Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiunelcarsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiunelcarsg 34318
Description: The Caratheodory measurable sets are closed under finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
fiunelcarsg.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fiunelcarsg.2 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
fiunelcarsg (𝜑 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fiunelcarsg
Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑏 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4918 . . 3 (𝑎 = ∅ → 𝑎 = ∅)
2 eqidd 2738 . . 3 (𝑎 = ∅ → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
31, 2eleq12d 2835 . 2 (𝑎 = ∅ → ( 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
4 unieq 4918 . . 3 (𝑎 = 𝑏 𝑎 = 𝑏)
5 eqidd 2738 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
64, 5eleq12d 2835 . 2 (𝑎 = 𝑏 → ( 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
7 unieq 4918 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}))
8 eqidd 2738 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
97, 8eleq12d 2835 . 2 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → ( 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝑏 ∪ {𝑥}) ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
10 unieq 4918 . . 3 (𝑎 = 𝐴 𝑎 = 𝐴)
11 eqidd 2738 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
1210, 11eleq12d 2835 . 2 (𝑎 = 𝐴 → ( 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
13 uni0 4935 . . . 4 ∅ = ∅
14 difid 4376 . . . 4 (𝑂𝑂) = ∅
1513, 14eqtr4i 2768 . . 3 ∅ = (𝑂𝑂)
16 carsgval.1 . . . 4 (𝜑𝑂𝑉)
17 carsgval.2 . . . 4 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
18 carsgsiga.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
1916, 17, 18baselcarsg 34308 . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
2016, 17, 19difelcarsg 34312 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝑂) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
2115, 20eqeltrid 2845 . 2 (𝜑 ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
22 uniun 4930 . . . . 5 (𝑏 ∪ {𝑥}) = ( 𝑏 {𝑥})
23 unisnv 4927 . . . . . 6 {𝑥} = 𝑥
2423uneq2i 4165 . . . . 5 ( 𝑏 {𝑥}) = ( 𝑏𝑥)
2522, 24eqtri 2765 . . . 4 (𝑏 ∪ {𝑥}) = ( 𝑏𝑥)
2616ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑂𝑉)
2717ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
28 simpr 484 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
29 simpll 767 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝜑)
30 carsgsiga.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
3116, 17, 18, 30carsgsigalem 34317 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
3229, 31syl3an1 1164 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
33 fiunelcarsg.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
3433ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
35 simplrr 778 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝑏))
3635eldifad 3963 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑥𝐴)
3734, 36sseldd 3984 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
3826, 27, 28, 32, 37unelcarsg 34314 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → ( 𝑏𝑥) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
3925, 38eqeltrid 2845 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → (𝑏 ∪ {𝑥}) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
4039ex 412 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ( 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) → (𝑏 ∪ {𝑥}) ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
41 fiunelcarsg.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
423, 6, 9, 12, 21, 40, 41findcard2d 9206 1 (𝜑 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cdif 3948  cun 3949  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   cuni 4907   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  cdom 8983  Fincfn 8985  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  cle 11296   +𝑒 cxad 13152  [,]cicc 13390  Σ*cesum 34028  toCaraSigaccarsg 34303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-plusf 18652  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-abv 20810  df-lmod 20860  df-scaf 20861  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tmd 24080  df-tgp 24081  df-tsms 24135  df-trg 24168  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nrg 24598  df-nlm 24599  df-ii 24903  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-esum 34029  df-carsg 34304
This theorem is referenced by:  carsgclctunlem1  34319  carsgclctunlem2  34321  carsgclctunlem3  34322
  Copyright terms: Public domain W3C validator