Theorem fiunelcarsg 34882

Description: The Caratheodory measurable sets are closed under finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
fiunelcarsg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fiunelcarsg.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
fiunelcarsg	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem fiunelcarsg

Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑏 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4877	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → ∪ 𝑎 = ∪ ∅)
2		eqidd 2761	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
3	1, 2	eleq12d 2854	. 2 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∪ 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ∪ ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
4		unieq 4877	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ∪ 𝑎 = ∪ 𝑏)
5		eqidd 2761	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
6	4, 5	eleq12d 2854	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (∪ 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
7		unieq 4877	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → ∪ 𝑎 = ∪ (𝑏 ∪ {𝑥}))
8		eqidd 2761	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
9	7, 8	eleq12d 2854	. 2 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → (∪ 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ∪ (𝑏 ∪ {𝑥}) ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
10		unieq 4877	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ∪ 𝑎 = ∪ 𝐴)
11		eqidd 2761	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
12	10, 11	eleq12d 2854	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∪ 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
13		uni0 4895	. . . 4 ⊢ ∪ ∅ = ∅
14		difid 4324	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∖ 𝑂) = ∅
15	13, 14	eqtr4i 2786	. . 3 ⊢ ∪ ∅ = (𝑂 ∖ 𝑂)
16		carsgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
17		carsgval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
18		carsgsiga.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
19	16, 17, 18	baselcarsg 34872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
20	16, 17, 19	difelcarsg 34876	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝑂) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
21	15, 20	eqeltrid 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
22		uniun 4889	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝑏 ∪ {𝑥}) = (∪ 𝑏 ∪ ∪ {𝑥})
23		unisnv 4886	. . . . . 6 ⊢ ∪ {𝑥} = 𝑥
24	23	uneq2i 4111	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑏 ∪ ∪ {𝑥}) = (∪ 𝑏 ∪ 𝑥)
25	22, 24	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑏 ∪ {𝑥}) = (∪ 𝑏 ∪ 𝑥)
26	16	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑂 ∈ 𝑉)
27	17	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
28		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
29		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝜑)
30		carsgsiga.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
31	16, 17, 18, 30	carsgsigalem 34881	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))
32	29, 31	syl3an1 1181	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))
33		fiunelcarsg.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
34	33	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
35		simplrr 790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
36	35	eldifad 3910	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
37	34, 36	sseldd 3931	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
38	26, 27, 28, 32, 37	unelcarsg 34878	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → (∪ 𝑏 ∪ 𝑥) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
39	25, 38	eqeltrid 2864	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑥}) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
40	39	ex 418	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → (∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑥}) ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
41		fiunelcarsg.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
42	3, 6, 9, 12, 21, 40, 41	findcard2d 9160	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4583  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ωcom 7860   ≼ cdom 8949  Fincfn 8951  0cc0 11171  +∞cpnf 11311   ≤ cle 11315   +_𝑒 cxad 13208  [,]cicc 13448  Σ^*cesum 34592  toCaraSigaccarsg 34867

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250  ax-mulf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-xneg 13210  df-xadd 13211  df-xmul 13212  df-ioo 13449  df-ioc 13450  df-ico 13451  df-icc 13452  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-fl 13900  df-mod 13978  df-seq 14113  df-exp 14173  df-fac 14385  df-bc 14414  df-hash 14442  df-shft 15187  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-limsup 15605  df-clim 15622  df-rlim 15623  df-sum 15821  df-ef 16200  df-sin 16202  df-cos 16203  df-pi 16205  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-rest 17554  df-topn 17555  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-topgen 17575  df-pt 17576  df-prds 17579  df-ordt 17634  df-xrs 17635  df-qtop 17640  df-imas 17641  df-xps 17643  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-ps 18701  df-tsr 18702  df-plusf 18776  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-mulg 19239  df-subg 19294  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-cring 20423  df-subrng 20759  df-subrg 20783  df-abv 21027  df-lmod 21098  df-scaf 21099  df-sra 21409  df-rgmod 21410  df-psmet 21631  df-xmet 21632  df-met 21633  df-bl 21634  df-mopn 21635  df-fbas 21636  df-fg 21637  df-cnfld 21640  df-top 23173  df-topon 23190  df-topsp 23212  df-bases 23225  df-cld 23298  df-ntr 23299  df-cls 23300  df-nei 23377  df-lp 23415  df-perf 23416  df-cn 23506  df-cnp 23507  df-haus 23594  df-tx 23842  df-hmeo 24035  df-fil 24126  df-fm 24218  df-flim 24219  df-flf 24220  df-tmd 24352  df-tgp 24353  df-tsms 24407  df-trg 24440  df-xms 24600  df-ms 24601  df-tms 24602  df-nm 24862  df-ngp 24863  df-nrg 24865  df-nlm 24866  df-ii 25159  df-cncf 25160  df-limc 26147  df-dv 26148  df-log 26847  df-esum 34593  df-carsg 34868

This theorem is used by:  carsgclctunlem1  34883  carsgclctunlem2  34885  carsgclctunlem3  34886