Theorem fiunelcarsg 34615

Description: The Caratheodory measurable sets are closed under finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
fiunelcarsg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fiunelcarsg.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
fiunelcarsg	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fiunelcarsg

Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑏 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4877	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → ∪ 𝑎 = ∪ ∅)
2		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
3	1, 2	eleq12d 2857	. 2 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∪ 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ∪ ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
4		unieq 4877	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ∪ 𝑎 = ∪ 𝑏)
5		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
6	4, 5	eleq12d 2857	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (∪ 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
7		unieq 4877	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → ∪ 𝑎 = ∪ (𝑏 ∪ {𝑥}))
8		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
9	7, 8	eleq12d 2857	. 2 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → (∪ 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ∪ (𝑏 ∪ {𝑥}) ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
10		unieq 4877	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ∪ 𝑎 = ∪ 𝐴)
11		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
12	10, 11	eleq12d 2857	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∪ 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
13		uni0 4895	. . . 4 ⊢ ∪ ∅ = ∅
14		difid 4330	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∖ 𝑂) = ∅
15	13, 14	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ ∪ ∅ = (𝑂 ∖ 𝑂)
16		carsgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
17		carsgval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
18		carsgsiga.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
19	16, 17, 18	baselcarsg 34605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
20	16, 17, 19	difelcarsg 34609	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝑂) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
21	15, 20	eqeltrid 2867	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
22		uniun 4889	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝑏 ∪ {𝑥}) = (∪ 𝑏 ∪ ∪ {𝑥})
23		unisnv 4886	. . . . . 6 ⊢ ∪ {𝑥} = 𝑥
24	23	uneq2i 4119	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑏 ∪ ∪ {𝑥}) = (∪ 𝑏 ∪ 𝑥)
25	22, 24	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑏 ∪ {𝑥}) = (∪ 𝑏 ∪ 𝑥)
26	16	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑂 ∈ 𝑉)
27	17	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
28		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
29		simpll 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝜑)
30		carsgsiga.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
31	16, 17, 18, 30	carsgsigalem 34614	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))
32	29, 31	syl3an1 1177	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))
33		fiunelcarsg.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
34	33	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
35		simplrr 787	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
36	35	eldifad 3917	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
37	34, 36	sseldd 3938	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
38	26, 27, 28, 32, 37	unelcarsg 34611	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → (∪ 𝑏 ∪ 𝑥) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
39	25, 38	eqeltrid 2867	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ ∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑥}) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
40	39	ex 416	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → (∪ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑥}) ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
41		fiunelcarsg.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
42	3, 6, 9, 12, 21, 40, 41	findcard2d 9135	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4556  {csn 4583  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5101  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ωcom 7846   ≼ cdom 8925  Fincfn 8927  0cc0 11084  +∞cpnf 11224   ≤ cle 11228   +_𝑒 cxad 13122  [,]cicc 13362  Σ^*cesum 34326  toCaraSigaccarsg 34600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-inf2 9594  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162  ax-addf 11163  ax-mulf 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9456  df-dju 9871  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-q 12960  df-rp 13004  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15090  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16107  df-sin 16109  df-cos 16110  df-pi 16112  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-starv 17311  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-unif 17319  df-hom 17320  df-cco 17321  df-rest 17461  df-topn 17462  df-0g 17480  df-gsum 17481  df-topgen 17482  df-pt 17483  df-prds 17486  df-ordt 17541  df-xrs 17542  df-qtop 17547  df-imas 17548  df-xps 17550  df-mre 17624  df-mrc 17625  df-acs 17627  df-ps 18608  df-tsr 18609  df-plusf 18683  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-mhm 18827  df-submnd 18828  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-sbg 18990  df-mulg 19120  df-subg 19175  df-cntz 19367  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-ring 20295  df-cring 20296  df-subrng 20606  df-subrg 20630  df-abv 20865  df-lmod 20936  df-scaf 20937  df-sra 21247  df-rgmod 21248  df-psmet 21423  df-xmet 21424  df-met 21425  df-bl 21426  df-mopn 21427  df-fbas 21428  df-fg 21429  df-cnfld 21432  df-top 22961  df-topon 22978  df-topsp 23000  df-bases 23013  df-cld 23086  df-ntr 23087  df-cls 23088  df-nei 23165  df-lp 23203  df-perf 23204  df-cn 23294  df-cnp 23295  df-haus 23382  df-tx 23629  df-hmeo 23822  df-fil 23913  df-fm 24005  df-flim 24006  df-flf 24007  df-tmd 24139  df-tgp 24140  df-tsms 24194  df-trg 24227  df-xms 24387  df-ms 24388  df-tms 24389  df-nm 24649  df-ngp 24650  df-nrg 24652  df-nlm 24653  df-ii 24946  df-cncf 24947  df-limc 25935  df-dv 25936  df-log 26628  df-esum 34327  df-carsg 34601

This theorem is referenced by:  carsgclctunlem1  34616  carsgclctunlem2  34618  carsgclctunlem3  34619