Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiunelcarsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiunelcarsg 31463
Description: The Caratheodory measurable sets are closed under finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
fiunelcarsg.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fiunelcarsg.2 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
fiunelcarsg (𝜑 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fiunelcarsg
Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑏 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4844 . . 3 (𝑎 = ∅ → 𝑎 = ∅)
2 eqidd 2826 . . 3 (𝑎 = ∅ → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
31, 2eleq12d 2911 . 2 (𝑎 = ∅ → ( 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
4 unieq 4844 . . 3 (𝑎 = 𝑏 𝑎 = 𝑏)
5 eqidd 2826 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
64, 5eleq12d 2911 . 2 (𝑎 = 𝑏 → ( 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
7 unieq 4844 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}))
8 eqidd 2826 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
97, 8eleq12d 2911 . 2 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → ( 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝑏 ∪ {𝑥}) ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
10 unieq 4844 . . 3 (𝑎 = 𝐴 𝑎 = 𝐴)
11 eqidd 2826 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
1210, 11eleq12d 2911 . 2 (𝑎 = 𝐴 → ( 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
13 uni0 4863 . . . 4 ∅ = ∅
14 difid 4333 . . . 4 (𝑂𝑂) = ∅
1513, 14eqtr4i 2851 . . 3 ∅ = (𝑂𝑂)
16 carsgval.1 . . . 4 (𝜑𝑂𝑉)
17 carsgval.2 . . . 4 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
18 carsgsiga.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
1916, 17, 18baselcarsg 31453 . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
2016, 17, 19difelcarsg 31457 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝑂) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
2115, 20eqeltrid 2921 . 2 (𝜑 ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
22 uniun 4855 . . . . 5 (𝑏 ∪ {𝑥}) = ( 𝑏 {𝑥})
23 vex 3502 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
2423unisn 4852 . . . . . 6 {𝑥} = 𝑥
2524uneq2i 4139 . . . . 5 ( 𝑏 {𝑥}) = ( 𝑏𝑥)
2622, 25eqtri 2848 . . . 4 (𝑏 ∪ {𝑥}) = ( 𝑏𝑥)
2716ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑂𝑉)
2817ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
29 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
30 simpll 763 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝜑)
31 carsgsiga.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
3216, 17, 18, 31carsgsigalem 31462 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
3330, 32syl3an1 1157 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
34 fiunelcarsg.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
3534ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
36 simplrr 774 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝑏))
3736eldifad 3951 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑥𝐴)
3835, 37sseldd 3971 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
3927, 28, 29, 33, 38unelcarsg 31459 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → ( 𝑏𝑥) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
4026, 39eqeltrid 2921 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → (𝑏 ∪ {𝑥}) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
4140ex 413 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ( 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) → (𝑏 ∪ {𝑥}) ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
42 fiunelcarsg.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
433, 6, 9, 12, 21, 41, 42findcard2d 8752 1 (𝜑 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cdif 3936  cun 3937  wss 3939  c0 4294  𝒫 cpw 4541  {csn 4563   cuni 4836   class class class wbr 5062  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  ωcom 7571  cdom 8499  Fincfn 8501  0cc0 10529  +∞cpnf 10664  cle 10668   +𝑒 cxad 12498  [,]cicc 12734  Σ*cesum 31175  toCaraSigaccarsg 31448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ioc 12736  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627  df-bc 13656  df-hash 13684  df-shft 14419  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-limsup 14821  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-ef 15414  df-sin 15416  df-cos 15417  df-pi 15419  df-struct 16478  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-starv 16573  df-sca 16574  df-vsca 16575  df-ip 16576  df-tset 16577  df-ple 16578  df-ds 16580  df-unif 16581  df-hom 16582  df-cco 16583  df-rest 16689  df-topn 16690  df-0g 16708  df-gsum 16709  df-topgen 16710  df-pt 16711  df-prds 16714  df-ordt 16767  df-xrs 16768  df-qtop 16773  df-imas 16774  df-xps 16776  df-mre 16850  df-mrc 16851  df-acs 16853  df-ps 17803  df-tsr 17804  df-plusf 17844  df-mgm 17845  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-grp 18039  df-minusg 18040  df-sbg 18041  df-mulg 18158  df-subg 18209  df-cntz 18380  df-cmn 18831  df-abl 18832  df-mgp 19163  df-ur 19175  df-ring 19222  df-cring 19223  df-subrg 19456  df-abv 19511  df-lmod 19559  df-scaf 19560  df-sra 19867  df-rgmod 19868  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-fbas 20461  df-fg 20462  df-cnfld 20465  df-top 21421  df-topon 21438  df-topsp 21460  df-bases 21473  df-cld 21546  df-ntr 21547  df-cls 21548  df-nei 21625  df-lp 21663  df-perf 21664  df-cn 21754  df-cnp 21755  df-haus 21842  df-tx 22089  df-hmeo 22282  df-fil 22373  df-fm 22465  df-flim 22466  df-flf 22467  df-tmd 22599  df-tgp 22600  df-tsms 22653  df-trg 22686  df-xms 22848  df-ms 22849  df-tms 22850  df-nm 23110  df-ngp 23111  df-nrg 23113  df-nlm 23114  df-ii 23403  df-cncf 23404  df-limc 24382  df-dv 24383  df-log 25056  df-esum 31176  df-carsg 31449
This theorem is referenced by:  carsgclctunlem1  31464  carsgclctunlem2  31466  carsgclctunlem3  31467
  Copyright terms: Public domain W3C validator