MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatass 14145
Description: Associative law for concatenation of words. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatass ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) = (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))

Proof of Theorem ccatass
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 14129 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
2 ccatcl 14129 . . . . 5 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
31, 2stoic3 1784 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
4 wrdfn 14083 . . . 4 (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈))))
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈))))
6 ccatlen 14130 . . . . . . 7 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)) = ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈)))
71, 6stoic3 1784 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)) = ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈)))
8 ccatlen 14130 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
983adant3 1134 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
109oveq1d 7228 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈)) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))
117, 10eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))
1211oveq2d 7229 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈))) = (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
1312fneq2d 6473 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈))) ↔ ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
145, 13mpbid 235 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
15 simp1 1138 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
16 ccatcl 14129 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
17163adant1 1132 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
18 ccatcl 14129 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) ∈ Word 𝐵)
1915, 17, 18syl2anc 587 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) ∈ Word 𝐵)
20 wrdfn 14083 . . . 4 ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))))
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))))
22 ccatlen 14130 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)) = ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)))
23223adant1 1132 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)) = ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)))
2423oveq2d 7229 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈))) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈))))
25 ccatlen 14130 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))) = ((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈))))
2615, 17, 25syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))) = ((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈))))
27 lencl 14088 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
28273ad2ant1 1135 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
2928nn0cnd 12152 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
30 lencl 14088 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
31303ad2ant2 1136 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
3231nn0cnd 12152 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑇) ∈ ℂ)
33 lencl 14088 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
34333ad2ant3 1137 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
3534nn0cnd 12152 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑈) ∈ ℂ)
3629, 32, 35addassd 10855 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈))))
3724, 26, 363eqtr4d 2787 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))
3837oveq2d 7229 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))) = (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
3938fneq2d 6473 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))) ↔ (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
4021, 39mpbid 235 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
4128nn0zd 12280 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
42 fzospliti 13274 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
4342ex 416 . . . 4 (𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) → ((♯‘𝑆) ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))))
4441, 43mpan9 510 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
45 simp2 1139 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → 𝑇 ∈ Word 𝐵)
46 id 22 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
47 ccatval1 14133 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
4815, 45, 46, 47syl2an3an 1424 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
4913adant3 1134 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
5049adantr 484 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
51 simpl3 1195 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑈 ∈ Word 𝐵)
5241uzidd 12454 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
53 uzaddcl 12500 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
5452, 31, 53syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
55 fzoss2 13270 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
579oveq2d 7229 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
5856, 57sseqtrrd 3942 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
5958sselda 3901 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
60 ccatval1 14133 . . . . . 6 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥))
6150, 51, 59, 60syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥))
62 ccatval1 14133 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = (𝑆𝑥))
6315, 17, 46, 62syl2an3an 1424 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = (𝑆𝑥))
6448, 61, 633eqtr4d 2787 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
6531nn0zd 12280 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
6641, 65zaddcld 12286 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
67 fzospliti 13274 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∨ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
6867ex 416 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∨ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))))
6966, 68mpan9 510 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∨ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
70 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
71 ccatval2 14135 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
7215, 45, 70, 71syl2an3an 1424 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
73 simpl2 1194 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑇 ∈ Word 𝐵)
74 simpl3 1195 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑈 ∈ Word 𝐵)
75 fzosubel3 13303 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
7675ex 416 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → ((♯‘𝑇) ∈ ℤ → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇))))
7765, 76mpan9 510 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
78 ccatval1 14133 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
7973, 74, 77, 78syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
8072, 79eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
8149adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
82 fzoss1 13269 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
83 nn0uz 12476 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
8482, 83eleq2s 2856 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
8528, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
8685, 57sseqtrrd 3942 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
8786sselda 3901 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
8881, 74, 87, 60syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥))
89 simpl1 1193 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
9017adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
9166uzidd 12454 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
92 uzaddcl 12500 . . . . . . . . . . . 12 ((((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
9391, 34, 92syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
94 fzoss2 13270 . . . . . . . . . . 11 ((((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
9624, 36eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈))) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))
9796oveq2d 7229 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)))) = ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
9895, 97sseqtrrd 3942 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)))))
9998sselda 3901 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)))))
100 ccatval2 14135 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈))))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
10189, 90, 99, 100syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
10280, 88, 1013eqtr4d 2787 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
1039oveq2d 7229 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (𝑥 − ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
104103adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (𝑥 − ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
105 elfzoelz 13243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) → 𝑥 ∈ ℤ)
106105zcnd 12283 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) → 𝑥 ∈ ℂ)
107106adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
10829adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
10932adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (♯‘𝑇) ∈ ℂ)
110107, 108, 109subsub4d 11220 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → ((𝑥 − (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇)) = (𝑥 − ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
111104, 110eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = ((𝑥 − (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇)))
112111fveq2d 6721 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑈‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) = (𝑈‘((𝑥 − (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇))))
113 simpl2 1194 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑇 ∈ Word 𝐵)
114 simpl3 1195 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑈 ∈ Word 𝐵)
11536oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)))))
116115eleq2d 2823 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) ↔ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈))))))
117116biimpa 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)))))
11834nn0zd 12280 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑈) ∈ ℤ)
11965, 118zaddcld 12286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)) ∈ ℤ)
12041, 65, 1193jca 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)) ∈ ℤ))
121120adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)) ∈ ℤ))
122 fzosubel2 13302 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)))) ∧ ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)) ∈ ℤ)) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈))))
123117, 121, 122syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈))))
124 ccatval2 14135 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)))) → ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑈‘((𝑥 − (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇))))
125113, 114, 123, 124syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑈‘((𝑥 − (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇))))
126112, 125eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑈‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
12749adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
1289, 10oveq12d 7231 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇))..^((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈))) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
129128eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇))..^((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈))) ↔ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
130129biimpar 481 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑥 ∈ ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇))..^((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈))))
131 ccatval2 14135 . . . . . . . 8 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇))..^((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = (𝑈‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
132127, 114, 130, 131syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = (𝑈‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
133 simpl1 1193 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
13417adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
135 fzoss1 13269 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) ⊆ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
13654, 135syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) ⊆ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
137136, 97sseqtrrd 3942 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) ⊆ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)))))
138137sselda 3901 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)))))
139133, 134, 138, 100syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
140126, 132, 1393eqtr4d 2787 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
141102, 140jaodan 958 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∨ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
14269, 141syldan 594 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
14364, 142jaodan 958 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
14444, 143syldan 594 . 2 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
14514, 40, 144eqfnfvd 6855 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) = (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 847  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wss 3866   Fn wfn 6375  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  0cc0 10729   + caddc 10732  cmin 11062  0cn0 12090  cz 12176  cuz 12438  ..^cfzo 13238  chash 13896  Word cword 14069   ++ cconcat 14125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126
This theorem is referenced by:  ccatw2s1ass  14192  ccatw2s1assOLD  14193  cats1cat  14426  cats2cat  14427  frmdmnd  18286  efginvrel2  19117  efgredleme  19133  efgredlemc  19135  efgcpbllemb  19145  numclwwlk1lem2foalem  28434  numclwwlk1lem2fo  28441  signstfvc  32265
  Copyright terms: Public domain W3C validator