Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiunelcarsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiunelcarsg 33613
Description: The Caratheodory measurable sets are closed under finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
carsgsiga.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
fiunelcarsg.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fiunelcarsg.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
fiunelcarsg (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑂,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem fiunelcarsg
Dummy variables π‘Ž 𝑒 𝑏 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4918 . . 3 (π‘Ž = βˆ… β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ βˆ…)
2 eqidd 2731 . . 3 (π‘Ž = βˆ… β†’ (toCaraSigaβ€˜π‘€) = (toCaraSigaβ€˜π‘€))
31, 2eleq12d 2825 . 2 (π‘Ž = βˆ… β†’ (βˆͺ π‘Ž ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) ↔ βˆͺ βˆ… ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)))
4 unieq 4918 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ 𝑏)
5 eqidd 2731 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (toCaraSigaβ€˜π‘€) = (toCaraSigaβ€˜π‘€))
64, 5eleq12d 2825 . 2 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (βˆͺ π‘Ž ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) ↔ βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)))
7 unieq 4918 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))
8 eqidd 2731 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) β†’ (toCaraSigaβ€˜π‘€) = (toCaraSigaβ€˜π‘€))
97, 8eleq12d 2825 . 2 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) β†’ (βˆͺ π‘Ž ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) ↔ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)))
10 unieq 4918 . . 3 (π‘Ž = 𝐴 β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ 𝐴)
11 eqidd 2731 . . 3 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (toCaraSigaβ€˜π‘€) = (toCaraSigaβ€˜π‘€))
1210, 11eleq12d 2825 . 2 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (βˆͺ π‘Ž ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) ↔ βˆͺ 𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)))
13 uni0 4938 . . . 4 βˆͺ βˆ… = βˆ…
14 difid 4369 . . . 4 (𝑂 βˆ– 𝑂) = βˆ…
1513, 14eqtr4i 2761 . . 3 βˆͺ βˆ… = (𝑂 βˆ– 𝑂)
16 carsgval.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
17 carsgval.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
18 carsgsiga.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
1916, 17, 18baselcarsg 33603 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
2016, 17, 19difelcarsg 33607 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑂 βˆ– 𝑂) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
2115, 20eqeltrid 2835 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ βˆ… ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
22 uniun 4933 . . . . 5 βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) = (βˆͺ 𝑏 βˆͺ βˆͺ {π‘₯})
23 unisnv 4930 . . . . . 6 βˆͺ {π‘₯} = π‘₯
2423uneq2i 4159 . . . . 5 (βˆͺ 𝑏 βˆͺ βˆͺ {π‘₯}) = (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)
2522, 24eqtri 2758 . . . 4 βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) = (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)
2616ad2antrr 722 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
2717ad2antrr 722 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
28 simpr 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) β†’ βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
29 simpll 763 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) β†’ πœ‘)
30 carsgsiga.2 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
3116, 17, 18, 30carsgsigalem 33612 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 βˆͺ 𝑓)) ≀ ((π‘€β€˜π‘’) +𝑒 (π‘€β€˜π‘“)))
3229, 31syl3an1 1161 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 βˆͺ 𝑓)) ≀ ((π‘€β€˜π‘’) +𝑒 (π‘€β€˜π‘“)))
33 fiunelcarsg.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
3433ad2antrr 722 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
35 simplrr 774 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))
3635eldifad 3959 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
3734, 36sseldd 3982 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) β†’ π‘₯ ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
3826, 27, 28, 32, 37unelcarsg 33609 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) β†’ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
3925, 38eqeltrid 2835 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) β†’ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
4039ex 411 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) β†’ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)))
41 fiunelcarsg.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
423, 6, 9, 12, 21, 40, 41findcard2d 9168 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   β‰Ό cdom 8939  Fincfn 8941  0cc0 11112  +∞cpnf 11249   ≀ cle 11253   +𝑒 cxad 13094  [,]cicc 13331  Ξ£*cesum 33323  toCaraSigaccarsg 33598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-ordt 17451  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-plusf 18564  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-abv 20568  df-lmod 20616  df-scaf 20617  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-tmd 23796  df-tgp 23797  df-tsms 23851  df-trg 23884  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-nm 24311  df-ngp 24312  df-nrg 24314  df-nlm 24315  df-ii 24617  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-esum 33324  df-carsg 33599
This theorem is referenced by:  carsgclctunlem1  33614  carsgclctunlem2  33616  carsgclctunlem3  33617
  Copyright terms: Public domain W3C validator