HF chf 9905  Tarskictsk 10834

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-r1 9769  df-hf 9906  df-tsk 10835

This theorem is used by: (None)