MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatass 14623
Description: Associative law for concatenation of words. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatass ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) = (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))

Proof of Theorem ccatass
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 14609 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
2 ccatcl 14609 . . . . 5 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
31, 2stoic3 1773 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
4 wrdfn 14563 . . . 4 (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈))))
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈))))
6 ccatlen 14610 . . . . . . 7 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)) = ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈)))
71, 6stoic3 1773 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)) = ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈)))
8 ccatlen 14610 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
983adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
109oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈)) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))
117, 10eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))
1211oveq2d 7447 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈))) = (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
1312fneq2d 6663 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈))) ↔ ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
145, 13mpbid 232 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
15 simp1 1135 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
16 ccatcl 14609 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
17163adant1 1129 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
18 ccatcl 14609 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) ∈ Word 𝐵)
1915, 17, 18syl2anc 584 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) ∈ Word 𝐵)
20 wrdfn 14563 . . . 4 ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))))
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))))
22 ccatlen 14610 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)) = ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)))
23223adant1 1129 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)) = ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)))
2423oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈))) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈))))
25 ccatlen 14610 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))) = ((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈))))
2615, 17, 25syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))) = ((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈))))
27 lencl 14568 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
28273ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
2928nn0cnd 12587 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
30 lencl 14568 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
31303ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
3231nn0cnd 12587 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑇) ∈ ℂ)
33 lencl 14568 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
34333ad2ant3 1134 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
3534nn0cnd 12587 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑈) ∈ ℂ)
3629, 32, 35addassd 11281 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈))))
3724, 26, 363eqtr4d 2785 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))
3837oveq2d 7447 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))) = (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
3938fneq2d 6663 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))) ↔ (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
4021, 39mpbid 232 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
4128nn0zd 12637 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
42 fzospliti 13728 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
4342ex 412 . . . 4 (𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) → ((♯‘𝑆) ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))))
4441, 43mpan9 506 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
45 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → 𝑇 ∈ Word 𝐵)
46 id 22 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
47 ccatval1 14612 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
4815, 45, 46, 47syl2an3an 1421 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
4913adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
5049adantr 480 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
51 simpl3 1192 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑈 ∈ Word 𝐵)
5241uzidd 12892 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
53 uzaddcl 12944 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
5452, 31, 53syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
55 fzoss2 13724 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
579oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
5856, 57sseqtrrd 4037 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
5958sselda 3995 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
60 ccatval1 14612 . . . . . 6 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥))
6150, 51, 59, 60syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥))
62 ccatval1 14612 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = (𝑆𝑥))
6315, 17, 46, 62syl2an3an 1421 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = (𝑆𝑥))
6448, 61, 633eqtr4d 2785 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
6531nn0zd 12637 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
6641, 65zaddcld 12724 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
67 fzospliti 13728 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∨ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
6867ex 412 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∨ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))))
6966, 68mpan9 506 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∨ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
70 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
71 ccatval2 14613 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
7215, 45, 70, 71syl2an3an 1421 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
73 simpl2 1191 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑇 ∈ Word 𝐵)
74 simpl3 1192 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑈 ∈ Word 𝐵)
75 fzosubel3 13762 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
7675ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → ((♯‘𝑇) ∈ ℤ → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇))))
7765, 76mpan9 506 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
78 ccatval1 14612 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
7973, 74, 77, 78syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
8072, 79eqtr4d 2778 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
8149adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
82 fzoss1 13723 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
83 nn0uz 12918 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
8482, 83eleq2s 2857 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
8528, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
8685, 57sseqtrrd 4037 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
8786sselda 3995 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
8881, 74, 87, 60syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥))
89 simpl1 1190 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
9017adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
9166uzidd 12892 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
92 uzaddcl 12944 . . . . . . . . . . . 12 ((((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
9391, 34, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
94 fzoss2 13724 . . . . . . . . . . 11 ((((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
9624, 36eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈))) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))
9796oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)))) = ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
9895, 97sseqtrrd 4037 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)))))
9998sselda 3995 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)))))
100 ccatval2 14613 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈))))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
10189, 90, 99, 100syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
10280, 88, 1013eqtr4d 2785 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
1039oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (𝑥 − ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
104103adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (𝑥 − ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
105 elfzoelz 13696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) → 𝑥 ∈ ℤ)
106105zcnd 12721 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) → 𝑥 ∈ ℂ)
107106adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
10829adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
10932adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (♯‘𝑇) ∈ ℂ)
110107, 108, 109subsub4d 11649 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → ((𝑥 − (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇)) = (𝑥 − ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
111104, 110eqtr4d 2778 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = ((𝑥 − (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇)))
112111fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑈‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) = (𝑈‘((𝑥 − (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇))))
113 simpl2 1191 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑇 ∈ Word 𝐵)
114 simpl3 1192 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑈 ∈ Word 𝐵)
11536oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)))))
116115eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) ↔ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈))))))
117116biimpa 476 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)))))
11834nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑈) ∈ ℤ)
11965, 118zaddcld 12724 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)) ∈ ℤ)
12041, 65, 1193jca 1127 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)) ∈ ℤ))
121120adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)) ∈ ℤ))
122 fzosubel2 13761 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)))) ∧ ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)) ∈ ℤ)) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈))))
123117, 121, 122syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈))))
124 ccatval2 14613 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)))) → ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑈‘((𝑥 − (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇))))
125113, 114, 123, 124syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑈‘((𝑥 − (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇))))
126112, 125eqtr4d 2778 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑈‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
12749adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
1289, 10oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇))..^((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈))) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
129128eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇))..^((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈))) ↔ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
130129biimpar 477 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑥 ∈ ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇))..^((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈))))
131 ccatval2 14613 . . . . . . . 8 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇))..^((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = (𝑈‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
132127, 114, 130, 131syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = (𝑈‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
133 simpl1 1190 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
13417adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
135 fzoss1 13723 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) ⊆ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
13654, 135syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) ⊆ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
137136, 97sseqtrrd 4037 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) ⊆ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)))))
138137sselda 3995 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)))))
139133, 134, 138, 100syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
140126, 132, 1393eqtr4d 2785 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
141102, 140jaodan 959 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∨ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
14269, 141syldan 591 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
14364, 142jaodan 959 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
14444, 143syldan 591 . 2 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
14514, 40, 144eqfnfvd 7054 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) = (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   Fn wfn 6558  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153   + caddc 11156  cmin 11490  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606
This theorem is referenced by:  ccatw2s1ass  14666  cats1cat  14897  cats2cat  14898  frmdmnd  18885  efginvrel2  19760  efgredleme  19776  efgredlemc  19778  efgcpbllemb  19788  numclwwlk1lem2foalem  30380  numclwwlk1lem2fo  30387  signstfvc  34568
  Copyright terms: Public domain W3C validator